Шпора по физике [3 семестр]. Интерференция света световая волна
 Скачать 1.6 Mb.
|
ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛДля описания ряда свойств твердых тел (электрических, магнитных, оптических) достаточно иметь представление о поведении валентных электронов в атомах кристалла. Это существенно упрощает задачу и позволяет составить и решить уравнение Шредденгера. В атомах и молекулах движение электронов локализовано в малом объеме с линейными размерами порядка 1 Å, в отличие от кристаллов, где валентные электроны приобретают способность перемещаться от атома к атому по узлам кристаллической решетки. По своему характеру движение валентных электронов в кристалле занимает промежуточное положение между внутриатомным движением свободных электронов в вакууме. Зонная теория есть теория валентных электронов, движущихся в периодическом поле кристаллической решетки. При рассмотрении поведения валентных электронов в кристалле делает ряд допущений: 1) большое различие в массах электронов и ядер приводит к большому различию в их скоростях движения. Поэтому при описании движения валентных электронов в кристалле медленное движение ядер не учитывается и движение электронов рассматривается в поле неподвижных ядер. 2) Медленное движение ядер рассматривает в поле, создаваемом усредненным пространственном распределением заряда электрона. Т.к. за время заметного смещения ядер электрон многократно успевает оббежать все точки своей орбиты. 3) Взаимодействие электрона со всеми остальными электронами, зависящее от мгновенного распределения остальных электронов, рассматривается как взаимодействие с некоторым стандартным полем, создаваемом усредненным пространственным распределением заряда всех остальных электронов. При решении задачи о поведении валентных электронов в кристалле рассматривает совокупность свободных атомов, каждый из которых обладает набором дискретных энергетических уровней и прослеживается, что происходит с этими уровнями при сближении атомов, с образованием кристалла. а) Рассмотрим влияние электрических и магнитных полей на энергетические уровни изолированных атомов. Состояние атомов принято изображать с помощью уровней энергии (см. рисунок). При помещении изолированного атома во внешнее электрическое поле уровни энергии атома испытывают двоякое изменение. Они несколько смещаются по сравнению со своим первоначальным положением и кратность вырождения их снижается. Под действием поля расщипится на 2(2L+1) подуровней, однако наличие спина слабо сказывается на энергии состояния, поэтому число подуровней оказывается в 2 раза меньше: (2L+1). На каждом таком подуровне находятся 2 электрона с противоположно направленными спинами. б) В процессе образования кристалла каждый атом попадает под влияние все больше возрастающего электрического поля, создаваемого соседними атомами. Рассмотрим как это взаимодействие влияет на состояние электронов сближающихся атомов. В изолированном атоме энергия взаимодействия электрона с ядром в зависимости от расстояния между электроном и ядром может быть выражена следующим графиком (см. график 1 на рисунке). Т.е. электрон в атоме находится как бы в бесконечно глубокой потенциальной яме, может находится на одном из дискретных энергетических состояний, при удалении электрона из атома (r∞) его уровни не квантуются. Если 2 сближающихся атома находятся на расстоянии d>10(c.-9)м, исходные энергетические уровни остаются без изменения (см. рисунок, график2). Если d>10(c.-9)м, то они не взаимодействуют между собой, т.к. разделены потенциальным барьером, ширина которых d, а высота различна для различных электронов: h=E(инд.n) – E(инд.θ), где En – энергия данного уровня. Потенциальный барьер препятствует переходу электрона от одного атома к другому. При сближении атомов до расстояния d<10(c.-9)м (см. рисунок, график3), потенциальные кривые, разграничивающие соседние атомы частично перекрываются и получается суммарная потенциальная кривая 1+2, которая проходит ниже нулевого уровня. Вследствии понижения высоты барьера и его ширины электроны, например с уровня 3s, приобретают способность переходить от атома к атому и перемещаться по всему объему кристалла. Более того, электроны с уровня 2p например, вследствии понижения высоты барьера и уменьшения его ширины приобретают способность тунельного просачивания через потенциальный барьер наиболее узкой его части. D=e(c.[-2/h]*√2mh` *d). Из чертежа видно, что наибольшее изменение потенциальной энергии происходит у наиболее внутренних электронов практически не изменяются по сравнению с их состоянием в изолированных атомах. Наряду с изменением потенциальной энергии внешних валентных электронов при сближении атомов происходит смещение жнергетических уровней внешних валентных электронов и расщепление на ряд подуровней подобно тому, как это имеет место у изолированных атомов во внешнем электромагнитном поле. в) Ращепление энергетических уровней свободных атомов и превращение их в энергетические зоны при образовании кристалла. Вследствии перехода электронов от одного атома к другим при сближении атомов с образованием кристаллической решетки наблюдается кажущееся нарушение принципа Паули, т.к. на одном и том же уровне, например 3s, может оказаться 2 и более электрона, обладающих одинаковым набором квантовых чисел, т.к. до образования кисталла они находились в одинаковых состояниях. Однако при образовании кристалла происходит качественное изменение энергетических уровней атома: расширение этих уровней и превращение в кристалле в энергетические зоны. Это изменение уровней является следствием наличия у электронов волновых свойств и уменьшения степени локализации движения электронов при образовании кристалла. Для выяснения этого вопроса воспользуемся соотношением неопределенностей Тейзенберга. ∆E∆τ ≥ h; ∆E – ширина энергетического уровня, если известно время жизни ∆τ на этом уровне. В нормальном состоянии атом находится сколь угодно долго: ∆τ сколь угодно велико, ∆Е – сколь угодно мало. ∆τ=10(с.-8)с (в возбужденном состоянии). ∆E=h/10(c.-8)=10(c.-7)эВ (в возбужденном состоянии). Расчет показывает что средняя время тунельного просачива- ния электрона от одного атома к другому при образовании кристалла ∆τ=10(c.-15)c. Поэтому ∆Е=h/10(c.-15)c=1эВ. При этом расширяется в зону как нормальные невозбужденные уровни (3s), так и возбужденные уровни (3p). При этом | При этом соседние зоны могут перекрываться друг с другом, образуя гибридные зоны, которые сильно влияют на электрические свойства твердых тел. 2) Внутренняя структура энергетических зон в кристалле: если система состоит из N атомов, то каждый атомный уровень в системе повторяется N раз в системе. Иначе говоря, невырожденный атомный уровень приобретает в системе кратность вырождения =M. Т.к. на каждый атомный уровень в кристалле действует электро-магнитное поле соседних атомов, то кратность вырождения уровней снимается s уровень расщепляется на ряд подуровней). Т.о. если энергетическая зона образовалась из невырожденного атомного уровня, то в кристалле она будет состоять из N близко расположенных подуровней, где N – число атомов в кристалле. Если атомный уровень был вырожден, то соответствующая энергетическая зона будет состоять из N(2L+1) близкорасположенных подуровней. Расстояние между подуровнями в зоне крайне мало ∆E=10(c.-22)эВ. Т.е. зону можно считать непрерывной. Рассмотрим превращение в зону уровней 3p и 3s. Валентные электроны могут находится либо в зоне нормальных состояний (3s), либо в зоне возбужденных состояний (3p). Зона 3s называется валентной зоной, 3р – зоной проводимости (т.к. под влиянием внешнего воздействия электроны, перешедшие в зону 2, могут свободно в ней перемещаться переходя с уровня на уровень, т.к. расстояние мало, и тем самым участвуя в проводимости). Зона 1 и 3 – разрешенные зоны, зона 2 – запрещенная зона (электроны находится не могут). Ширина запрещенной зоны ∆Ео – энергия, которую необходимо сообщить электронам валентной зоны для перевода их в зону проводимости. ∆Ео – энергия активизации проводимости. ДЕЛЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ НА ПРОВОДНИКИ, ПОЛУПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. Если кристалл состоит из N частиц, то атомный уровень в кристалле повторяется N раз и энергетическая зона, образованная из этого атомного уровня, состоит из N близко расположенных подуровней. При этом если соответствующий атомный уровень был заполнен электронами, то и зона будет заполнена электронами полность. Если же атомный уровень не был заполнен электронами, то и соответствующая зона не заполнена электронами. Поведение электронов в заполненной и незаполненной зоне различно. Внешнее электрическое поле может изменить характер движения электронов в незаполненной зоне, но не изменит его в заполненной зоне. Изменение характера движения связано с изменением энергетического состояния электронов. А это возможно в зоне, в которой есть свободные уровни. Если валентная зона заполнена полностью, то перейти в свободную зону проводимости энектрон не в состоянии даже под действием самых сильных электрических полей. Под действием самого сильного электрического поля с напряженностью E=10(c.6)В/м, электрон приобретает Wk=10(c.-3)эВ, тогда как ширина запрещенной зоны ∆Eo=10(c.-1)эВ. Деление твердых тел на проводники, полупроводники и диэлектрики в основе своей рассматривает характер заполнения валентной зоны электронами. Если валентная зона заполнена элетронами не полностью, тогда даже самый слабый внешний электронный импульс способен вызвать перемещение электронов с уровня на уровень в валентной зоне, т.е. электрический ток. Тело с таким характером заполнения валентной зоны относится к проводникам. К проводникам относятся также те твердые тела, у которых валентная зона полностью заполнена электронами, но перекрывается с зоной проводимости – бесщелевые проводники. В этом случае гибридная зона А способна вместить в себя больше электронов, чем вся валентная зона. Если валентная зона полностью заполнена элетронами, и над ней на расстоянии ∆Ео находится свободная зона проводимости, то тело с таким характером заполнения валентной зоны является диэлектриком. Деление твердых тел на полупроводники и диэлектрики условно. Принято относить к полупроводникам те твердые тела, у которых ширина запрещенной зоны ∆Ео<10(с.-3)эВ. Если ∆Ео>10(с.-3)эВ, то такие тела относятся к диэлектрикам. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ФЕРМИ-ДИРАКА. По характеру поведения в коллективе все микрочастицы делятся на: 1) фермионы ( (тут индексы снизу и свехру в скобках) p[1,1], n[0,1], e[-1,0] и т.д., т.е. все частицы, обладающие полуцелым спином h/2, 3h/2…). 2) бозоны (фотоны, фотоны и т.д., т.е. все частицы, обладающие челочисленным спином 0,h, 2h). По своему повдению в коллективе фермионы отличаются от бозонов. Фермионы проявляют стремление к уединению, т.е. если данное квантовое состояние уже заполнено фермионом, то никакой другой фермион не может находится в этом же состоянии согласно принципу Паули. Бозоны проявляют стремление к объединению, т.е. в данном квантовом состоянии может накапливаться сколь угодно много бозонов, причем бозоны заполняют это состояние тем охотнее, чем больше бозонов в этом микросостоянии. Специфичность микрочастиц (фермионность или бозонность) влияет на поведение коллектива в целом. Для проявления специфичности микрочастиц необходимо, чтобы 2 частицы попадали в данное состояние как можно чаще. Если N – это число частиц, а G – число состояний, в каждом из которых может находится 1 частица, то при N/G<<1 вопрос о том, как заполняется данное состояние (поодиночке или коллективно) не возникает и специфичность частиц не проявляется в коллективе. Такие коллективы частиц называются невырожденными. Если N/G≈1, то в этом случае вопрос о том, как заполняется данное состояние (коллективно или по одиночке) становится актуальным и специфичность частиц в коллективе проявляется в полной мере. Такие коллективы частиц называются вырожденными. Эти коллективы могут образовывать только квантовые объекты. Т.к. в квантовой механике все параметры состояний (координата импульс энергия) имеют дискретное значение => число состояний является конечным. В классической механике параметры состояния меняются непрерывно, значит и число состояний не может быть конечным. Физическая статистика, изучающая свойства невырожденных коллективов, называется классической статистикой. Физическая статистика изучающая свойства вырожденных коллективов, называется квантовой статистикой. Статистические методы используются для исследования большого числа однотипных частиц. Примерами таких систем является молекулярный газ, состоящий из большого числа однотипных молекул, и совокупность электронов проводимости в кристалле, образующих электронный газ. С микроскопической точки зрения состояние системы частиц оисывается заданием 3-х координат х, y, z и 3-х составляющих импульса на эти координаты Px, Py, Pz для всех частиц, входящих в систему. Задачей физической статистики является отыскание неивероятнейшего распределения частиц по энергиям, импульсам и т.д. Математически эта задача сводится к отысканию функции распределения: f(E)dE определяет число частиц, энергия которых заключена от E до E+dE. Электроны, образующие электронный газ в кристаллах, то своим свойствам отличаются от молекул обычного газа, поэтому и законы распределения этих частиц по состоянием различны. Молекулярный газ, подчиняющийся классической статистики Максвела-Больцмана; электронный газ квантовой статистики Ферми-Дерака. Для выяснения различий в этих статистиках сравним основные положения на которых они построены. Классическая статистика Максвела-Больцмана исходит из положений: 1) Частицы, образующие молекулярный газ, подчиняется законам классической механике, поэтому их импульсы (энергии) меняются непрерывно. 2) Все молекулы различны между собой, т.е. обладают индивидуальностью. Перестановка 2-х молекул местами приводит к переходу системы от одного микросостояние в другое. 3) Все микрочастицы системы равновероятны. Квантовая статистика Ферми-Дерака исходит из: 1) Электроны, образующие электронный газ, обладают волновыми свойствами => подчиняются законам квантовой механики => их энергия, импульсы, могут иметь только определенные дискретные значения, причем каждому такому значению энергии или импульса отвечает строго определенное квантовое состояние системы. 2) Частицы, образующие электонный газ, тождественны друг другу, и перестановка их местами не приводит к появлению нового микросостояния системы. 3) Электроны, образующие электронный газ, подчиняются принципу Паули (в одном квантовом состоянии может находится не более 2-х электронов с противоположно направленными спинами). Пусть первое микросостояние системы описывается х,y,z; Px, Py, Pz, второе: x+dx, y+dy, z+dz; Px+dPx, Py+dPy, Pz+dPz. Выделим внутри объема системы точку с координатами х,y,z и построим вокруг этой точки элементарный кубик с ребрами dx, dy и dz (нарисовать это)., т.е. объемом dV=dxdydz. Из всех частиц системы, которые находятся внутри этого кубика выделим те, составляющие импульса в которых заключены в пределах: Px – Px+dx, Py – Py+dy, Pz – Pz+dz. Произведение dτ = dxdydzdPxdPydPz называется элементом фазового объема или ячейкой 6-мерного фазовго пространства с координатами x,y,z,Px,Py,Pz. Любая частица внутри этой ячейки обозначается точкой с этими координатами и называется фазовой точкой. Число фазовых точек: dN(x,y,z,Px,Py,Pz)= =f(E)dτ; f(E) – функция распределения соответствующей статистики. Согласно классической статистики Максвела-Больцмана параметры | частиц (координаты, импульсы, энергия) меняются непрерывно, поэтому 1 и 2 микросостояния системыразличны всегда. Иными словами ячейка фазового пространства dτ может быть сколь угодно мала, а число фазовых точек в ней может быть сколь угодно велико и определяется dN=f(инд.Б)(E)dτ; f(инд.Б)(Е) – функция распределения статистики Максвела-Больцмана. f(инд.Б)=Ae(c.- E/kT); A – const, E – энергия состояния. => чем больше энергия состояния, тем меньше частиц находится в этом состоянии и при T0 E и все частицы переходят в одно состояние. В квантовой статистике Ферми-Дерака частицы, образующие электронный газ подчиняются квантовым законам, поэтому согласно соотношению Гейзенберга dxdPx≥h, dydPy≥h, dzdPz≥h; dxdydzdPxdPydPz ≥ h(c.3); dτ ≥ h(c.3). Т.е. 1 и 2 микросостояния различимы не всегда, а при условии, что объем ячейки фазового пространства не меньше h(c.3). При рассмотрении электронных проводимостей в металле можно полагать, что их потенциальная энергия во всем объеме одинакова => распределение электронной проводимости по объему равномерно. Это позволяет перейти от 6-мерного фазового пространства к 3-мерному пространству импульсов, объем ячейки которого определяется dτ(инд.p)= =h(c.3)/V; V=dxdydz. Каждая такая ячейка отвечает строго определенному квантовому состоянию системы, в котором при данном значении энергии Е, согласно принципц Паули, находятся 2 электрона с противоположными спинами. Можно представить функцию распределения статистики Ферми-Дерака как f(инд.ф)(Е)=1/(e(c.(E - М)/kT)+1); E – энергия состояния микрочастицы, М – энергия Ферми. Физический смысл: функция распределения Ферми определяет вероятность заполнения электронами состояния, энергия которого заключена от Е до E+dE. Для выяснения физического смысла М проанализируем это выражение: 1) Если T0, то при E>М, f(инд.ф)(Е)0, f(инд.ф)(Е)0; E электронами (вероятность заполнения =1). Все уровни с энергией выше энергии Ферми остаются свободными (вероятность заполнения = 0). Т.о. энергия Ферми – наибольшая энергия, которой могут обладать электроны проводимости в металле при температуре абсолютного нуля. Уровень Ферми – наивысший энергетический уровень, который еще заполнен элетронами при 0К. 2) Если T>0, то при E=M, f(инд.ф)(Е)=1/2; E>M, f(инд.ф)(Е)<1/2; E f(инд.ф)(Е)>1/2. При повышении температуры характер распределения электронов проводимости по состояниям энергии меняется. Однако в области температур, при которых энергия теплового возбуждения kT< подвергаются лишь электроны узловой полосы шириной kT, расположенной вблизи уровня Ферми. Все остальные электроны остаются практически незатронутыми тепловым возбуждением. Из сравнения графиков => что распределение отличается характером спада правой части кривых. При 0К спад кривой происходит резко, скачкообразко вдоль линии DM, при более высоких температурах он происходит более или менее постепенно вдоль АВС. При этом площадка 1 символизирует количество электронов, энергия которых нескоько ниже энергии Ферми, и которые при повышении температуры покидают уровни ниже уровня Ферми и переходят на уровни несколько выше уровня Ферми. Площади этих заштрихованных частей 1 и 2 одинаковы, т.к. символизруют одно и то же количество электронов. Произведем оценку количества электронов, которые в условиях температур, удовлетворяющих kT< =2M/N – ширина каждого уровня. В полосе kT, прилегающей к уровню Ферми, располагается kT/∆E=kTN/2M уровней. Число электронов на этих уровнях kT*N*2/2M=kTN/M. Если предположить, что за уровень Ферми уходит половина этих электронов, то число этих электронов окажется ∆N=kTN/2M. Если учесть, что энергия теплового возбуждения при комнатных температурах kT≈0,025эВ, а энергия Ферми M3÷7эВ, то ∆N*100% / N<1%. Т.е. тепловому возбуждению подвергается очень незначительная доля электронов проводимости в металле => энергия металла при нагревании не меняется, т.к. большая часть электронов тепловому возбуждению не подвергается. Тот факт, что электронный газ в металле подчиняется законам квантовой механики и не подчиняется классическому распределению Маквела-Больцмана, означает, что электронный газ вырожден, а основным свойством вырожденного газа является независимость его энергии от температуры. Если однако в выражении f(инд.ф.)(Е)=1/e(c.(E-M)/kT)+1), член e(c…)>>1, тогда 1 в знаменателе можно пренебречь и f(инд.ф)(Е)=e(c.(M-E)/kT)=e(c.M/kT)* *e(c.-E/kT)=Ae(c.-E/kT). И функция Ферми переходит в функцию Больцмана, электронный газ переходит в невырожденное состояние и распределение его частиц по энергиям начинает подчиняться закону Максвелла-Больцмана. Температура, при которой происходит переход электронного газа в невырожденное состояние, называется фермиевой температурой Т(инд.ф)=M/k. Зависимость нергии электронного газа от температуры на рисунке. Если T > T(инд.ф), то энергия электронного газа также как и энергия обычного молекулярного невырожденного газа, изменяется пропорционально температуре (ВС), и электронный газ находится в невырожденном состоянии и подчиняется статистики Максвелла-Больцмана. Если T T(инд.ф)=10000K – для металла. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА. Т.к. металлический кристалл представляет собой пространственный каркас, заполненный электронным газом, то теплоемкость металла складывается из теплоемкости решетки и теплоемкости электронного газа: C=Cреш+Ce. Если электронный газ рассматривать как обычный невырожденный классический газ, то на каждый электрон такого газа должна приходится энергия E(в)=(3/2)*kT. В одном кмоле металла число атомов соизмеримо с числом свободных электронов, поэтому средняя энергия в кмоле металла E(в)(инд.e)(с.кл)=N(инд.A)*(3/2)kT; C(инд.е)(с.кл)=dE(в)/dT=(3/2)*kN(инд.А)=(3/2)*R; По делону-Пти C=3R+ +3R/2=9R/2=37дж/моль*К. Расчет показывает, что теплоемкость 1 кмоля металла, также как и диэлектрика, C≈3R≈25 Ом/мольК. => электронный газ практически не вносит вклада в теплоемкость металла, т.е. его теплоемкость по отношению к теплоемкости решетки незначительна. Этот вывод, непонятный с точки зрения классической теории теплоемкости, может быть объяснен с точки зрения квантовой теории. Согласно квантовым представлениям, электронный газ находится в вырожденном состоянии, и тепловому возбуждению подвергается незначительная доля электронов проводимости, расположенных вблизи уровня Ферми: их число ∆N=kTN(инд.А)/2M. Если каждый электрон поглощает энергию kT, то средняя энергия электронного газа в 1 кмоле металла E(с.кв)(инд.е)= =N(инд.А)kT*(kT/2M); C(инд.е)(с.кв)=Nk*(kT/2M); C(с.кв)(инд.е)/C(с.кл)(инд.е)≈kT/M ≤ 0,01. Т.е. теплоемкость квантовая во столько же раз меньше классической теплоемкости, во сколько kT меньше M; C(инд.е)(с.кв)≤0,01C(инд.е)(с.кл). =>, что теплоемкость электронного газа вырожденная. При понижении температуры, теплоемкость решетки уменьшается пропорционально T(c.3), и общая теплоемкость металла определяется теплоемкостью электронного газа, т.к. теплоемкость электронного газа уменьшается C(инд.е)T. ПРОВОДИМОСТЬ МЕТАЛЛОВ. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ МЕТАЛЛОВ. В классической теории проводимости электронный газ рассматривается как обычный классический невырожденный газ и распределение электронов проводимости подчиняется классической статики Максвелла-Больцмана. В отсутствии внешнего поля электроны не хаотически движутся по всем направлениям, не создавая преимущественного перемещения заряда. При создании внешнего поля с напряженностью Е, на каждый электрон начинает действовать электронная сила F(в)(инд.е)= - eE(в), направленная против поля, под действием которой электрон в конце длинны свободного пробега приобретает скорость направленного перемещения C=a(в)τ (в)= =F τ(в) / m = eEτ(в)/m; τ(в) – среднее время на пути λ(в). При столкновении с узлом кристаллической решетки скорость направленного перемещения падает до нуля, поэтому средняя скорость c(в)=eEτ(в)/2m; τ(в)=λ(в)/v(в); v(в) – средняя скорость теплового движения электронов проводимости в металле. v(в)>>c(в); c(в)=(eE/2m)*(λ(в)/v(в)). Величина U=c(в)/E= =(e/2m)*(λ(в)/v(в)) называется подвижностью электронов. При средней скорости направленного перемещения средняя скорость через единичную площадку поперечного сечения проводника перпендикулярно потоку пройдут все электроны, заключенные в цилиндре, с образующей с (в). Объем V=c(в). Число электронов, |          прошедших через единичную площадку c(в)n, где n – концентрация элетронного газа. Они перенесут заряд ec(в)n, т.е. плотность тока через единичную площадку: i=ec(в)n=eUE(в)n; Удельная проводимость δ(идн.кл)=i/E=L n U = e(c.2)nλ(в)/2mv(в). Зависит от температуры только скорость направленного перемещения электронов v(в). 3kT/2=mv(c.2)(в)/2;v(в)=(3kT/m)(c.1/2); δклT(с.-1/2). Эксперимент показывает, что δэкспT(c.-1). Расхождение классической теории с экспериментом обусловлено неверностью основного положения теории: представление электронов проводимости в металле как частиц обычного невырожденного классического газа. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ В МЕТАЛЛАХ. В этой теории, учитывается вырождение электронного газа, учитываются волновые свойства электронов, а движение электронов проводимости в металлах расматривается как процесс распространения электронных волн, длинна которых определяется формулой Де Бройля λ(инд.e)=h/mv. На основе квантовой статистики Ферми-Дерака можно найти: δкв=e(c.2)nλ(в)(М)/mv(в)(М). В классической формуле v(в) – средняя энергия теплового движения электронов проводимости, v(в)T(c.1/2). В квантовой формуле v(в)(М) – скорость электронов, обладающих энергией Ферми => она не зависит от температуры, т.к. энергия Ферми есть величина постоянная для данного проводника. Однако самое большое различие между формулами заключается в том, какой физический смысл вносит та и другая теория в длинну свободного пробега электронов λ. В классической теории причина сопротивления движению электронов проводимости в металлах объясняется столкновением электрона проводимости с узлами кристаллической решетки, при этом каждый электрон сталкивается со всеми узлами на своем пути, поэтому λ равна постоянной кристаллической решетки d. Квантовая теория учитывает волновые свойства электронов, а движение электрона проводимости в кристалле рассматривает как процесс распространения электронных волн, длина которых определяется формулой деБройля. Идеальные кристаллические решетки не должны расеивать электронных волн. Рассеяние элетронных волн возникает с появлением центров рассеяния по величине превосходящих длину электронных волн. Такими центрами рассеивания могут являться неоднородности в кристалле, которые возникают за счет тепловых колебаний узлов решетки. Т.е. в любой момент времени кристалл является микроскопически неоднородным за счет флуктуацияй плотности, по объему превосходящих длину электронных волн, и является эффективными центрами рассеивания электронных волн. Именно они являются причиной сопротивления абсолютно (химически) чистых металлов. Рассеивающая способность металла может быть определена с помощью коэффициента рассеивания η(инд.T) 1/λ(в). С другой стороны коэффициент рассеивания можно определить η(инд.Т)=πnkT/Ed; n – концентрация электронного газа в металле, d – постоянная решетки; λ(в)=Ed/πnkT; λ(в)T(c.-1); δквT(c.-1). Это согласуется с экспериментальными данными. ЯВЛЕНИЕ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ. В 1911г Коммерлинг-Оннес обнаружил, проводя опыты с предельно очищенной ртутью, что при T=4,2K удельное сопротивление ртути падало до нуля. Это явление назвали сверхпроводимостью, а критической температуру, при которой проводник переходит в сверхпроводящее состояние. Согласно закону Ома ρ=E/i, то требованию ρ=0 при конечной плотности тока i, означает, что Е=0 во всех точках сверхпроводника. Известно более 20 элементов, несколько сотен сплавов и химических соединений, которые переходят в сверхпроводящее состояние. Критическая температура T(инд.к)=(0,01 – 150)K. Проводники при T(инд.к)=150К относятся к высокотемпературным сверхпроводникам. В 1933г было установлено, что за явлением сверхпроводимости скрывается нечто большее, чем идеальная проводимость. Оказалось, что магнитное поле выталкивается из сверхпроводника независимо от того, как оно создано (внешним полем или током, текущим по проводнику). => магнитная индукция В(инд.i)=0. Т.е. сверхпроводник является идеальным диамагнетиком с магнитной восприимчивостью X=-1. Т.о. сверхпроводимость представляет собой сочетание идеальной проводимости и идеального диамагнетизма. Сверхпроводящее состояние можно разрушить внешним магнитным полем, а нпряженность поля, при которой происходит переход из сверхпроводящего состояния, называется критической H(инд.к). При критической температуре T=T(инд.к) критическая напряженность H(инд.к)=0 и достигает максимума при 0К. Опыт показывает, что при переходе в сверхпроводящее состояние, не изменяется ни кристаллическая структура кристалла, ни оптические, ни механические свойства кристала; но наряду со скачкообразным изменением электронных и магнитных свойств, качественно иной характер приобратают тепловые свойства в частности, теплоемкость. Объяснение явления сверхпроводимости стало возможным в 1957г на основе теории сверхтекучести гелия на теории Ландау в 1941г. Теория сверхпроводимости была создана Бардином, Куппером и Шриффером, которая называется БКШ. Исходя из представлений Ландау ясно, что явление сверхпроводимости является микроскопически квантовым. Между электронами проводимости в металле наряду с кулоновским отталкиванием, в значительной мере ослабленным, экранизирующим действием положительных ионов кристаллической решетки, возникает слабое притяжение, которое в ряде случаев может преобладать над отталкиванием. В результате электроны проводимости переходят в иное связное состояние, которое получило название куперовской пары. Расстояние между электронами куперовской пары много больше (на 4 порядка), чем межатомное расстояние в кристалле. Поэтому между электронами куперовской праы находится много обычных электронов. Разрушить эту пару, т.е. оторвать 1 электрон можно, если сообщить электрону дополнительную энергию, которую можно получить за счет электрон-фононного взаимодействия. Однако куперовские пары сопротивляются разрушению, т.к. имеется не одна пара, целый коллектив взаимодействующих между собой куперовских пар электронов, образующие куперовскую пару, имеют противоположно направленные спины => спин куперовской пары = 0 => она представляет собой бозон. Бозичастицы могут бесконечно заполнять любое квантовое состояние. При понижении температуры все куперовские пары оказываются в основном состоянии, из которого их практически невозможно перевести в возбужденное состояние. Куперовские пары, обладая устойчивостью к разрушению, в условиях низких температур могут перемещаться в кристалле практически не встречая сопротивления. ПОЛУПРОВОДНИКИ (ПП). СОБСТВЕННЫЕ И ПРИМЕСНЫЕ ПП. НОСИТЕЛИ ТОКА В ПП. Удельная проводимость: δ=10(c.-5)÷10(c.-8)мОм(с.-1). К ПП относятся: Se, Si, Ge, MeTe, MeSe, MeS. 1) собственные ПП. Проводимость химически чистых ПП называется собственной, а сами ПП называются собственными ПП. Опыт показывает, что проводимость ПП осуществляется двумя типами носителей: положительными и отрицательными. Выясним их природу. Если при Т=0К валентная зона остается заполненной полностью электронами, а над ней на расстоянии ∆Ео находится асолютно свободная зона 2, то тело с таким характером заолнения зон является диэлектриком. Если под влиянием какого-либо внешнего фактора (наревания, облучения) часть электронов зоны 1 оказалась переброшенной в зону 2, то зона 2 заполнена электронами не полностью. Ранее полностью заполненная зона 1 также заполнена электронами не полностью, т.к. потеряла часть электронов. Появление таких зон проводимости делает тело проводником. Т.о. отличительной особенностью ПП является то, что их проводимость является возбужденной. Она возникает под влиянием внешнего воздуйствия: нагревания, облучения или сильных элекрических полей. Электроны, перешедшие в зону 2, располагаются у дна этой зоны и под действием внешнего поля могут перемещаться в зоне с уровня на уровень как обычные свободные электроны, участвуя в проводимости. От свободных электронов они отличаются только эффективной массой. Электроны зоны 2 являются отрицательными носителями тока. Уход части электронов из валентной зоны эквивалентен появлению в ней положительных носителей тока, суммарный заряд которых равен заряду ушедших электронов. Такие эффективные (виртуальные частицы называюся дырками. Т.о. проводимость ПП осуществляется 2 типами носителей: электронами и дырками (их количество одинаково). Энергия, необходимая для перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости называется энергией активации собственной проводимости. 2) Примесные ПП. Проводимость ПП в большой степени зависит от чистоты ПП => от наличия примесей в ПП. Если к Si добавить 10(с.-3)% бора, то его удельная проводимость δ=10(c. 3)*δ(инд.o). Проводимость ПП, обусловленная примесями называется примесной, а сами ПП называются примесными ПП. Для выяснения механизма влияния примесей рассмотрим пример: влияние примесей As (5 валентный) и In (3 валентный) на проводимость Ge (4 валентный). В кристаллической решетке Ge каждый атом окружен 4-мя другими атомами, с которыми он образует валентные связи. При замещении части атомов в кристаллической решетке атомами As, 4 валентных электрона идут на образование связи, 5-ый остается слобо связанным с атомом. Его энергия связи ∆Е=0,015эВ. При сообщении атомам такой энергии электрон отрывается и перемещается по всему объему кристалла, участвуя в проводимости. | Разберем этот процесс с точки зрения зонной теории. При появлении чужеродного атома в кристалле под влиянием поля в кристаллической решетке энергетические уровни примесного атома смещаются и попадают в запрещенную зону, образуя в ней локальные уровни (D или A). Локальными они названы потому, что носители тока, находятся на этих уровнях в проводимости не участвуют, т.к. локализуются на атомах примеси. Те локальные уровни, которым соответствовал атомный уровень, заполненный электронами, также будут заполнены электронами (например D) и наоборот (уровень А). Близость незаполненного уровня к полностью заполненной зоне приводит к захвату электронов из заполненной зоны. Заполненные уровни отдают свои электроны в близконаходящуюся незаполненную зону. В случае примеси As локальный уровень находится у дна зоны проводимости. ∆E(инд.D)<<∆E(инд.о); ∆E(инд.D)≈0,015эВ. (∆Eo – энергия активации собственной проводимости Ge). При сообщении такой энергии свободные электроны атома мышьяка переходят в зону проводимости, причем этот переход будет превалировать во много раз, переход собственных электронов Ge из валентной зоны в зону проводимости. В этих условиях Ge будет обладать преимущественной электронной проводимостью, причем электроны зоны проводимости и являются основными носителями тока в ПП. Т.о. примесь As является донором электронов, а локальный уровень называется донорным. ПП с преимущественной электронной примесной проводимостью, называется ПП n-типа. Кроме основных носителей в донорном ПП имеются и не основные носители – дырки, которые возникают в валентной зоне за счет переходов собственных электронов Ge в зону проводимости. Эти носители называются тепловыми. Их энергии достаточно, чтобы в условиях добавленной энергии ∆Е(инд.D) осуществляется переход из валентной зоны в зону проводимости. Эти собственные электроны Ge сливаются с основными носителями и участвуют в основной проводимости. Дырки в валентной зоне и являются неосновными носителями в n-ПП. При добавлении в кристаллическую решетку Ge з-х валентных атомомв In, электрон, который необходим атому In для образования 4-ой валентной связи может быть заимствована у соседнего атома Ge. Разорванная связь не остается локализованной у атома Ge, она перемещается по объему. С точки зрения зонной теории локализованный уровень атома In располагается вблизи валентной зоны. Близость полностью заполненной зоны приводит к тому, что уже при невысоких температурах, соответствующих энергии ∆Е(инд.А)=0,015эВ, электрон захватывается примесью. Локализуясь на атомах In, эти электроны в проводимости не участвуют. Проводимость в этих условиях осуществляется дырками валентной зоны. И в этих условиях Ge обладает преимущественной примесной положительной проводимостью: p-проводимостью. Дырки являются основными носителями в примесном p-ПП. Примесь является акцептором электрона, а уровень называется акцепторным. Как и в предыдущем случае возможен переход собственных электронов Ge из валентной зоны в зону проводимости в условиях энергий ∆Е(инд.А). Электроны зоны проводимости в этом случае являются не основными носителями в примесном p-ПП. В отличае от собственных ПП, в примесных ПП проводимость осуществляется преимущественно 1 типом носителей: электронами (n-ПП) и дырками (p-ПП). Вклад неосновных носителей в общую проводимость незначителен, т.к. число таких переходов очень мало. ЗАВИСИМОСТЬ СОБСТВЕННОЙ ПРОВОДИМОСТИ ПП ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ. В собственных ПП проводимость осуществляется электронами и дырками, поэтому δ=δ(инд.э)+δ(инд.д). Проводимость опеределяется концентрацией носителей и их подвижностью. δ(инд.э)=e*n(инд.i)*U(инд.n); δ(инд.д)=e*p(инд.i)*U(инд.p); n(инд.i)=p(инд.i); δ=e*n(инд.i)*(U(инд.n) + + U(инд.p); Согласно расчетам U=A*T(c. –3/2), A – const; A(инд.n)=A(инд.р); U(инд.n)=A(инд.n)*T(c. –3/2); U(инд.p)=A(инд.p)* T(c. –3/2); n(инд.i)=B*e(c. -∆E(инд.о)/2kT); ∆Е(инд.о) – энергия активации собственной проводимости. Т.к. концентрация носителей в собственном ПП меняется с температурой по сильному экспоненциальному закону, а подвижность по отношению слабому степенному, то удельная проводимость меняется с температурой также, как и концентрация. δ=δ(инд.о)*e(c. - ∆Eo/kT); lnδ=lnδ(инд.о) - ∆E/2kT; tgα=∆Eo. ЗАВИСИМОСТЬ ПРИМЕСНОЙ ПРОВОДИМОСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ. Проводимость примесных проводников = собственная проводимость – примесная проводимость: δ=δ(инд.i)+δ(инд.n); n=n(инд.i)+n(инд.n); n=B*e(с. -∆Eo/2kT)+C e(c. -∆E(инд.n)/2kT); ∆Eo – активация собственной проводимости; ∆En – активация примесной проводимости. Участок аб соответствует низким температурам; при которых собственные носители ПП не возбуждаются. Т.к. энергия активации примесных носителей много меньше энергии активации собственной проводимости, то в условиях низких температур проводимость осуществляется только примесными носителями, причем с повышением температуры их концентрация растет. При некоторой температуре примесь истощается и концентрация носителей становится равной концентрации примесных атомов. Если при этих температурах энергии возбуждения собственных носителей не достигается, то концентрация носителей перестает зависеть от температуры (бв). При дальнейшем повышении температуры активируются собственные носители примесного ПП, их концентрация быстро растет с повышением температуры. 1/U=DT(с. –3/2)+ET(с. –3/2). Подвижность по слабому степенному закону, а концентрация – по сильному экспоненциальному закону => δ=δ(инд.о)*e(c. -∆Eo/2kT)+δ(инд.n)*e(c. -∆E(инд.n)/2kT). |