Телетраффика. Издание второе, переработанное и дополненное
 Скачать 3.77 Mb.
|
|
9.2. Комбинаторный метод. Полнодоступное включение выходов Рассмотрим на примере односвязной двухзвеньевой схемы, приведенной на рис. 9.1, комбинаторный метод расчета, разработанный шведским ученым Якобеусом. Число выходов из каждого коммутатора звена В этой схемы для направления H j равно единице (q=1). Будем считать, что к рассматриваемому моменту времени вызов поступил на один из входов схемы, к примеру на второй вход первого коммутатора. Установление соединения через схему, те. между определенным входом и одним из выходов рассматриваемого направления H j , заключается в использовании одной из свободных промежуточных линий и одного из свободных выходов требуемого направления, взаимно доступных друг другу. Для обслуживания поступившего вызова в рассматриваемом случае могут быть использованы т промежуточных линий и т выходов требуемого направления, которые выделены на рис. 9.1 жирными линиями. Соединение может быть установлено, если имеется пара свободных и взаимно доступных звеньев. Если такой пары нетто наступают потери соединений. Таким образом, потери возникают в трех случаях 1) если заняты все промежуточные линии, которые могут быть использованы для поступившего вызова 2) если заняты все выходы в требуемом направлении 3) когда возникают неудачные комбинации свободных промежуточных линий и свободных выходов. Если считать, что рассматриваемый вызов поступил на отмеченный вход первого коммутатора в момент, когда i промежуточных линий из т, подключенных к выходам данного коммутатора, заняты, то для подключения входа к одному из выходов требуемого направления могут быть использованы только оставшиеся т промежуточных линий. Если же выходы требуемого направления, соответствующие этим т линиям, заняты, то наступят потери. Это утверждение справедливо для любого i, лежащего в пределах 0 ≤i≤m, и охватывает два случая занятости всех промежуточных линий (i = m) и всех выходов в направлении (i=0). Если вероятность занятия любых i из m промежуточных линий, принадлежащих одному коммутатору первого звена, обозначить через а вероятность занятия определенных т выходов (соответствующих свободным промежуточным линиям) – через Н т-i , тов соответствии со сказанным можно записать следующее выражение для потерь Записанная формула справедлива при выполнении следующих двух предположений 1. Независимость событий, описываемых вероятностями W i и H m–i . Предположения являются условными, так как промежуточные линии и выходы занимаются парами) 2. Случайное (равновероятное) занятие промежуточных линий и выходов. При этом все вероятности занятия i промежуточных линий считаются в (9.1) равными между собой вне зависимости оттого, какие i из т линий заняты. (При наличии определенного порядка занятия промежуточных линий это предположение несправедливо) Для подсчета потерь в соответствии с выражением (9.1) необходимо знать вероятности и Н т-i , те. функции распределения вероятностей занятия промежуточных линий и выходов. Комбинаторный метод Якобеуса предусматривает использование распределений Эрланга и Бернулли. При использовании распределения Эрланга вероятность занятия i любых соединительных устройств в пучке из m таких устройств при интенсивности нагрузки у Эрл на пучок принимается равной а вероятность занятия m–i фиксированных соединительных устройств в пучке из m устройств где выражение Е т (у) это потери в полнодоступном пучке из т соединительных устройств при интенсивности нагрузки у Эрл на пучок, вычисленные по формуле Эрланга, те) потери при той же интенсивности нагрузки в пучке из i соединительных устройств, те. При использовании распределения Бернулли (биномиальное распределение) вероятность Следует иметь ввиду, что и H m-i зависят также от у и т, те Н т , m-i (y). 108 W i занятия i любых соединительных устройств в пучке из т устройств при интенсивности нагрузки у Эрл на пучок принимается равной где С число сочетаний из т по i; η – средняя нагрузка, обслуженная одним соединительным устройством в пучке. Вероятность занятия т фиксированных соединительных устройств при тех же условиях принимается равной Распределение Эрланга предполагает неограниченное число источников нагрузки, аи) основываются на интенсивности поступающей нагрузки. Распределение Бернулли предполагает ограниченное число источников нагрузки, не превышающее число соединительных устройства в (9.4) и (9.5) входит обслуженная нагрузка. Естественно, что величина вероятности потерь при использовании различных распределений получится различной. Метод рекомендует принимать распределение Эрланга при определении вероятности занятия тех соединительных устройств, для которых число источников нагрузки больше числа соединительных устройств. Использование распределения Бернулли считается целесообразным при числе источников нагрузки, примерно равном числу соединительных устройств, для которых определяются вероятности занятия. Расчетные формулы для определения вероятности потерь в двухзвеньевой схеме можно получить, если в общее выражение для потерь (9.1) подставить выражения для W i и H m-i 9.3. Потери в двухзвеньевых схемах при отсутствии сжатия и расширения При отсутствии сжатия (концентрации) и расширения число входов в каждый коммутатор первого звена п равно числу выходов т в каждом из этих коммутаторов. В данном случае для промежуточных линий, в соответствии с рассматриваемым методом, можно принять распределение Бернулли, так как число источников телефонной нагрузки, которыми являются входы, равно числу соединительных устройств (промежуточных линий. Если для выходов двухзвеньевой схемы можно также принять распределение Бернулли, что может быть справедливым при небольшом числе коммутаторов первого звена, тогда и H m-i будут иметь следующие выражения относя к промежуточным линиям, получим W i =C i m b i (1–b) т-i где Ст – число сочетаний из т по i; b – средняя интенсивность нагрузки, обслуженной одной промежуточной линией, Эрл; для вероятности Н т-i , отнесенной к выходам, выражение имеет вид Н т-i =с m-i , где с – средняя интенсивность нагрузки, обслуженной одним выходом рассматриваемого направления, Эрл. Подставляя значения ив, получаем Учитывая формулу бинома Ньютона, получаем Если число коммутаторов k в первом звене велико, тогда для выходов рассматриваемого направления целесообразно принять распределение Эрланга. Относя к направлению, а к промежуточным линиям, получим 109 где у – интенсивность поступающей нагрузки на направление, Эрл. Подставляя эти выражения в (9.1), получаем Вынося затем несуммирующиеся множители за знак суммы, находим Используя указанное ранее обозначение для первой формулы Эрланга, получаем выражение для потерь в рассматриваемом случае Если для образования направления отводится в каждом коммутаторе второго звена q выходов, то для случая, когда и занятие выходов и занятие промежуточных линий можно описать распределением Бернулли, будем иметь т H (m-i)q =c (m-i)q . Подставляя эти выражения в (9.1) и учитывая формулу бинома Ньютона, получаем Если занятие выходов подчиняется распределению Эрланга, а занятие промежуточных линий – распределению Бернулли, тов этом случае выражение для потерь при некоторых дополнительных ограничениях может быть преобразовано к виду В соответствии с рассматриваемым методом данная формула может применяться и для дробных значений q. Следует отметить, что выражения (9.8) и (9.9) имеют более общий вид и включают в себя соответственно (9.6) и (9.7), которые можно получить из первых двух, полагая q=1. 9.4. Потери в двухзвеньевых схемах при наличии сжатия или расширения В схемах со сжатием концентрацией) число входов п в коммутатор первого звена больше числа выходов m из этого коммутатора. В таких схемах потери возникают из-за наличия неудачных сочетаний занятых промежуточных линий и выходов, а также при поступлении на входы коммутатора первого звена более m вызовов. Если при q ≥1 и распределении Бернулли для промежуточных линий и выходов отнести к промежуточным линиям, а H (m-i)q – к выходам рассматриваемого направления, то можно записать аи Н, где а – средняя интенсивность нагрузки, обслуженной одним входом коммутатора первого звена. Потери для данного случая определяются следующим образом 110 В этом выражении первое слагаемое учитывает потери из-за неудачных сочетаний при занятиях промежуточных линий и выходов, а второе – потери за счет поступления болеет вызовов в один коммутатор первого звена. Если искание свободных выходов в схемах с производить в два этапа, те. таким образом, чтобы в первую очередь занимались все выходы в q–1 столбцах (группах) выходов и только после этого занимались бы выходы последнего столбца (группы) q, то можно приближенно выразить потери для схем с концентрацией при q ≥ 1: где b=(п/т)а. Для случая неупорядоченного занятия выходов в направлении достаточно точные результаты дает выражение (9.8). Если для первого звена сохранить распределение Бернулли, а для второго звена принять распределение Эрланга, то для двухэтапного искания можно получить следующее приближенное выражение для потерь В схемах с расширением число входов п в каждый коммутатор первого звена меньше числа выходов m из коммутатора. В такой схеме число одновременных вызовов не превышает па следовательно, меньше т, поэтому потери могут иметь место только за счет неудачных сочетаний занятых промежуточных линий и выходов. Если и для промежуточных линий и для выходов справедливо распределение Бернулли, то при и отнесенном к промежуточным линиям, можно записать W i =C i n a i (1–а) п-i ; Н (т–i)q =с (т-i)q .Подставляя значения этих вероятностей в (9.1), получаем Учитывая формулу бинома Ньютона, получаем окончательное выражение для потерь 111 Если, сохранив распределение Бернулли для промежуточных линий, принять распределение Эрланга для выходов, то для вероятности потерь в данном случае может быть получено выражение Рассмотренные выше схемы относятся к случаю односвязного двухзвеньевого включения, при котором один коммутатор первого звена соединен с коммутатором второго звена одной промежуточной линией. При наличии f соединительных путей между парой коммутаторов первого и второго звеньев многосвязная двухзвеньевая схема будет иметь вид, показанный на рис. 9.2. Для многосвязных двузвеньевых схем в соответствии с комбинаторным методом считаются справедливыми все полученные выше формулы, если а заменить на a f , a b заменить на b f . 9.5. Двухзвеньевые неполнодоступные схемы В парагр. 9.1–9.4 рассматривались двухзвенъевые схемы, у которых число соединительных устройств υ, требуемых для обслуживания телефонной нагрузки в каком-то направлении, не превышало числа mq, те. числа выходов, отводимых в схеме для рассматриваемого направления (максимальная доступность. Однако если приведенные в предыдущем параграфе схемы рассматривать как схемы отдельных блоков искания, то может оказаться, что для целой ступени искания, содержащей несколько указанных блоков, в данном направлении требуется такое число выходов для включения приборов последующей ступени искания, которое превышает число выходов, отведенных для этого направления в каждом блоке. В этом случае приборы последующей ступени искания включаются неполнодоступным пучком по отношению к выходам каждого блока в отдельности. На рис. 9.3 приведена двухзвеньевая неполнодоступная схема, содержащая g двухзвеньевых схем (блоков, из которых показана первая и последняя. Если число выходов из каждого блока равно mq, а число таких блоков g, то из общего числа выходов всех блоков, равного gmq, путем запараллеливаний получают число v выходов, необходимое для включения приборов последующей ступени искания. При этом справедливо следующее неравенство mq< υ υ=d. В данном случае неполнодоступное включение превращается в полнодоступное и при потерях р пучок в d соединительных устройств обслужит нагрузку, которую при малых потерях можно приближенно принять равной в соответствии с формулой Эрланга (9.14) для полнодоступного включения. Максимальное значение пропускной способности определяется из формулы Эрланга для ступенчатого включения, имеющей вид 112 где у ≈y о – нагрузка, обслуживаемая пучком приборов при ступенчатом включении с доступностью d и потерях р. Каждый прибор может обслужить в среднем нагрузку, определяемую (9.15), d p y = υ = / max c лишь в случае бесконечно большого числа приборов в пучке. В соответствии с идеей О'Делла из всех v соединительных устройств пучка при ступенчатом включении каждый из d приборов обслуживает среднюю нагрузку, равную y d /d, а остальные υ–d приборов обслуживают каждый в среднем Тогда при малой величине потерь число соединительных устройств в пучке ступенчатого включения с доступностью d, обслуживающем интенсивность поступающей нагрузки у, определится из формулы О'Делла: Если для двухзвеньевого неполнодоступного включения (см. рис. 9.3) применить тот же ход рассуждений, что и для неполнодоступного однозвеньевого включения, то минимальное значение средней пропускной способности будет в том случае, когда υ= mq, те. когда общее число выходов будет равно числу выходов, доступных каждому входу. В этом случае двухзвеньевая неполнодоступная схема превращается в двухзвеньевую полнодоступную схему и пропускаемая нагрузка будет определяться из формул, полученных в предыдущем параграфе. Для случая отсутствия сжатия и расширения (п=т) распределения Бернулли для промежуточных линий и распределения Эрланга для выходов справедлива ф-ла (9.9), в соответствии с которой у тq определится из выражения Выходы двухзвеньевой неполнодоступной схемы достигнут максимального значения средней пропускной способности в том случае, когда число выходов будет велико. В этом случае при расчете схемы следует принимать распределение Бернулли и для промежуточных линий и для выходов. Тогда с тах определится из следующего соотношения полученного на основании (9.8). Следовательно, в соответствии с идеей О'Делла средняя интенсивность нагрузки, обслуживаемой каждым из mq выходов в двухзвеньевой неполнодоступной схеме, имеющей выходов, будет равна y mq /mq, где определяется (9.19). Остальные υ–mq выходов пропустят каждый в среднем с тах нагрузки, значение которой определится (9.20). Таким образом, число выходов при двухзвеньевом неполнодоступном включении, которое необходимо для обслуживания нагрузки ус потерями р, определится по аналогии с соотношением (9.16) из следующего уравнения где и с тах определяются (9.19) и (9.20). Если ввести обозначение υ ο =mq–y mq /c max , то для расчета числа выходов в схеме при отсутствии концентрации и расширения для q ≥1 получим следующую систему уравнений В этих уравнениях υ – число выходов двухзвеньевой неполнодоступной схемы в 113 рассматриваемом направлении (число соединительных устройств последующей ступени искания у – интенсивность поступающей нагрузки на все выходов рассматриваемого направления mq – максимальное число выходов, доступных любому входу b – средняя интенсивность нагрузки, обслуживаемой одной промежуточной линией р – допустимые потери y mq – интенсивность нагрузки, поступающей на mq выходов при величине потерь р, определяемой (9.19); стах – предельная пропускная способность выхода при неограниченном числе выходов, определяемая (9.20). Рассуждения, которые приведены выше, дают возможность получить аналогичные системы уравнений для расчета числа соединительных устройств при использовании других типов двухзвеньевых неполнодоступных схем. Составление системы производится следующим образом. Используется формула О'Делла (9.16) в записи (9.17) и (9.18), где вместо d введена максимальная доступность двухзвеньевой неполнодоступной схемы. Для определения двух пределов нагрузки, обслуженной каждым выходом, к последующей ступени искания в рассматриваемом направлении берутся две формулы, справедливые для двухзвеньевого полнодоступного включения. Нижний предел определяется по формуле, полученной в предположении справедливости для выходов направления распределения Эрланга, а верхний предел – по формуле, использующей для выходов распределение Бернулли. Эти формулы выбираются конкретно для каждого рассматриваемого примера в зависимости от величины отношения т/п, величины q и способа отыскания свободного выхода в направлении. Все системы уравнений дают приемлемые результаты, если для заданной интенсивности нагрузки, потерь и параметров схемы число выходов к последующей ступени искания удовлетворяет следующему неравенству mq ≤υ≤(g/2)mq, где g – число блоков искания, объединяемых неполнодоступным включением. |