Курсовая информатика. Информатика Курсовая. Исследование численных методов вычисления определенных интегралов

• Название: Исследование численных методов вычисления определенных интегралов
• Анкор: Курсовая информатика
• Дата: 25.06.2022
• Размер: 1.18 Mb.
• Имя файла: Информатика Курсовая.docx
• Тип: Исследование; #615169

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тверской государственный технический университет»

(ГОУВПО «ТвГТУ»)

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   Кафедра информатики и прикладной математики
   

Курсовая работа
по дисциплине "Информатика"

на тему: Исследование численных методов вычисления определенных интегралов

Выполнил(а): студент(ка) группы Б.ТТ.АЭС.21.04

Фамилия (инициалы): Исаченко М.С.

Номер зачетной книжки:

Проверил: Ганичев А.В.

Тверь, 2021

СОДЕРЖАНИЕ

Оглавление

5. 
   Введение
   
6. 
   
   

При решении ряда актуальных физических и технических задач встречаются определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определенными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.

Цель работы:

выработать навык использования табличного процессора MS Excel для численного (приближенного) вычисления определенных интегралов (интегрирование) заданных в табличном виде.

Задачи:

1) вычислить определенный интеграл с заданной точностью ε методами: правых прямоугольников, центральных прямоугольников, левых прямоугольников, трапеций, Симпсона. Сравнить полученные результаты, сделать выводы;

2) вычислить значение интеграла аналитически;

3) исследовать зависимость точности вычисления интеграла ε от числа шагов n (точность – это модуль разности между численным и аналитическим значением)

Сравнить полученные результаты, сделать выводы;

4) оценить погрешность вычисления интеграла по правилу Рунге;

5) для наглядности полученных результатов использовать таблицы и графики;

7. 
   1. Численное интегрирование.
   

1.1. Постановка задачи.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл

, (1)

где f(x) – непрерывная на отрезке [a; b] функция.

С геометрической точки зрения интеграл (1) при f(x)> 0 равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и прямыми x = a, x = b (рис. 1). Другими словами, равен площади заштрихованной фигуры на рис. 1.

Рис. 1. Геометрический смысл определенного интеграла.
Вычислить определенный интеграл (1) можно с помощью аналитической формулы Ньютона-Лейбница (2):

, (2)

где F(x) – первообразная функция для заданной функции f(x).

Однако во многих случаях не удается найти никакой аналитической формулы в виду невозможности определения F(x).

Таким интегралом, например, является

. (3)

В математическом анализе доказывается, что для данной подынтегральной функции нельзя выразить первообразную F(x) через элементарные функции. С другой стороны, площадь криволинейной трапеции, задаваемой интегралом (3) существует (рис. 3). Значит, должно существовать и значение интеграла, которое, однако, мы не можем найти точно.



Рис. 2. График функции на отрезке [1; 3].

В таких случаях приходится применять методы численного интегрирования.

Основной принцип построения всех приближенных формул численного интегрирования состоит в том, что интервал интегрирования разбивается на множество меньших отрезков, внутри которых подынтегральная кривая y = f(x) заменяется с некоторой степенью точности более простыми функциями, интегралы от которых можно вычислить. С геометрической точки зрения выполняется следующее: искомая площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой площадей элементарных геометрических фигур.

1.2. Метод прямоугольников.

Как говорилось выше, вычисление интеграла равносильно вычислению площади некоторой фигуры – криволинейной трапеции с параллельными «основаниями» x = a, x = b и «боковыми сторонами» y = 0, y = f(x) (рис. 1).

Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной .

Приближенное значение интеграла получается в виде суммы площадей n прямоугольников, высота которых равна значению f(x) на левом краю каждого подинтервала (рис. 3).

hy₀+hy₁+…+hy_n-1 = h(y₀+y₁+…+y_n-1). То есть формула численного интегрирования имеет вид:

(4)

и называется формулой «левых» прямоугольников.

Рис. 3. Геометрическая интерпретация метода «левых» прямоугольников.
Если в качестве приближенного значения площади для каждого подинтервала принять площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) на правом краю подинтервала (рис. 4), то формула численного интегрирования имеет вид (5):

(5)


и называется формулой «правых» прямоугольников.

Рис. 4. Геометрическая интерпретация метода «правых» прямоугольников.
Существует третья модификация метода прямоугольников – метод «средних» прямоугольников. В этом случае в качестве приближенного значения площади для каждого подинтервала принимается площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) в средней точке подинтервала (рис. 5).

Рис. 5. Геометрическая интерпретация метода «средних» прямоугольников.
Тогда формула численного интегрирования имеет вид (6):

(6)

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (4)-(6). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.

1.3. Метод трапеций.

В этом методе отрезок [a; b] так же разбивается на n равных частей. На каждом отрезке [x_i; x_i+1] кривая y = f(x) заменяется прямой, проходящей через две известные точки с координатами и , где и строится прямоугольная трапеция с высотой (рис. 6).





Рис. 6. Геометрическая интерпретация метода трапеций.
В итоге искомая площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой площадей элементарных геометрических трапеций. (Площадь трапеции с высотой h и основаниями a, b вычисляется по формуле: ). Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в методе прямоугольников.

Тогда



вынесем h за скобку, получим



разобьем каждую дробь на две дроби



приведем подобные слагаемые, получим

.

Итак, .

Коротко полученную формулу можно записать в виде (7).

(7)

Заметим, что в данном методе получаем ступенчатую фигуру, составленную из трапеций, которая «плотнее» прилегает к заданной криволинейной трапеции, нежели фигура, составленная из прямоугольников в предыдущем методе.


1.4. Метод парабол (Симпсона).

Значительное повышение точности приближенных формул численного интегрирования дает метод парабол (Симпсона). Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает кривой y = f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой (метод трапеций). Поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, ограниченных сверху дугами парабол, являются более близкими к значениям площадей соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y = f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций.
Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода парабол.
Рассмотрим функцию y = f(x). Будем считать, что на отрезке [a; b] она положительна и непрерывна. Найдем площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 7).
Для этого разделим отрезок [a, b] точкой c = пополам и в точке C(c, f(c)) проведем касательную к линии y = f(x). После этого разделим [a, b] точками p и q на три равные части и проведем через них прямые x = p и x = q. Пусть P и Q – точки пересечения этих прямых с касательной. Соединив A с P и B с Q, получим три прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Тогда площадь трапеции aABb можно приближенно посчитать по следующей формуле:

,

где .

Откуда получаем

.

Заметим, что aA = f(a), bB = f(b), а pP + qQ = 2f(c) (как средняя линия трапеции), в итоге получаем малую формулу Симпсона

(8)

В данном случае дуга ACB заменяется параболой, проходящей через точки A, P, Q, B.

Малая формула Симпсона дает интеграл с хорошей точностью, когда график подынтегральной функции мало изогнут, в случаях же, когда дана более сложная функция, малая формула Симпсона непригодна. Тогда, чтобы посчитать интеграл заданной функции нужно разбить отрезок [a, b] на n частей и к каждому из отрезков применить формулу (8).

Обязательным требованием, вытекающим из геометрического смысла метода парабол, является то, что n должно быть четным. Пусть , точки деления будут х₀=а, x₁, x₂, …x_n-2, x_n-1, x_n=b, а y₀, y₁, …y_n – соответствующие значения подынтегральной функции на отрезке [a, b].

Тогда, применяя малую формулу Симпсона к каждой паре получившихся отрезков, имеем



Тогда

. (9)

Заметим, что во всех выражениях первый множитель равен :

(10)

Сделав замену по формулам (10), вынося общий множитель за скобку, в (9) получаем:





группируем слагаемые

.

Таким образом, получаем «большую» формулу Симпсона, которая имеет вид:

(11)

Предлагаем для запоминания следующий вид формулы:

(11^’)

где Y_кр = y₀ + y_n, Y_неч = y₁ + y₃ + … + y_n-1, Y_чет = y₂ + y₄ + … + y_n-2, а .

1.5. Правило Рунге оценки погрешности.

В каждой конкретной задаче необходимо определить число точек деления n, необходимое для вычисления интеграла (1) с требуемой точностью ε.

Для определения n удобно следующее правило Рунге. Пусть ε – заданная точность вычисления интеграла (1), тогда шаг h должен удовлетворять условию

(12)

По этому значению h из соотношения определяется n. При этом для метода Симпсона в качестве n берется ближайшее четное целое число, превосходящее , а для методов прямоугольников и трапеций – ближайшее целое, превосходящее .

Оценку погрешности можно провести также следующим методом Рунге.

Пусть - приближенное значение интеграла (1), вычисленное с шагом h, а - значение этого интеграла, вычисленное с шагом 2h. Заметим, что чем меньше шаг h (а, следовательно, больше n), тем точнее получается приближенное значение интеграла.

Если

, (13)

где и вычислены по методу Симпсона, или

, (14)

где и вычислены по методу прямоугольников или трапеций, то в качестве приближенного значения интеграла (1) берут значение .

Если неравенство для соответствующего метода не выполняется, то найденное значение интеграла не удовлетворяет заданной точности.

Тогда проводят новые вычисления с шагом и вновь проверяют выполнение неравенства (13) или (14). Этот прием многократного уменьшения шага применяют до тех пор, пока соответствующее неравенство не станет истинным.

Пример. Вычислить с точностью ε = 0,001 по методу Симпсона.

Решение. Оценим величину шага h по формуле (12): .

Выберем . Так как в методе Симпсона n обязательно должно быть четным, и его следует округлять в сторону увеличения, то берем n = 8. Для этого n определяем шаг . (Заметим, что все промежуточные расчеты выполняем с запасной цифрой после запятой: так как точность ε = 0,001, то в вычислениях оставляем четыре цифры после запятой).

Используя формулу метода Симпсона, получаем .

Проведем контроль точности вычислений по методу Рунге. Обозначим найденное значение интеграла с шагом через . Увеличим шаг интегрирования в два раза и с этим новым шагом 2h = 0,327 вычисляем искомый интеграл (при этом n = 4). Получим значение = .

По формуле (13) имеем

.

Условие (13) выполнено, следовательно, приближенное значение интеграла с точностью 0,001 равно = 2,476.

8. 
   2. Практическая часть
   

2.1 Методика выполнения лабораторной работы

Вычисление определенных интегралов

Задание. Для примера своего варианта, используя MS Excel, вычислить определенный интеграл тремя способами: правостороннее приближение, левосторонние приближение и по формуле трапеций. Провести анализ вычислений для всех способов. Сделать выводы.

Методика выполнения задания.

Наиболее простое и в большинстве случаев приемлемое приближение состоит в том, что на каждом из интервалов, на которые разбит диапазон интегрирования, интегрируемая функция считается постоянной. В этом случае говорят о вычислении интеграла по формуле прямоугольников. При этом можно в качестве значения функции на интервале брать либо значение на правой границе интервала (правостороннее приближение), либо значение на левой границе интервала (левостороннее приближение). Ситуация проиллюстрирована на рисунках.

Если все интервалы имеют одинаковую длину h, формулы имеют вид для правостороннего приближения и для левостороннего приближения. Однако обычно для вычисления интегралов используется формула трапеций. Она несколько сложнее по сравнению с первыми двумя, но зато позволяет получать, как правило, более точные результаты. Идея состоит в том, что соседние узловые точки функции соединяются прямой, поэтому вся площадь под графиком функции состоит как бы из трапеций. Соответственно, сама площадь равна сумме площадей этих трапеций. Формула для интервалов равной длины имеет вид .

Это три основные формулы, позволяющие вычислять интегралы от функций, заданных в виде таблицы.

Далее рассмотрим, как описанные методы могут использоваться для вычисления интегралов на практике.

Пример.

Вычислить интеграл .

Этот интеграл может быть вычислен аналитически. В частности, очевидно, что

Именно это значение и попытаемся получить в результате интегрирования с использованием численных методов.

1. Оформляем таблицу, как показано на рисунке.

2. В ячейку А4 вводим число 0 как начальное значение для переменного интегрирования. После этого в ячейку А5 вводится формула =А4+ПИ()/10, согласно которой значение последующего узла получается прибавлением к предыдущему узлу десятой части от длины диапазона интегрирования (команда ПИ()/10) и копируем ее до А14.

3. В ячейку В4 вводим заданную формулу =SIN(A4) и копируем ее до ячейки В14.

4. Вводим формулы для вычисления площадей элементарных (базовых) прямоугольников или трапеций.

В ячейку С4 вводим формулу =(А5 −А4)*В5 (правосторонние приближение), в ячейку D4 вводим практически такую же формулу =(А5−А4)*В4 (левосторонние приближение), и для метода трапеций в ячейку Е4 вводится формула =(А5−А4)*(В5+В4)/2.
Заполнять данные для элементарных площадей следует вплоть до предпоследней строки диапазона (т.е. ячейки С14, D14, Е14 заполнять не следует — для этих ячеек введенные ранее формулы определения элементарных площадей не работают).

Осталось только вычислить сумму значений в столбцах С, D и Е. Для этого выделяем ячейку С15 и вводим туда формулу =СУММ(C4:C13).

В ячейку D15 вводится формула =СУММ(D4:D13), а в ячейку Е15 — формула =СУММ(E4:E13). Окончательный результат показан на рисунке.

Результат вычислений для всех методов одинаковый.

Абсолютная точность: |2−1,9835| = 0,0165.

Относительная точность: 0,0165 / 1,9835 = 0,0083.





2.2 Вычисление интеграла

Рис 8. Вычисление производной функции Cos³x/3


Рис 9. Вычисление интеграла Cos³x/3

9. 
   Заключение
   

В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться одним из методов прямоугольника. Если же необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона. Метод трапеций даёт ответ более точный, чем метод прямоугольников, но методу Симпсона он сильно уступает, этот метод можно назвать «золотой серединой» между двумя другими. Можно повысить точность вычисления увеличивая шаг интегрирования. Так же очень важны аналитические способы нахождения определенного интеграла, но они не всегда выполнимы, т.к. не всегда можно найти первообразную функции.

10. 
    Список литературы
    

1. 
   Волков Е. А. Численные методы.М., Высшая школа, 1990.
   
2. 
   Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.
   
3. 
   Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. - Мн., 1998. - 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).      
   
4. 
     Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. - Мн.: ТетраСистемс, 1998. - 416 с.      
   
5. 
     Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I. - М.: Наука, 1982. - 616 с.