Прикладная физика в электроэнергетике. ЭПбз-18-2 49 Маризов А.А.. Иркутский национальный исследовательский

• Название: Иркутский национальный исследовательский
• Анкор: Прикладная физика в электроэнергетике
• Дата: 13.03.2022
• Размер: 1.38 Mb.
• Имя файла: ЭПбз-18-2 49 Маризов А.А..docx
• Тип: Документы; #394100
• страница: 3 из 3

Задача 4.3

На проволочный виток радиусом г=11,6см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент М_max=6,7 мкН. Сила тока I в витке равна 37,3А. Определить магнитную индукцию Вполя между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение. Индукцию Вмагнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с током в магнитном поле,

⁽¹⁾

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α=π/2(sin α=l), а также что p_m=IS, то формула (1) примет вид



Отсюда, учитывая, что S=πr², находим

⁽²⁾

Произведя вычисления по формуле (2), найдём



В=4.25*10^-6 Тл.

Закон полного тока. Магнитный поток. Магнитные цепи

Связь между магнитной индукцией В поля в ферромагнетике и напряжённостью Н намагничивающего поля выражается графически



Рис. 5.1

Задача 5.1

В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт токI=53,6 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны ее длиной l=70,5 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Р ешение

Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением



В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки В_n=В. Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где x— расстояние от провода до точки, в которой определяется В.

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то

dф=B(x)dS.

Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (рис. 5.2). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

dФ=

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x₁=a до х₂=2а, найдём

|_^2.

Подставив пределы, получим

(1)

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб):

[₀] [I] [l]= Гн/м 1 А 1 м=1 Вб.

Произведя вычисления по формуле (1), найдём



Ф=5,28*10^-8 Вб.

Задача 5.2

Определить индукцию В и напряжённость Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N=202 витков, идет ток I=5,06 А. Внешний диаметр d₁тороида равен 32,3 см, внутренний d₂= 20,6 см.

Решение. Для определения напряжённости магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии магнитной индукции поля:

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и напряжённости во всех точках этой линии одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряжённость Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2 r, где r — радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т. e.

(1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряжённости магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:

(2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

(3)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2rH=-NI, откуда

(4)

Для средней линии тороида r=1/2(R₁R₂)=1/4(d₁+d₂). Подставив это выражение r в формулу (4), найдём

(5)



H=1,23 кА/м

Магнитная индукция В₀в вакууме связана с напряжённостью поля соотношением B₀=₀H. Следовательно,

(6)



B₀=1,54*10^-3 Тл

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:

B₀=1,54*10^-3 Тл.

Пример. 5.3

Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l_о=5,92 мм. Длина l средней линии кольца равна 1,44 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I=4,04 А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,625 Тл? Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.

Решение

Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем

IN=Hl+H₀I₀.

По графику (см. рис. 5.1) находим, что при В=0,625 Тл напряжённость Н магнитного поля в чугуне равна 2600 А/м. Так как для воздуха =1, то напряжённость поля в воздушном зазоре при ₀ =4 10^-7 равна





H₀ =49,76 кА/м.

Искомое число витков





N=1655,90 т.е. 1655 витков.

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность

Задача 6.1

Виток, по которому течёт ток I=22,6 А, свободно установится в однородном магнитном поле В=18,5 мТл. Диаметр d витка равен 10,2 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно повернуть виток на угол =/2 относительно оси, совпадающей с диаметром?

Р ешение

При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выражением



где Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку, т. е.

(1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (положение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного момента p_m контура сонаправлен с вектором В (рис. 6.1, а) и магнитный поток Ф₁ максимален (=0, cos =1), т. е. Ф₁=ВS (где S – площадь контура). В конечном положении (рис. 6.1, б) вектор p_m перпендикулярен вектору B (=/2, cos =0) и магнитный поток Ф₂=0. Перепишем выражение (1) с учётом сделанных замечаний:



Так как площадь контура S=d²/4. то работа



Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):



Произведём вычисления:





А_вн = 3,415*10^-3 Дж.

Задача 6.2

В однородном магнитном поле с индукцией B=0,25 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N= 1064 витков, с частотой n=10,4 c ^-1. Площадь S рамки равна 154 см². Определить мгновенное значение ЭДС , соответствующее углу поворота рамки 60°.

Решение

Мгновенное значение ЭДС индукции , определяется основным уравнением электромагнитной индукции Ленца:

(1)

Потокосцепление =NФ, где N — число витков, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение  в формулу (1), получим

(2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону Ф=ВS cos t, где В — магнитная индукция; S – площадь рамки; – угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдём мгновенное значение ЭДС индукции:

(3)

Угловая частота со связана с частотой п вращения соотношением =2п. Подставив выражение со в формулу (3) и заменив t на угол , получим

(4)

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу ЭДС (В). Учтя, что 2 , N и sin t — величины безразмерные и неименованные, получим



Произведя вычисления по формуле (4), найдём









ξ_i = 231,69 B.

Задача 6.3

По соленоиду течёт ток I=2,18 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 6,65 мкВб. Определить индуктивность L соленоида, если он имеет N=828 витков.

Решение

Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением  соотношением =LI, откуда L=/I. Заменив здесь потокосцепление  его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (=ФN), получим

(1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим



L = 2,52*10^-3 Гн.

Энергия магнитного поля

Задача 7.1

На стержень из немагнитного материала длиной l=50,8 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится n = 27 витков. Определить энергию W магнитного поля внутри соленоида, если сила тока I в обмотке равна 1,01 А. Площадь S сечения стержня равна 3,45 см².

Решение

Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течёт ток I, выражается формулой

. (1)

Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа витков на единицу длины и от объёма V сердечника: L=μ₀n²V, где μ₀ –магнитная постоянная. Подставив выражение индуктивности L в формулу (1), получим . Учтя, что V=lS, запишем

. (2)

Сделав вычисления по формуле (2), найдём



W=8,18*10^-8 Дж.

Задача 7.2

По обмотке метрового соленоида со стальным сердечником течёт ток I=1.41 А. Определить объёмную плотность W энергии магнитного поля в сердечнике, если число п витков на каждом сантиметре длиныl соленоида равно 9 см^-1.

Решение

Объёмная плотность энергии магнитного поля определяется по формуле

(1)

Напряжённость Н магнитного поля найдём по формуле H=nlI.

По закону полного тока



где - число витков, равное .

Так как взятие интеграла





Отсюда



Подставив сюда значения п, lнайдёмколичество витков соленоида (п =9 см^-1 или n=9/0,01 м^-1) и I, найдём





H=1269 А/м

Магнитную индукцию В определим по графику (см. рис. 5.1) зависимости В от Н.

Рис. 5.1

Находим, что напряжённости H=1269 А/м соответствует магнитная индукция B=1,12 Тл.

Произведя вычисление по формуле (1), найдём объёмную плотность энергии:





W=710,64 Дж/м³.

Задача 7.3

На железный сердечник длиной l=11 см малого сечения (d<l) намотано N=138 витков. Определить магнитную проницаемость μ железа при силе тока I=0,579 А.

Решение

Магнитная проницаемость μ связана с магнитной индукцией В и напряжённостью Н магнитного поля соотношением

B= μ₀μH. (1)

Эта формула не выражает линейной зависимости В от Н, так как μ является функцией Н. Поэтому для определения магнитной проницаемости обычно пользуются графиком зависимости В(Н) (см. рис. 5.1). Из формулы (1) выразим магнитную проницаемость:

(2)

Напряжённость Н магнитного поля вычислим по формуле (катушку с малым сечением можно принять за соленоид) Н=п1, где п — число витков, приходящихся на отрезок катушки длиной 1 м. Выразив в этой формуле п через число N витков катушки и ее длину l, получим



Подставив сюда значения N, l и I и произведя вычисления, найдём



H=726,38 А/м.

По графику Рис. 5.1 находим, что для железа напряжённости Н=726,38 А/м соответствует магнитная индукция B=1,16 Тл. Подставив найденные значения В и Н, а также значение ₀ =4*10^-7 в формулу (2), вычислим магнитную проницаемость:





μ=1274,72