Интеллектуальный анализ данных
 Скачать 7.76 Mb.
|
|
7. Регулярные и странные аттракторы Рассмотренные примеры иллюстрируют типичные предельные множества траекторий на фазовой плоскости: состояния равновесия, периодические движе- ния и особые траектории типа сепаратрисных контуров. Указанные предельные множества полностью исчерпывают возможные си- туации на фазовой плоскости. Им отвечают три различных типа решений уравне- ний. Движения диссипативных систем целесообразно разделить на два класса: класс переходных, нестационарных движений, отвечающих переходу от начально- го к предельному множеству состояний, и класс установившихся стационарных движений, фазовые траектории которых целиком принадлежат предельным мно- жествам. Важными с физической точки зрения являются притягивающие предельные множества – аттракторы. С течением времени произвольное начальное состоя- ние из некоторой области притяжения G, включающей в себя аттрактор G0, пере- ходит к G0. Движение, которому отвечает фазовая траектория в области притяже- ния, есть переходной процесс. Установившееся движение характеризуется при- надлежностью фазовых траекторий предельному множеству, то есть аттрактору G0. К чему может привести повышение размерности системы, например, до N = 3, то есть выход с плоскости в трехмерное фазовое пространство? Совсем недав- но, до начала 60-х годов, с увеличением размерности фазового пространства дис- 57 сипативных систем связывали возможность появления (в дополнение к указанным выше) лишь квазипериодических аттракторов, соответствующих движениям на p- мерных торах. Важным результатом исследований последующих лет явилось обнаруже- ние принципиально новых типов движений в ДС. Таким движениям в фазовом пространстве размерности N≥3 соответствуют сложным образом устроенные при- тягивающие множества, траектории изображающих точек которых не принадлежат ни к одному из описанных выше типов аттракторов. Фазовые траектории пред- ставляются здесь в виде бесконечной, нигде не пересекающейся линии. При t ∞ траектория не покидает замкнутой области и не притягивается к известным типам аттракторов [2–6]. Именно с существованием таких траекторий связывают воз- можность хаотического поведения детерминированных динамических систем с размерностью фазового пространства N≥3. Впервые подобные свойства ДС в 1963 году обнаружил Э.Лоренц при чис- ленном исследовании динамики трехмерной модели тепловой конвекции. Спустя восемь лет в теоретической работе Д. Рюэля и Ф. Такенса притяги- вающая область в фазовом пространстве ДС, характеризуемая режимом устано- вившихся непериодических колебаний, была названа странным аттрактором. Этот термин был сразу воспринят исследователями и утвердился для обозначе- ния математического образа режима нерегулярных колебаний детерминирован- ных динамических систем [2–6]. Аттракторы в виде состояний равновесия, предельных циклов или l-мерных торов называют простыми или регулярными, подчеркивая тем самым, что дви- жения на них отвечают сложившимся представлениям об устойчивом по Ляпунову детерминированном поведении ДС. Со странным аттрактором связывается реализация нерегулярного (в смыс- ле отсутствия периодичности) колебательного режима, который во многом сходен с нашими представлениями о стационарных случайных процессах. Термин случайный имеет вполне определенный смысл. Случайное движение непредсказуемо либо предсказуемо с определенной вероятностью. Другими словами, траектории случайного движения нельзя много- кратно и однозначно воспроизвести ни в численном, ни в физическом эксперимен- те. Примером служит классическое движение броуновской частицы. В случае странного аттрактора имеется строгая предсказуемость в смысле детерминированности закона эволюции. Решение уравнений (как и для регулярных аттракторов) под- чиняется теореме единственности и однозначно воспроизводится при фиксированных начальных условиях. Поэтому для обозначения сложных “шу- моподобных” автоколебаний, математическим об- разом которых служит странный аттрактор, исполь- зуются термины типа динамическая стохастич- ность, детерминированный хаос и подобные. Рис. 5. Вид аттрактора Лоренца Примером странного аттрактором является аттрактор Лоренца, определяемый системой уравнений ( ); ( ) ; x y x y x r z y z xy bz при следующих значениях параметров: σ=10, r=28, b=8/3, x(0)=1, y(0)=0, z(0)=0. 58 Важно отличать эти процессы от стохастических в классическом смысле, которые при описании требуют учета флуктуаций в исходных динамических урав- нениях либо непосредственно подчиняются уравнениям для плотности распреде- ления вероятностей статистической теории [2, 5]. Примером системы с хаотическим аттрактором являются уравнения генера- тора с инерционной нелинейностью (генератора Анищенко–Астахова). Эта систе- ма является обобщением уравнений Ван дер Поля на случай трехмерного про- странства [2]: 2 ; ; ( ) x mx y xz y x z gz gI x x , 1, 0, ( ) 0, 0. x I x x Результаты численного реше- ния уравнения этой системы урав- нений для значений параметров m = 1,5, g = 0,2 приведены на рис. 5, ко- торый также иллюстрирует хаотиче- ский аттрактор. Рис. 5. Странный аттрактор в модели генератора Анищенко– Астахова Выводы Дано общее определение ДС и приведены примеры динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такие ДС мо- гут иметь четыре типа решений: - состояние равновесия, - периодическое движение, - квазипериодическое движение, - хаотическое. Этим типам решений соответствуют аттракторы системы в виде устойчиво- го равновесия, предельного цикла, квазипериодического аттрактора (p-мерного тора) и хаотического (или странного) аттрактора. Важным является то, что про- стейшие типы квазипериодических и хаотических аттракторов могут реализовы- ваться в ДС с размерностью фазового пространства не менее трех. Вопросы для самопроверки: 1.Что называется ДС? 2. Что означает задание математической модели ДС? 3. Приведите пример нелинейного консервативного осциллятора. 4. Поясните природу множественности математических моделей. 5. Что называется фазовой точкой? Фазовым пространством? 6. Приведите векторную форму записи ДС. 7. Что называется числом степеней свободы? 8. Что называется оператором отображения? 59 9. Запишите свойство суперпозиции для линейных систем. 10. Что называется потоками? Каскадами? 11. Какие системы называются нелинейными? Пример. 12. Какие системы называются сосредоточенными? Распределенными? 13. Какие системы называются гамильтоновыми? 14. Напишите уравнение линейного консервативного осциллятора. 15. Напишите уравнение линейного осциллятора с затуханием. 16. Приведите пример нелинейного консервативного осциллятора. 17. Какие системы называются автоколебательными? 18. Что называется аттрактором? Странным аттрактором? Литература: 1. Аносов Д.В. ДС // Математическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1979. 2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 3. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 4. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 5. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 6. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. 7. Анищенко В.С. ДС. – URL: http://www.pereplet.ru/nauka/Soros /pdf/ 9711_077.pdf 8. Юмагулов М.Г. Введение в теорию динамических систем: Учебное пособие. – М.: Лань. 2015. -272с. 9. Неймарк Ю.И. ДС и управляемые процессы. – М.: Либроком. 2010. – 338с. 10. А. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических сис- тем. М.: Факториал, 1999. Приложение 1. Программа генерации аттрактора Лоренца. %Solution for the Lorenz equations in the time interval [0,100] with initial conditions [1,1,1]. clear all; clc; sigma=10; beta=8/3; rho=28; f = @(t, a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)]; [t, a] = ode45(f, [0 100], [1 1 1]); %'ode45' uses adaptive Runge-Kutta method of 4th and % 5th order to solve differential equations plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3)) %'plot3' is the command to make 3D plot 60 ЛЕКЦИЯ 6 ПРОБЛЕМА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Мы живем в вероятностном мире. Осознание этого факта по- требовало от человечества пройти долгой дорогой исканий от ари- стотелевского детерминизма до принципа неопределенности Гей- зенберга и случайной вселенной Паули-Юнга, от философских размышлений в садах Академа и Ликея до современных систем статистического анализа данных, упакованных в компакты про- граммных продуктов. Что же представляет из себя случайность? Жизнь сталкивает человека с неопределенностью на каждом шагу. Все на- ше будущее в той или иной форме случайно. Прошлое, напротив, строго детер- минировано, как детерминирована любая конкретная реализация. С точки зрения систем принятия решений, вероятностное будущее, бли- жайшее и отдаленное, имеет несравненно большее значение, чем уже опреде- лившееся, навсегда детерминированное прошедшее. Однако для предсказания будущего, определяющего качество формируемых управляющих решений, нет иного источника, кроме прошлого, точнее, кроме накопленных в прошлом знаний. И уж конечно, вся научная деятельность человека обращена сугубо в его вероят- ностное будущее. 1. Введение. Детерминизм. Закономерность против случайности Cо времен античности закономерности (предопределенность) окружающе- го нас мира и человеческой жизни соотносилась с порядком, с тем, что можно предсказать, а случайность рассматривалась как отклонение от порядка, нару- шение порядка, погружение в хаос. Иными словами, механизм, определяющий существование закономерности, опирается на причинно-следственные связи, которые являются ключевым факто- ром всех событий и явлений. Причина порождает следствие, а следствие является новой доминантой до тех пор, пока не приобретает качество причины для следующего этапа. Существует гипотеза о предопределенности будущего, описываемой жест- кой схемой причинно-следственных связей или божественным промыслом. Альтернативная гипотеза состоит в многовариантной природе будущего, на которое можно влиять путем принятия тех или иных субъективных решений. При этом формирование решений, в том числе и научных, осуществляется в ус- ловиях неопределенности, характеризуемой отсутствием достаточных знаний, как об окружающей среде, так и о внутренних (по отношению к анализируемой системе) процессах. Именно отсутствие необходимого объема знаний провозглашалось основ- ным и единственным генезисом случайности. Однако недостаток знаний — это лишь субъективный фактор, связанный с пониманием человеком окружающей его действительности. Если же изменения в природе определяются четкими причин- но-следственными связями, значит все в ней детерминировано, никакой неопре- деленности, а, следовательно, и случайности не существует. 61 Вывод детерминистов достаточно очевиден: понятие случайности является субъективным и существует лишь в сознании человека, недостаточно образован- ного и недостаточно понимающего окружающий однозначный мир. Этой же, детерминистической точки зрения придерживался Фридрих Вели- кий: «Нет ничего случайного. Случайность – это то, что недоступно видению». Принцип детерминизма, сформулированный П.-С. Лапласом в его сочи- нении "Опыт философии теории вероятностей", утверждает, что при обладании необходимым объемом достоверной информации любое событие в будущем яв- ляется абсолютно прогнозируемым. Так, например, результат пресловутого подбрасывания монетки, превра- тившегося в символ генерации событий с 50%-ной вероятностью реализации, вполне может быть предсказан, если точно знать величину полученного механи- ческого импульса, расположение точки его приложения относительно центра масс, высоту руки над поверхностью падения, характеристики твердости и гладко- сти поверхности и многое, многое другое. Демон Лапласа – великий всезнайка, способный сформировать достовер- ный прогноз, точно зная всю совокупность факторов влияния, вплоть до динамики микрочастиц. Следует заметить, что идея детерминизма была провозглашена филосо- фами задолго до Лапласа и Фридриха. Так, Аристотель писал: «Ничто не дела- ется случайно. Для всего, возникновению чего мы приписываем самопроизволь- ности или случаю, имеется некоторая определенная причина». Ему же принад- лежит фраза: «Нет ничего более противного разуму и природе, чем случай- ность». Однако в том и заключалось диалектическое величие древнегреческих мыслителей, что они умели для каждого мудрого тезиса находить и обосновывать не менее убедительный антитезис. Говоря словами Протагора, «каждому рассуж- дению противостоит равносильное». И вот он, антитезис Ксенофана: "Нет, достоверно никто ни- когда ничего не узнает". 2. Вероя тнос тный мир: ис тория развити я. Э то т случайный мир Тем не менее, случайность реально существует и окружает нас непрерывно как в науке, так и в повседневной жизни. Пьер-Симон Лаплас (1749, Кальвадос —1827, Париж) — выдающийся французский математик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, диффе- ренциальных уравнений, один из создателей теории вероят- ностей. Заслуги Лапласа в области чистой и прикладной математики и особенно в астрономии громадны: он усовер- шенствовал почти все отделы этих наук. Был членом АН и Французского Географического общества. 62 Указывая на всеобщность вероятностного подхода, римский поэт Публий Сир писал: "В каждом большом деле всегда приходится какую-то часть оста- вить на долю случая". В человеческом сознании случайность ассоциируется с хаосом, активно противодействующим благим намерениям homo sapiens. Вселенский закон бутер- брода ("Бутерброд всегда падает маслом вниз") уже в наше время дополнен це- лым рядом выстраданных учеными положений "мэрфологии" [4]. Могучий аппарат теории вероятностей и математической статистики позво- ляет существенно облегчить общение со случайностью, пронизывающей всю на- шу жизнь. Вероятность в научных исследованиях - категория весьма непростая, и прежде чем вступить в ее стохастические дебри, не лишне взглянуть на них свер- ху и наметить дальнейший путь. Идея лапласовского детерминизма довольно долго властвовала в науке, не имея достаточно убедительных альтернатив в виде источников тотальной, ничем не обусловленной случайности. И лишь поистине величайшие открытия физики XX столетия в мире микрочастиц позволили отыскать источники "первозданной" неопределенности. Впрочем, в мире, где разрушены даже причинно- следственные связи, можно, при желании, найти все, что угодно. В том числе - и самого Нечистого, творца Хаоса. Следует заметить, что математики не отстали от своих физических "брать- ев по разуму" и отыскали "беспричинно" случайные процессы при решении неко- торых вполне детерминированных нелинейных дифференциальных уравнений [2]. Разумеется, для большинства прикладных наук вопрос о генезисе случай- ности является вторичным. Важно другое - научиться в этом случайном мире формировать разумные (насколько это возможно) управляющие решения. При этом решения должны базироваться на современной научной методологии, преж- де всего, математической. Проблема оказалась настолько важной, что, по мнению Н. Винера, обобща- ется на всю формализованную методологию: "... высшее назначение математи- ки как раз и состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, кото- рый нас окружает". При этом современная теория вероятностей дает не только технологию статистических вычислений, но и некоторую фундаментальную кон- цепцию, позволяющую найти порядок и закономерность там, где классический де- терминистический подход оказывается бессильным. Она предлагает более широ- кое понимание причинных связей, чем это делает любая детерминистическая теория. Как отмечалось выше, интерес к случайности обнаруживается уже в трудах великих мыслителей древнего мира - Демокрита, Платона, Аристотеля. Известно, что статистические выводы общего характера делались в древнем Китае еще в Закон Мэрфи (основной закон мэрфологии): если какая-нибудь неприятность мо- жет произойти, она случается. Первый закон Чизхолма: Все, что может испортиться, портится. Следствие: Все, что не может испортиться, портится тоже. Закон своенравия природы: нельзя заранее правильно определить, какую сторону бутер- брода мазать маслом. Принцип очереди: чем больше ожидание, тем больше вероятность, что вы стоите не в той очереди. 63 2238г. до н.э., в эпоху императора Яо на основе анализа результатов переписи населения в Поднебесной. Однако мысль о возможности характеризовать числом и мерой степень случайности возникла гораздо позднее, в районе XVI-XVII вв. С диалектической терпимостью отметим, что азартные игры (от француз- ского слова "hasard", буквально означающего "случай", "риск") послужили мощным стимулятором развития вероятностной науки. В своем письме к Ф. ван Схоутену (1657), автору книги «О расчетах в азартных играх", Христиан Гюйгенс отмечает: "...я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интерес- ной и глубокой теории». Значительно ранее (период кватроченто), в «Божествен- ной комедии» Данте Алигьере указывается на попытки подсчи- тать число благоприятных исходов при игре в кости. Схема азартных игр обладает кажущейся простотой и доступностью для формальной логики. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных - алгебраиста Джи- роламо Кардана (1501- 1576) и Галилео Галилея (1564-1642). Основателями теории вероятностей, по-видимому, следу- ет считать замечательных французских математиков XVII в. Б.Паскаля и П.Ферма. Инициацией исследований для Паскаля послужила задача кавалера де Мере. Вариант вопроса состояла в следующем: как «по-справедливости» разде- лить начальные ставки между игроками (имеющими разное количество выигран- ных партий), закончившими игру до завершения заранее оговоренного общего числа партий. Другой вопрос кавалера де Мере заключался в следующем: что бо- лее вероятно при четырехразовом бросании кости – выпадение шестерки хотя бы один раз или ни разу? |