Телетраффика. Издание второе, переработанное и дополненное
 Скачать 3.77 Mb.
|
|
8.7. Формула Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы Рассмотрим следующую модель в выходы одвозвеньевой идеально симметричной неполнодоступной схемы с доступностью d включено линий на входы схемы поступает простейший поток вызовов с параметром λ; длительность обслуживания является случайной величиной, распределенной по показательному закону е если вызов поступает от источника нагрузочной группы, в которой нет доступа к свободной линии (все d линий заняты, то вызов теряется. Требуется определить вероятность потерь. Как было указано в гл. 4, для любого однородного транзитивногомарковского процесса с конечным числом состояний переходныe вероятности p ji (t) того, что система, находившаяся в состоянии j, за время t перейдет в состояние i, имеют предел, независящий от начального состояния j. Если V(t) число занятых линий в неполнодоступном пучке в момент времени t, то V(t) являетсяслучайным процессом с конечным числом состояний, поскольку число линий в НС конечно. Процесс V(t) является марковским, так как будущее течение егоне зависит от прошлого, если известно настоящее, те. известно V(t 0 ). Кроме того, этот процесс является однородным, поскольку переходные вероятности р) зависят лишь от длины интервала и не зависят от расположения интервала на оси времени (те. от t 2 и И, наконец, V(t) является транзитивным марковским процессом. Это следует из того, что возможен переход из любого состояния j в любое состояние i пучка. Иначе говоря, переходная вероятность p ji (t) отлична от нуля. Последнее можно подтвердить следующими соображениями. Если разбить интервал t на две части, то вероятность перехода из состояния j в нулевое состояние за первую часть интервала при условии, что не поступит ни одного вызова и освободятся все j занятых линий пучка, будет отлична от нуля. Точно также вероятность перехода системы из нулевого состояния в состояние i если произойдет i занятий и ни одного освобождения) за вторую часть интервала будет также отлична от нуля. Переходная вероятность P ji (t) не меньше произведения вероятностей переходов из состояния j в нулевое состояние и из нулевого состояния в состояние i и поэтому отлична от нуля. 98 В общем случае неполнодоступная схема, в выходы которой включено линий, имеет 2 υ микросостояний. Для идеально симметричной схемы достаточно рассмотреть только υ+1 макросостояний аналогично тому, как это имеет место для полнодоступного пучка. Запишем параметры потоков рождения и гибели (занятий и освобождений линий) для рассматриваемого процесса (рис. 8.6). Так как на входы схемы поступает простейший поток вызовов, то при i λ 0 = λ = ... = λ d-1 = λ. Переход из состояния d в состояние возможен только в том случае, если вызов поступает от источника нагрузочной группы, в которой незанята хотя бы одна из d доступных линий. Если же вызов поступит от источника нагрузочной группы, в которой заняты все d доступных линий, то вызов теряется. Обозначим через условную вероятность потери вызова при i занятых линиях. В идеально симметричной неполнодоступной схеме при i<d γ i =0, а при i ≥d γ i >0. Тогда вероятность того, что в состоянии i поступивший вызов займет свободную линию, будет равна Следовательно, для i ≥d λ i ,= λ(1–γ i ). Таким образом, Параметр потока освобождений По аналогии с (4.12) при конечном числе состояний стационарные вероятности состояний определяются следующими выражениями Подставляя (8.16) ив) и учитывая, что для i<.d γ i =0, получим Для получения выражения для вероятности потерь воспользуемся формулой полной вероятности Так как при i<d γ i =0, то ) 20 Подставляя в (8.20) выражение для риз (8.19), получим 99 В (8.21) при x<d. Для того чтобы воспользоваться (8.21), необходимо вычислить В общем случае для произвольной НС условные вероятности γ i зависят не только от числа i занятых выходов, но и от интенсивности поступающей нагрузки, структуры НС и алгоритма установления соединения. Для практически используемых НС определение условных вероятностей γ i представляет собой сложную комбинаторную задачу. Определение всех в данном случае практически невозможно из-за большого числа состояний системы. Особое место среди НС занимают идеально симметричные неполнодоступные схемы, так как в этих схемах число нагрузочных групп и занятие d фиксированных линий блокирует одну определенную нагрузочную группу (C d d =l). Определим для идеально симметричной схемы число нагрузочных групп, блокируемых в состоянии i занятых выходов, если i ≥d. Очевидно, что число заблокированных групп равно числу способов выбора d выходов из i занятых выходов, те. Следовательно, условная вероятность того, что при i занятых выходах идеально симметричной НС поступающий вызов попадает в заблокированную группу, равна отношению числа заблокированных групп к общему числу групп. Поэтому условная вероятность блокировки будет равна Соотношение (8.22) справедливо, если возможные размещения свободных и занятых линий равновероятны, что имеет место в силу симметрии идеальной НС. Подставляя выражение для γ i в формулу для потерь (8.21), получим Эта формула называется формулой Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы. Иногда ее называют третьей формулой Эрланга и обозначают у. Формула (8.23) табулирована [30]. 8.8. Априорные методы определения потерь в неполнодоступных схемах Постановка задачи. При проектировании объема коммутационного оборудования исходными данными являются интенсивность телефонной нагрузки, подлежащей обслуживанию, и допустимая величина потерь, определяющая качество обслуживания. По этим данным требуется определить число соединительных устройств, которые могут обслужить заданную нагрузку с требуемым качеством, и построить схему соединения, те. найти значения структурных параметров схемы. Выбранная структура схемы должна обеспечивать обслуживание нагрузки с заданным качеством при минимальном числе соединительных устройств. Обе задачи, возникающие при проектировании коммутационного оборудования, – выбор схемы включения и определение числа соединительных устройств – взаимно связаны между собой и являются частями одной общей задачи определения минимального объема оборудования. Сложность решения этой общей задачи заставляет делить ее на две отдельные, из которых первая рассмотрена в парагр. 8.3 и 8.4. Решение второй задачи обычно ищут в виде р=f(у, υ, d, g, СП), те. стремятся определить вероятность потерь р как функцию интенсивности нагрузки у, числа приборов υ, доступности d, числа нагрузочных групп g и других структурных параметров (СП). Для облегчения задачи считают структурные параметры схемы заданными. В этом случае отыскивается соотношение типа Точное решение данной задачи имеется лишь для идеально симметричных НС и малых неполнодоступных схем, когда возможно решение системы уравнений для вероятностей состояний. Можно получить также приближенную оценку вероятности с требуемой степенью точности, если воспользоваться методом статистического моделирования на ЭВМ или моделированием на специализированных машинах телефонной нагрузки. Для инженерной практики проектирования перечисленные способы подсчета потерь в большинстве случаев неудобны. Для подсчета потерь в неполнодоступном пучке имеются достаточно простые приближенные способы, которые отражают лишь основные закономерности функции (8.24), учитывая структуру с помощью только одного параметра d. Данные методы основаны на априорных предположениях о распределении вероятностей занятия линий в неполнодоступном пучке, поэтому назовем их априорными. Основным недостатком таких методов является тот факт, что оценить погрешность результатов, полученных сих помощью, можно только экспериментальной проверкой или применением точных методов расчета. Рассмотрим несколько приближенных априорных методов определения вероятности потерь в неполнодоступном пучке. Упрощенный метод Эрланга. Если у–интенсивность нагрузки, поступающей на неполнодоступный пучок соединительных устройств, υ – число соединительных устройств, обслуживающих эту нагрузку, d – доступность и р – вероятность потерь, то при малой вероятности потерь средняя величина интенсивности нагрузки, обслуженной одним соединительным устройством, будет примерно равна у Вероятность Н 1 занятости определенного (точно указанного) соединительного устройства можно принять равной средней величине интенсивности нагрузки, обслуженной этим устройством, те. Если события занятости приборов в неполнодоступном пучке считать независимыми, то вероятность занятости d определенных устройств будет равна H d =H d 1 =(y/ υ) d . Эта вероятность принимается за вероятность потерь, те. Соотношение (8.25) является весьма простой зависимостью типа (8.24). Из него в явном виде можно получить выражения для у и υ: Приведенные рассуждения равносильны априорному утверждению справедливости распределения Бернулли для описания процесса занятия соединительных устройств в неполнодоступном пучке. Формулы (8.25) и (8.26) могут дать лишь грубое приближение для искомых величин и представляют интерес только в случае качественной оценки основных зависимостей между р, υ, у и d. Метод Лотце – Бабицкого. Предположим, что процесс занятия соединительных устройств в неполнодоступном пучке можно описать с помощью распределения Эрланга, полученного им для вероятности занятия любых i линий в полнодоступном пучке. Для полнодоступного пучка, состоящего из линий, при интенсивности поступающей нагрузки у оно имеет вид 101 В этом случае вероятность занятия i фиксированных соединительных устройств в полнодоступном пучке при тех же значениях числа приборов и нагрузки будет равна Тогда, считая, что вероятность потерь в неполнодоступном пучке равна вероятности занятия d определенных устройств, получим для нее следующее соотношение Формула (8.28) была предложена К. Пальмом в 1943 г. и использовалась К. Якобеусом в 1947 г. для определения потерь в двухзвеньевых схемах. И. А. Бабицкий в 1956 г. использовал эту формулу для определения потерь в ступенчатых НС и привел таблицы для некоторых значений параметров ступенчатых схем. Результаты вычислений потерь, полученные по формуле Пальма Якобеуса см. (8.28)], хорошо согласуются с результатами статистического моделирования при малых значениях потерь. Для более точного соответствия значений потерь, вычисленных поданной формуле в широком диапазоне, в том числе и при больших потерях, А. Лотце предложил модификацию указанной формулы. В модифицированной формуле Пальма – Якобеуса (сокращенно формуле МПЯ) взамен реально поступающей на неполнодоступ-ную схему нагрузки у используется некоторая фиктивная поступающая нагрузка уф, которая обеспечивает имеющую место в НС обслуженную нагрузку у 0 при потерях, характерных для полнодоступного пучка. Формула МПЯ, таким образом, имеет вид Для заданных и у 0 фиктивная нагрузка уф определяется следующим соотношением Реально поступающая на НС нагрузка у может быть получена из соотношения Таким образом, реально поступающая нагрузка у обеспечивает обслуженную нагрузку у 0 в неполнодоступной схеме, состоящей из линий при доступности d, а фиктивная поступающая нагрузка уф создает туже обслуженную нагрузку у 0 в полнодоступном пучке из линий (d=υ). Формула МПЯ совместно с соотношениями (8.30) и (8.31) обеспечивает достаточную точность при определении потерь в НС в широком диапазоне потерь. Это подтверждено многочисленными результатами статистического моделирования в работах А. Лотце и его сотрудников. Ими получены таблицы значений потерь по формуле МПЯ для диапазона значений доступности d=2 ÷60, числа приборов υ=1÷200 и потерь р. Метод О'Делла. Поэтому методу нагрузка у, обслуженная неполнодоступным пучком из соединительных устройств при вероятности потерь р, определяется как сумма нагрузок, обслуженных полнодоступным пучком, состоящим из d устройств, и неполнодоступным пучком, содержащим υ–d соединительных устройств. Считается, что каждая линия полнодоступного пучка 102 обслужит нагрузку где у – нагрузка, обслуженная всеми d линиями полнодоступного пучка при заданных потерях р Относительно второго (неполнодоступного) пучка предполагается, что каждая из υ–d его линий пропустит нагрузку, лежащую между в соответствии с соотношением (8.32) и у тах , определяемой (8.25), те. Отметим, что средняя пропускная способность каждой линии, определяемая (8.33), является предельной величиной удельной пропускной способности в идеально симметричной НС при неограниченно большом числе линий ( υ→∞). В соответствии со сказанным Коэффициент K ≤l в (8.34) определяет величину надбавки пропускной способности линий второго (неполнодоступного) пучка по сравнению с первым (полнодоступным). Измерения, проведенные Британским почтовым ведомством, показали, что для ступенчатых НС в случае, когда поступающая нагрузка образуется простейшим потоком, для которого отношение дисперсии к среднему значению равно единице ( σ 2 /y)=1), следует принимать значение K=0,53. При поступлении выровненной нагрузки, те. нагрузки, образуемой потоками вызовов, для которых ( σ 2 /y)<1, можно полагать КВ этом случае Из соотношения (8.35) можно получить выражения для и р в следующем виде Формулами (8.35) – (8.37) рекомендуется пользоваться для расчета числа соединительных устройств на всех ступенях искания, кроме IГИ. Рекомендация мотивируется тем, что в этих случаях приборы обслуживают поток вызовов, преобразованный (выровненный) на предыдущих ступенях искания, для которого справедливы полученные формулы. Для IГИ, обслуживающих непреобразованный поток вызовов (простейший поток, предлагается использование формул, получающихся из соотношения (8.34) при K=0,53. 8.9. Инженерный расчет неполнодоступных схем С целью упрощения расчетов обычно стремятся свести их процедуру к использованию таблиц, кривых или простейших формул. Формулы (8.25) и (8.26) являются весьма грубым описанием существа дела и для инженерных расчетов обычно не используются. Результаты вычислений по (8.29) – (8.31) приведены в литературе в виде таблиц и используются для расчетов равномерных НС. При фиксированных значениях d и р ф-ла (8.36) и аналогичная формула при K=0,53 приобретает вид линейной зависимости числа соединительных устройств от интенсивности нагрузки 103 где α и β – постоянные коэффициенты при заданных d и р и зависят от этих параметров. Таблица для α и β приведена в [12]. Формула типа (8.38) удобна при проведении инженерных расчетов, так как с помощью небольшой таблицы коэффициентов α и β можно охватить широкую область изменения величин d и р, необходимую при проведении расчетов. Графики зависимости числа приборов в неполнодоступном пучке от нагрузки у) при постоянных потерях р = 0,005 для трех значений доступности d приведены на рис. 8.7. Зависимость имеет такой вид, что, начиная с некоторого значения у, она может быть аппроксимирована прямой линией, как это делается в (8.38). Из рис. 8.7 видно, что с увеличением доступности уменьшается число приборов, требуемых для обслуживания заданной нагрузки. Наименьшее число приборов необходимо при полнодоступном включении (нижняя кривая. На рис. 8.8 показана зависимость числа приборов в неполнодоступном пучке от нагрузки υ=f p (y) при постоянной доступности d=10 для трех значений потерь р. Из рассмотрения этого семейства кривых можно сделать вывод, что с повышением качества обслуживания уменьшением величины потерь) требуется больше приборов для обслуживания заданной нагрузки. Характер изменения среднего использования соединительных устройств в неполнодоступном пучке при р в зависимости от емкости пучка показан на рис. 8.9 для трех значений доступности в сравнении со средним использованием в полнодоступном пучке верхняя кривая. Кривые показывают, что среднее использование соединительных устройств растет с ростом емкости пучка и увеличением доступности d. Задача. Рассчитать число линий в неполнодоступном пучке с доступностью d=10, необходимых для обслуживания интенсивности поступающей на ступень IIГИ нагрузки (y=10 Эрл при величине потерь р 0,005. Расчет производить упрощенным методом Эрланга, методом Лотце–Бабицкого по формуле Пальма–Яко-беуса, методом О'Делла. Решение 1. Упрощенный метод Эрланга: 2. Метод Лотце–Бабицкого, формула Пальма–Якобеуса: Из этой формулы число линий в явном виде не выражается, а определяется методом последовательных приближений. Пусть υ =17, тогда Так как потери превышают допустимую норму, то число линий необходимо увеличить. При υ =20 p=0,0087; при υ =21 р. Таким образом, υ =21. 3. Метод О'Делла: Нагрузка, обслуженная всеми линиями неполнодоступного пучка, у o =у(1–р)=10 ×(1-0,005)=9,95 Эрл. Нагрузка, поступающая на d линий полнодоступного пучка при заданной норме потерь р, определяется по таблицам первой формулы Эрланга: y υ =d=3,96 Эрл. Нагрузка, обслуженная d линиями полнодоступного пучка при р, 104 Из сравнения результатов расчета числа линий тремя методами следует, что приближенный метод Эрланга значительно занижает число линий по сравнению с методом Лотце–Бабицкого и методом О'Делла. Контрольные вопросы 1. Укажите основные особенности ступенчатой и равномерной неполнодоступных схем и их отличие. 2. Какими параметрами характеризуется структура ступенчатой НС 3. Какими параметрами характеризуется структура равномерной НС 4. Составьте матрицы связности для четвертого, шестого и девятого вариантов структуры шестигрупповой НС, приведенной на рис. 8.2, и сравните их. 5. Определите структурные параметры двухгрупповой (g=2) ступенчатой НС на 14 выходов ( υ=14) при доступности d=10. 6. Определите число возможных вариантов структуры неполнодоступной НС при d=10, υ=30, g=6. 7. Определите структурные параметры четырехгрупповой равномерной НС при d= 10 и υ=16. 8. Определите число нагрузочных групп идеально симметричной НС для случайного равновероятного искания при υ=16 и d=10. 9. Определите вероятность потерь в идеально симметричной НС с параметрами υ=3, d=2 при интенсивности поступающей нагрузки у Эрл. 10. Укажите, как зависит число выходов НС от доступности при заданных нагрузке и вероятности потерь. 11. Укажите, как зависит число выходов НС от качества обслуживания (вероятности потерь) при заданных нагрузке и доступности. 12. Изобразите характер зависимости среднего использования выхода НС от общего числа выходов при заданных доступности я вероятности потерь. 105 ГЛАВА ДЕВЯТАЯ Звеньевые коммутационные системы. Общие сведения Особенности звеньевых коммутационных схем заключаются в том, что в соединении между одним из входов и одним из выходов схемы кроме точек коммутации участвуют также промежуточные линии (ПЛ. Рассмотрим двухзвеньевую схему, приведенную на рису которой любой выход схемы доступен любому входу (полнодоступный пучок выходов. Схема изображена в общем виде и имеет k коммутаторов в первом звене на п входов и т выходов каждый и т коммутаторов во втором звене на k входов и l выходов каждый. Выходы схемы разбиты на группы (направления. На рисунке показано два направления – направление H i , к которому отнесены по два выхода в каждом коммутаторе второго звена и имеющее таким образом т выходов, и направление H j , имеющее т выходов (по одному выходу в каждом коммутаторе второго звена. В общем случае число выходов в каждом коммутаторе, отводимых для одного направления, может быть равно q, и тогда суммарное число выходов в направлении составит т В простейших однозвеньевых коммутационных схемах с полнодоступным включением выходов, которые называют коммутаторами, обслуживание поступающего на вход вызова заключается вподключении к этому входу свободного выхода водной точке коммутации (одно звено соединения. В более сложных неполнодоступных схемах (см. рис. 8.1) при установлении соединения устанавливается путь, содержащий также только одно звено. В двухзвеньевой коммутационной схеме для установления соединения входа с выходом требуются две точки коммутации и одна из промежуточных линий, и, таким образом, соединительный путь содержит два звена соединения – ПЛ и выход. Коммутационные схемы, содержащие два и более звеньев в соединительном пути, называют звеньевыми. В общем случае звеньевая схема – это схема, имеющая входы, выходы, коммутаторы и промежуточные линии. Все эти элементы взаимно связаны между собой и образуют некоторую структуру, которая позволяет соединить вход с выходом, используя определенные промежуточные линии и точки коммутации, те. устанавливая соединительный путь между входом и выходом. Каждый соединительный путь в схеме можно задать упорядоченным набором промежуточных линий. При этом любые две соседние промежуточные линии соединительного пути могут быть соединены между собой в точке коммутации. Если все промежуточные линии и выход, составляющие соединительный путь, свободны, то и этот путь свободен. Соединительный путь считается занятым, если хотя бы одна из промежуточных линий или выход заняты. Любая звеньевая схема имеет конечное число состояний, каждое из которых отличается комбинацией занятых входов, выходов и промежуточных линий. По сравнению с однозвеньевыми полнодоступными схемами, рассмотренными в гл. 4–6, и однозвеньевыми неполнодоступными схемами, рассмотренными в гл. 8, звеньевые схемы имеют большее число состояний. Поэтому для звеньевых схем, представляющих практический интерес, система уравнений для вероятностей состояний во многих случаях не может быть решена, а в отдельных случаях не может быть даже выписана. Исследование звеньевых схем сложно не только из-за их большого числа состояний. Дополнительные усложнения возникают также и из-за того, что между процессами, происходящими в разных направлениях выходов звеньевой схемы, существует взаимная зависимость. Это можно уяснить, рассматривая схему на рис. 9.1. Для установления соединения к выходам направлений H i и используются одни и те же промежуточные линии. Поэтому занятие промежуточных линий для подключения к выходам одного направления изменяет вероятность занятия выходов другого направления. Если для звеньевой схемы предположить, что существуют условные вероятности блокировки γ i , которые зависят лишь от числа занятых выходов, то для простейшего потока вызовов и показательного распределения длительности занятия можно записать уравнения для вероятностей состояний и воспользоваться методом условных вероятностей, разработанным Г. П. Башариным. Однако в общем случае условные вероятности блокировки зависят не только от числа занятых выходов, но и от структуры схемы, поступающей нагрузки и алгоритма установления соединения, что усложняет задачи исследования звеньевой схемы. В связи с этим инженерный расчет звеньевых схем основывается на априорных предположениях относительно способа математического описания результатов воздействия поступающего потока вызовов на отдельные звенья соединения. Обычно предполагается, что процессы, протекающие в различных звеньях схемы, независимы и могут быть описаны каким-нибудь простым законом распределения кроме того, используются и другие упрощающие предположения. Это облегчает решение задачи, однако вносит отклонение от истинных характеристик, имеющих место в процессе функционирования схемы. В большинстве случаев нельзя заранее указать, в какой степени то или иное упрощающее предположение искажает истинную величину отыскиваемого показателя (например, вероятности потерь, поэтому для определения степени погрешности приближенных методов можно воспользоваться сравнением с результатами моделирования на ЭВМ. Поскольку наиболее простыми звеньевыми схемами являются схемы с двумя звеньями соединения, тов первую очередь изучим методы расчета потерь в таких схемах. Из самых распространенных в настоящее время приближенных инженерных методов расчета двухзвеньевых схем рассмотрим два метода комбинаторный метод Якобеуса и метод эффективной доступности. Сейчас существует тенденция разработки методов расчета числа соединительных устройств с использованием результатов статистического моделирования на ЭВМ. Полученные результаты, как правило, аппроксимируются какими-нибудь простыми функциональными зависимостями. Так как практически невозможно получить числовые данные для любых значений нагрузки и параметров структуры, которые могут встретиться при расчетах, то такого типа методы предполагают интерполяцию и экстраполяцию в области, где числовые данные не получены. |