Применение матрицы. Интересные применения матрицы в математике, физике, экономике, биологии
 Скачать 50.06 Kb.
|
|
Министерство образования и науки Российской Федерации Профессионально-педагогический колледж федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» Специальность: 10.02.03 Информационная безопасность автоматизированных систем. Реферат по дисциплине: «Математика» на тему: «Интересные применения матрицы в математике, физике, экономике, биологии»» Выполнил: Студент группы БИ-922 Душамедов В.Н. Проверил преподаватель: Бахрах С.А. Саратов 2017 Содержание Введение 2 Применение матрицы в математике и физике 3 Применение матрицы в экономике 4 Применение матрицы в биологии 8 Заключение 10 Список литературы 11 Введение 2 Применение матрицы в математике и физике 3 Применение матрицы в экономике 4 Применение матрицы в биологии 8 Заключение 10 Список литературы 11 ВведениеВпервые матрица под названием "волшебный квадрат" упоминается еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков. С развитием теории определителей в конце 17 века швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752) начал разрабатывать свою теорию и в 1751 году, не задолго до своей смерти, опубликовал "правило Крамера" - метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем матрицы системы. Как отдельная теория, теория матриц получила свое активное развитие в середине 19 века в работах ирландского математика и физика Уильяма Гамильтона (1805 - 1865) и английского математика Артура Кэли (1821 - 1895). Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат также немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815 - 1897), Фердинанду Георгу Фробениусу (1849 - 1917) и французскому математику Мари Энмону Камиль Жордану (1838 - 1922). Современное название "матрица" было введено английским математиком Джеймсом Сильвестром (1814 - 1897) в 1850 году. Применение матрицы в математике и физикеМатрицы широко применяются в математике и физике для компактной записи и решения систем линейных алгебраических уравнений и систем дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов — количеству неизвестных величин. Матричный аппарат позволяет существенно упростить решение СЛАУ сведя его к операциям над матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводится к решению систем линейных уравнений. Так же матрицы используються в квантовой механике и называются матричной механикой. Матричная механика – математический формализм квантовой механики, разработанный Вернером Гайзенберга, Максом Борном и Паскуалем Иордана в 1925. В матричные механике считается, что физическая система может находиться в одном из дискретного набора состояний n или в суперпозиции этих состояний, поэтому в целом состояние квантовомеханической системы задается вектором состояния: конечной или бесконечной совокупностью комплексных чисел  , а каждому физическому величине A, которые можно наблюдать в эксперименте соответствует определенная матрица  Реальным физическим величинам соответствуют самоспряжених матрицы, для которых  . Комплексные величины  задают амплитуду вероятности того, что квантовомеханическая система находится в состоянии n. Диагональные элементы матрицы A соответствуют значениям физической величины, когда она находится в определенном состоянии, а недиагональные элементы описывают вероятность переходов системы из одного состояния в другое. Теория случайных матриц — раздел математической статистики, изучающий свойства ансамблей матриц, элементы которых распределены случайным образом, она имеет множество применений в физике, в особенности в приложениях квантовой механики к изучению неупорядоченных и классически хаотических динамических систем. Дело в том, что гамильтониан хаотической системы нередко можно представлять себе как случайную эрмитовуили симметричную вещественную матрицу, при этом уровни энергии этого гамильтониана будут представлять собой собственные значения случайной матрицы. Применение матрицы в экономикеПонятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричная алгебра - имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме. С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):
Может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:   В данной записи, например, матричный элемент  = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент  = 2,1 - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.Рассмотрим следующую задачу: пусть предприятие выпускает продукцию трех видов:  ,  ,  и использует сырье двух типов:  и  . Нормы расхода сырья характеризуются матрицей: где каждый элемент  (i = 1,2,3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой С = (100 80 130) , стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) - матрицей столбцом: Рассмотрев задачу, получили: затраты 1-го сырья составляют S 1 = 2·100 + 5·80 + 1·130 = 730 ед. и 2-го - S 2 = 3·100 + 2·80 + 4·130 = 980 ед. , поэтому матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение:  Тогда общая стоимость сырья Q = 730·30 + 980·50 = 70900 ден. ед. может быть записана в матричном виде: Q = S·B = (CA)B = (70900) . Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу:  а затем общую стоимость сырья:  На этом примере мы убедились в выполнении ассоциативного закона произведения матриц: (СА)В = С(АВ) . Далее рассмотрим задачу: В таблице приведены данные о производительности 5 предприятий, которые выпускают 4 вида продукции с потреблением 3-х видов сырья, так же длительность работы всех предприятий в году и цена каждого вида сырья.
Необходимо определить: Производительность каждого предприятия по каждому типу изделий; Потребность каждого предприятия по каждому типу сырья; Сумму кредитования предприятий для закупки сырья, которое необходимо для выпуска продукции указанных видов и количеств. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: составим матрицы, которые характеризуют весь экономический спектр производства. Построим матрицу производительности предприятий по всем типам продукции: Каждый столбец данной матрицы соответствует производительности по каждому виду продукции. Исходя из этого, годовую производительность i- того предприятия по каждому виду продукции можно получить благодаря умножению i- того столбца матрицы C на количество рабочих дней в году для данного предприятия (i = 1, 2 ,3, 4, 5). Матрица затрат сырья на единицу изделия (данные показатели по условию являются одинаковыми для всех предприятий) имеет следующий вид: Расход по типам сырья на предприятиях можно описать при помощи произведения матрицы D на матрицу C: Где j-ая строка соответствует номеру типа сырья, а i-ый столбец - номеру предприятия согласно таблице (j =1, 2, 3; i =1, 2, 3, 4, 5). На второй вопрос задачи ответ можно получить аналогично, умножив столбцы матрицы DС на соответствующее количество рабочих дней в году - это годовая потребность предприятий в каждом типе сырья: Введем вектор стоимости сырья: Тогда стоимость годового запаса сырья для каждого предприятия получим путем умножения вектора на матрицу : Исходя из этого, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора . Проанализировав использования матриц в экономике, мы пришли к выводу, что достоинства матриц состоят в том, что они используют широкий набор стратегически значимых переменных; указывают направление движения ресурсов. Среди недостатков этого инструмента: не обеспечивает реальных рекомендаций по разработке специфических стратегий; по ней невозможно определить сферы бизнеса, которые готовы стать победителями. Также матрицы позволяют с минимальными затратами труда и времени обрабатывать огромный и весьма разнообразный статистический материал, различные исходные данные, характеризующие уровень, структуру, особенности социально-экономического комплекса. Применение матрицы в биологииМы привыкли к делению наук на естественные и гуманитарные. При этом в первую очередь к естественным наукам относят математику. Но это не вполне справедливо. Математика скорее занимает некое промежуточное положение, будучи связана с изучением как окружающей природы, так и различных форм человеческой деятельности. Математика — это язык, пригодный для описания самых различных явлений. Но это язык, подчиненный весьма жестким и строгим логическим правилам. И научиться говорить на математическом языке о том или ином круге вопросов подчас весьма сложно. Мы лучше всего умеем говорить на нем о механических и физических явлениях, но в принципе этот язык универсален. В последнее время мы все чаще говорам на математическом языке и о биологии. Введём так называемую биологическую или миграционную матрицу  От места М: К месту Каждая точка в этой матрице представляет ту часть населения, в процентах, которая перемещается с одного места на другое за единицу времени. Эти части умножаются на значения ( число людей или ещё чего-либо) в местах А, В, С и в результате получаются значения А, В и С спустя единицу времени:  Это матричное уравнение для миграции (переселения). Если эту операцию повторять несколько раз мы увидим как миграция, представленная матрицей М сказывается на значениях в местах А, В и С по пришествии нескольких промежутков времени. По мере увеличения числа умножений матриц, эти величины всё меньше зависят от их начальных значений, и некоторое время спустя они начинают зависеть, лишь от миграционной матрицы М. Покажем это на примере: Пусть имеется матрица M =   для движениями между двумя популяциями, содержащими соответственно 54 и 108 особей, то есть возьмём n =   После миграции новые численности популяций представляются элементами вектора n’, где: n’ = M × n =  × =   Следовательно,  – собственный вектор матрицы М, соответствующий собственному значению 1. Отсюда следует, что любая симметричная картина миграции, представленная элементами матрицы М, не изменяет численности двух популяций, как только последние становятся равны.Проведённое исследование показало, что алгебра матриц применима к решению большого круга важных задач, она упрощает процедуру решения и облегчает понимание процесса. И хотя в нашей работе этот метод к очень упрощённым, утрированным биологическим проблемам, стало ясно, что он может быть использовать и в решении реальных задач генетики, биологии популяций, систематики. ЗаключениеМатричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и ее приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений. Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений, в механике и теоретической электротехнике при исследовании малых колебаний механических и электрических систем, в теории вероятностей, в квантовой механике и др. Список литературы
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||