Телетраффика. Издание второе, переработанное и дополненное
 Скачать 3.77 Mb.
|
|
6.2. Предельная величина интенсивности поступающей нагрузки В отличие от системы с потерями, в системе с повторными вызовами на коммутационную систему может поступать только такой поток вызовов, который с учетом повторных вызовов может быть обслужен. Иными словами, чтобы не создавалось неограниченного количества необслуженных первичных и повторных вызовов, необходимо, как ив системе с ожиданием, ввести следующее ограничение Величина определяется из соотношения где t – средняя суммарная длительность занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова с учетом того, что для его обслуживания источник может производить и повторные вызовы (величина t должна учитывать также вызовы, которые остаются не полностью обслуженными, те. не завершаются вторым этапом обслуживания – разговором, ас интенсивность потока первичных вызовов в течение 1 ч. Первичные и повторные вызовы, поступающие в моменты занятости всех υ линий пучка, не занимают линий пучка. Поэтому на величину t влияют только вызовы, попадающие, по крайней мерена первый этап обслуживания. При первом этапе обслуживания одного вызова среднее время занятия линии пучка равно t α , а при вторам этапе обслуживания с вероятностью ψ–t β . Среднее время занятия линии для обслуживания каждой такой попытки составляет Если обозначить через L среднее число попыток на первом этапе обслуживания с целью полного обслуживания одного вызова, то величина t составит Определим величину L. Вызов первый раз поступает на первый этап обслуживания. С вероятностью ϕ данный вызов не попадает на второй этап обслуживания. При этом вероятность того, что источник указанного вызова осуществляет повторный вызов, равна H. Следовательно, с вероятностью ϕH поступает повторный вызов. Снова с вероятностью ϕ этот повторный вызов не поступает на второй этап обслуживания 77 и с вероятностью H источник производит новый повторный вызов, тес вероятностью (источник производит новый повторный вызови т. д. Таким образом, Заметим, что, если мера настойчивости источника H=1 ( γ=0), то Из этого следует, что среднее число попыток на первом этапе обслуживания, которые производит источник до полного обслуживания вызова, зависит только от вероятности ψ и не зависит от параметра ρ потока повторных вызовов. Используя (6.3) и (6.4) либо (6.5), ф-лу (6.2) можно привести к виду Принимая за единицу времени именно среднее суммарное время занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова t, находим, что интенсивность потока за такую единицу времени µ=ct. Для простейшего потока интенсивность µ равна его параметру λ, что позволяет величину определять отношением 6.3. Уравнения вероятностей состояний системы с повторными вызовами Процесс обслуживания коммутационной системой первичных и повторных вызовов является марковским процессом. Используя его частный случай – процесс рождения и гибели, исходим из того, что за время τ→0 с конечной вероятностью в системе не может произойти более одного из следующих событий поступления одного первичного или одного повторного вызова окончания первого или второго этапа обслуживания одной линией пучка прекращения одним из источников попыток добиться второго этапа обслуживания. Вероятность поступления за время т точно одного первичного вызова определена в гл. 4 и составляет о, τ→0; аналогично этому вероятность поступления за время τ точно одного повторного вызова при наличии k источников повторных вызовов равна о, τ→0. Вероятность окончания за время τ первого этапа обслуживания одной из i занятых таким обслуживанием линий есть о, τ→0; аналогично этому вероятность окончания второго этапа обслуживания одной из (j–i) занятых таким обслуживанием линий равна о, τ→0. Вероятность прекращения одним из k источников повторных вызовов попыток добиться второго этапа обслуживания составляет k γτ+ O ( τ), τ→0. Пусть коммутационная система в 78 произвольный момент (t+ τ) должна находиться в состоянии (i, j, k), в котором в пучке занято i линий первыми линий первыми вторым этапами обслуживания ив системе находится k источников повторных вызовов. Диаграмма состояний и переходов процесса обслуживания приведена на рис. 6.1. Обозначим через p i,j,k (t+ τ) и p i,j,k (t) вероятности того, что система соответственно в моменты (t+ τ) и t находится в состоянии (i, j, k). Для значений i=0, 1, .... j; j=0, 1, ..., υ–1; k = 0, 1, 2, ... коммутационная система к моменту (t+τ) может перейти в состояние (i, j, k) за время (t, t+ τ), τ→0, с конечным значением вероятности из следующих состояний системы в момент t: 1. Система в момент t находится в состоянии (i–1, j–1, k) и за время τ на систему поступает первичный вызов. Вероятность такого события p i,j,k (t+ τ) 1 =p i-1,j-1,k (t) λτ+o(τ). 2. Система в момент t находится в состоянии (i–1, j–1, k+1) и за время τ от одного из (k+1) источника повторных вызовов поступает повторный вызов. Вероятность такого события p i, j, k (t+ τ) 2 =p i-1, j-1, о. 3. Система в момент t находится в состоянии (i, j, k+1) и за время τ один из (k+1) источника повторных вызовов покидает систему, не добившись второго этапа обслуживания вызова. Вероятность такого события p i, j, k (t+ τ) 3 =p i, j, k+1 (t)(k+1) γτ+o(τ). 4. Система в момент t находится в состоянии (i+1, j, k) и за время τ один из (i+1) вызовов перейдет с первого ко второму этапу обслуживания. Вероятность такого события p i, j, k (t+ τ) 4 =p i+1, j, о. 5. Система в момент t находится в состоянии (i+1, j+1, k–1) и за время τ после первого этапа обслуживания освобождается одна из (i+1) линий. Вероятность такого события p i,j,k (t+ τ) 5 =p i+1, j+1,k-1 (t) ϕ(i+1)ατ+o(τ). Система в момент t находится в состоянии (i, j+1, k) и за время τ освободится одна из (j+1–i) линий, занятых вторым этапом обслуживания. Вероятность такого события о. 7. Система в момент t находится в состоянии (i, j, k) и завремя τ не происходит изменения состояния системы, теза время τ не поступает ни одного первичного и ни одного повторноговызова, не изменяется состояние ни одной из линий, занятых первым этапом обслуживания, и ни одной из (j–i) линий, занятыхвторым этапом обслуживания, а также ни один из k источниковповторных вызовов не покидает систему. Вероятность такого события p i, j, k (t+ τ) 7 =p i, j, о. Имея ввиду, что перечисленные события, приводящие коммутационную систему к моменту (t+ τ) в состояние (i,j,k), вза-имио независимы, можно записать Систему уравнений вероятностей состояний модели (6.9) необходимо дополнить уравнениями, в которых состояния коммутационной системы в момент (t+ τ) характеризуются занятостью всех линий пучка первыми вторым этапами обслуживания вызовов, те. состояниями (i, υ, k), в которых j=υ и соответственно вероятность которых есть p i, υ ,k (t+ τ). Производя над общей системой уравнений p i,j,k (t+ τ) и p i, υ,k (t+ τ) точно такие же преобразования, которые произведены в гл. 4 над системой уравнений вероятностей состояний полнодоступного пучка, обслуживающего симметричный поток вызовов, получаем систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний коммутационной системы p i, j, k и p i, υ,k 6.4. Основные характеристики качества работы системы с повторными вызовами В качестве основных характеристик работы рассматриваемой системы примем вероятность потери первичного вызова р и среднее число повторных вызовов, приходящихся 79 на один первичный вызов Вероятность потери первичного вызова р определяется отношением интенсивности п потерянных первичных вызовов по причине отсутствия свободных линий в пучке в момент поступления первичного вызова к интенсивности µ поступивших первичных вызовов р= µ п / µ=λ п / λ. Поскольку поток первичных вызовов яв- При определении с следует учитывать, что повторные вызовы источника вызваны как отсутствием свободных линий в пучке в момент поступления первичного и повторных вызовов, таки только первым этапом обслуживания части вызовов. Обозначим через среднее число повторных вызовов, приходящихся на один первичный или повторный вызов, которые происходят по причине отсутствия свободных линий в пучке в момент поступления вызова, и через c 2 – среднее число повторных вызовов на первом этапе обслуживания. Тогда общее среднее число повторных вызовов c 0 , осуществляемых абонентом для обслуживания одного вызова (независимо оттого, закончилось ли обслуживание вызова вторым этапом либо источник отказался от дальнейших попыток добиться полного обслуживания, составляет Величина c 2 может быть определена из ф-лы (6.4), по которой рассчитывается среднее число попыток на первом этапе обслуживания L: c 2 =L–1. Тогда Для определения р и могут быть использованы таблицы [24]. В этих таблицах приводятся значения р и c 1 для модели обслуживания потока вызовов, в которой учитываются повторные вызовы, появляющиеся только по причине отсутствия свободных линий в пучке в моменты поступления первичных вызовов. Значения р и даны в зависимости от емкости пучка при фиксированных значениях χ=λ/υ, T=1/ρ и u=γ/ρ. Значения р и справедливы для значений среднего времени z между двумя соседними повторными вызовами, осуществляемыми источником, и вероятности Н того, что источник производит повторный вызов, которые связаны с Т и и следующими зависимостями На характеристики р и c 0 работы системы с повторными вызовами, как и других коммутационных систем, существенное влияние оказывают величина интенсивности поступающей нагрузки у и емкость пучка линий υ. Помимо того, р и c 0 зависят отряда других параметров вероятности ϕ того, что постудивший вызов не будет полностью обслужен вероятности H, того, что источник производит повторный вызов среднего времени z между двумя соседними попытками источника добиться обслуживания своего вызова. Рассматриваемые зависимости характеризуются семействами кривых c 0 =f( χ) и р/р 1 =f( χ) при определенных значениях υ, ϕ, Нигде удельная поступающая нагрузка на одну линию пучка, p 1 – потери в системе, обслуживающей простейший поток вызовов. Указанные семейства кривых приведены на рис. 6.2 и 6.3 для значений υ=20; ϕ=0,5; Ни 0,75; z=0,2; 0,5; 1,0. За единицу времени величины z принята средняя длительность одного занятия t. Задаваясь средними длительностями первого и второго этапов обслуживания t=25 си с, получаем при Ни Н соответственно t 1 =170 си с. Из рисунков следует, что значения и увеличиваются с возрастанием χ, Ни уменьшением z. При этом увеличивается более интенсивно в области больших значений χ. Так, при z=0,2 и H=0,75 увеличение с 0,6 до 0,9 Эрл приводит к увеличению c 0 с 0,6 доте. в 1,8 раза. Еще более ощутимо влияет на c 0 вероятность H. При χ=0,9 Эрл и z=0,2 увеличение H с 0,75 до 1,0 приводит к увеличению c 0 в 4,3 раза. Влияние среднего времени z на величину c 0 ощутимо только в области больших значений χ(χ>0,6 Эрл) и значений вероятности H, близких к единице. Так, при χ=0,8 Эрл и H=0,75 значениям z=1,0; 0,5; 0,2 соответствуют значения c 0 = 0,75; 0,8; 0,9, а при H=1– c 0 =1,4; 1,55; 2,0. На величину потерь р помимо величины удельной поступающей нагрузки х существенно влияет вероятность Н, в то время как величина z оказывает малое влияние, которое практически можно не учитывать. Так, если H=1, и z=0,5, то при χ=0,5 Эрл отношение р/р 1 ≈1,2, а при χ=0,9 Эрл – р/р 1 =3,5. Задача. Определить качественные характеристики р и c 0 полнодоступного пучка емкостью υ=30 линий при следующих исходных данных t α =20 с t β =140 с χ=0,6 Эрл; ϕ=0,4; H=0,9; z=0,09. Решение. Определяем среднюю суммарную длительность занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова t=( t α + ψt β )/(l– ϕH)=162 сч. Значения р и определяем по таблицам вероятностных характеристик полнодоступного пучка при повторных вызовах. Для этой цели вычисляем вспомогательные величины Т и и T=z/H=0,1; u=(1–Н)/Н ≈0,1. При полученных значениях T и и, χ=0,6 Эрл и υ=30 выписываем из таблиц значения р и c 1 : p=0,004; c 1 =0,006 45. При L=l/(l– ϕH)=1,56 находим c 0 =L+ c 1 L–1=0,57. Контрольные вопросы 1. В чем заключаются основные отличия работы системы с повторными вызовами от работы систем, обслуживающих простейший и примитивный потоки вызовов 2. Почему в системе с повторными вызовами необходимо ограничивать величину поступающей нагрузки 3. Каковы основные параметры, влияющие на работу системы с повторными вызовами 4. Каковы особенности составления системы уравнений вероятностей состояний системы с повторными вызовами 5. Каковы характеристики качества работы системы с повторными вызовами, способы их определения 6. Каковы закономерности изменения характеристик качества обслуживания р ив зависимости от изменения χ, Н, z? 81 ГЛАВА СЕДЬМАЯ Метод статистического моделирования взад а чах теории теле трафика. Общие сведения Большое число задач теории телетрафика, связанных с изучением процессов обслуживания коммутационными системами поступающих потоков вызовов, требуют исследования микросостояний коммутационных систем. К таким системам, в первую очередь, относятся неполнедоступные коммутационные системы, блокирующие звеньевые коммутационные системы, использующие ряд режимов искания и алгоритмов установления соединений. Марковские процессы позволяют достаточно просто составить системы уравнений, описывающие исследуемые процессы. Однако решение указанных систем уравнений наталкивается на большие вычислительные трудности. В качестве примера достаточно указать на наиболее простые по структуре неполнодоступ-ные схемы. Последние имеют s=2 υ микросостояний, где υ – емкость пучка линий, включаемого в выходы такой системы. Напомним, что в реальных коммутационных системах υ≥50 и соответственно s≥2 50 >10 Решение системы с таким числом уравнений невозможно осуществить не только на существующих ЭВМ, но и на ЭВМ ближайшего будущего. Наиболее эффективным средством решения указанных задач теории телетрафика является метод статистического моделирования. Использование универсальных и специализированных электронных машин для решения задач теории телетрафика за последние два десятилетия нашло широкое распространение. Если на первом этапе для этих целей преимущественно создавались специализированные машины, тов последнее десятилетие, характерное бурным развитием вычислительной техники, основное применение имеют универсальные ЭВМ. Метод статистического моделирования сложных коммутационных систем на универсальных ЭВМ или специализированных машинах сводится к имитации процесса обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов, в результате которой можно получить задаваемые статистические характеристики исследуемого процесса. В машине (или в приставке к ней) вырабатывается требуемого типа случайный поток вызовов, в памяти машины отображается структура моделирования коммутационной системы, моделирование производится по разработанной программе управления процессом установления соединений и их разъединения. При статистическом моделировании возможно с любой степенью точности воспроизвести весь исследуемый процесс и получить интересующие статистические характеристики. Естественно, чем выше требуется точность результатов исследуемого процесса, тем в большем объеме необходимо провести статистические испытания и, следовательно, требуется больше машинного времени. Для экономного расходования машинного времени с сохранением высокой точности результатов моделирования непосредственное статистическое моделирование истинного процесса обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов заменяется моделированием искусственных вероятностных моделей. В качестве такой модели широко используется моделирование марковской цепью. Необходимо отметить, что в курсе Теория телетрафика» предусматривается лишь ознакомление с основными принципами статистического моделирования. Изучение вопросов программирования и статистического моделирования – задача специального курса. 7.2. Моделирование случайных величин Метод Монте-Карло. Моделирование случайных процессов, в том числе и систем массового обслуживания, осуществляется с помощью моделирования случайных величин, подчиняющихся различным распределениям равномерному, показательному, нормальному и др. Для получения таких случайных величин используется случайная величина X, 82 равномерно распределенная на отрезке [0,1], из которой различными преобразованиями получают случайную величину, подчиняющуюся требуемому закону распределения. Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке [0,1], если ее плотность f( χ) на этом отрезке постоянна и равна единице Функция распределения такой случайной величины X имеет значения Плотность f( χ) и функция распределения F(χ) случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [0,1], показаны на рис. 7.1. Случайную величину X, равномерно распределенную на отрезке [0,1], можно получить из дискретной случайной величины, равновероятно принимающей значения 0 и 1. Действительно, двоичная дробь Х, a –1 a –2 ..., где a –1 a –2 ... есть последовательность независимыхслучайных величин, каждая из которых с вероятностью 1/2 принимает значение 0 и с вероятностью – единицу, представляет случайную величину, равновероятно распределенную на отрезке [0, 1]. Для того чтобы промежутки между соседними значениями равномерно распределенной случайной величины X стремились к нулю, необходимо иметь бесконечную последовательность независимых случайных величин {a i , i= –1, –2, ...}, равновероятно принимающих значения 0 и 1. На практике непрерывно распределенная случайная величина моделируется приближенно. При этом может быть обеспечена сколь угодно высокая точность за счет выбора числа k двоичных разрядов в ЭВМ, определяющих двоичную дробь 0, a -1 a -2 ...a -k . Таким образом, вместо непрерывной случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,1], моделируется дискретная случайная величина, равновероятно принимающая значения 0, 1/2 k , 2/2 k , ..., 2 k –1/2 k с промежутками между соседними значениями 1/2 k . Представим отрезок [0,1] линией, образующей окружность. Тогда случайная величина X, равномерно распределенная на отрезке [0,1], окажется равномерно распределенной по длине окружности. Получаем аналогию сигрой в рулетку. В связи с этим разнообразные модели равномерно распределенной случайной величины часто называют рулеткой, а метод статистических испытаний получил название метода Монте-Карло (по названию курорта в княжестве Монако на берегу Средиземного моря, в игорных домах которого распространена игра в рулетку. Случайные величины X, равномерно распределенные на отрезке [0,1], можно получить тремя способами 1) используя таблицы случайных чисел 2) с помощью генераторов датчиков) случайных чисел 3) программным путем с помощью ЭВМ (псевдослучайные числа. Псевдослучайные числа точнее, псевдослучайная последовательность чисел) вырабатываются рекуррентным способом по специальным алгоритмам, в которых каждое последующее число получается из предыдущих в результате применения некоторых арифметических и логических операций. Эти числа называются псевдослучайными, а неслучайными, так как последовательности чисел, получаемых с помощью рекуррентных соотношений, являются периодическими. Однако период может быть выбран столь большим, что практически этот недостаток можно не учитывать. На универсальных ЭВМ используется многоразличных алгоритмов получения псевдослучайных последовательностей чисел, равномерно распределенных на интервале 83 [0,1]. В них предусматривается сдвиг исходного числа на несколько разрядов влево, затем сдвиг исходного числа на несколько разрядов вправо, сложение двух новых чисел, взятие какой-либо части нового числа и другие арифметические и логические операции для получения следующего случайного числа, равномерно распределенного на отрезке [0,1]. Для увеличения периода в качестве исходных выбирается не одно, а несколько случайных чисел, используется не одно, а несколько различных рекуррентных соотношений. Принцип моделирования непрерывной случайной величины, распределенной по любому закону. Возможность моделирования случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [0,1], позволяет моделировать и непрерывную случайную величину 3, распределенную по любому закону F( ξ)=p(Ξ<ξ). Функция распределения случайной величины Ξ монотонно возрастает от 0 до 1. Можно показать, что значения случайной величины Ξ, распределенной по любому закону в интервале ас плотностью f( ξ), определяется из уравнения Для каждой реализации величины X решается последнее уравнение относительно ξ , те. определяется реализация величины Ξ. Процедура получения случайной величины ξ по некоторой реализации величины X показана на рис. 7.2, на котором приведена функция распределения F( ξ) случайной величины Ξ. Для каждой конкретной реализации равномерно распределенной случайной величины X прямая f( ξ)=χ пересекает кривую функции распределения только водной точке, абсцисса которой ξ и определяет значение Ξ в этой реализации. Покажем принцип моделирования случайной величины Ξ, равномерно распределенной в интервале аи случайной величины Ξ, распределенной по показательному закону. Равномерно распределенная в интервале а, случайная величина Ξ имеет в этом интервале постоянную плотность, равную Используя в процессе моделирования каждую реализацию случайной величины X и преобразование (7.5), получаем последовательность случайных величин ξ, равномерно распределенных в интервале а, b). Случайная величина Ξ, распределенная в интервале [0, ∞) по показательному закону с параметром λ, имеет плотность распределения 84 Таким образом, в процессе моделирования на основе многократной реализации случайной величины X и преобразования (7.6) получаем последовательность случайных величин ξ распределенных по показательному закону с заданным параметром λ. Умение моделировать непрерывные случайные величины ξ дает возможность моделировать и любой поток вызовов, заданный последовательностью функций распределения промежутков между вызовами. Так, при моделировании простейшего потока вызовов последовательность случайных величин z i можно получить, используя преобразование (7.6). |