Телетраффика. Издание второе, переработанное и дополненное
 Скачать 3.77 Mb.
|
|
5.2. Обслуживание вызовов простейшего потока при постоянной длительности занятия Теория Кроммелина. Исходные данные задачи такие же, как и задачи, подробно рассмотренной в парагр. 5.1. На полнодоступный пучок емкостью υ(1≤υ≤∞) линий, работающий по системе с ожиданием, поступает простейший поток вызовов с параметром λ. Сохраняются предположения предыдущей задачи вызовы, находящиеся на ожидании, обслуживаются в порядке очереди поступающая на пучок из линий нагрузка у должна иметь значение, меньшее емкости пучка – y< υ. Отличие заключается только в законе распределения длительности обслуживания вместо показательного распределения полагаем длительность обслуживания каждого вызова постоянной и равной h. Длительность занятия h примем за единицу времени – h=1. Требуется определить функцию распределения длительности ожидания начала обслуживания для любого поступающего вызова p( γ>t). Определим вначале вероятность р. имея ввиду, что p(γ>t)=1–p(γ<t). Пусть в момент система находится в состоянии k, те. в таком состоянии, при котором в системе на обслуживании и ожидании находится точно k вызовов. Если то за единицу времени, равную h, коммутационная система обслужит все эти вызовы, те. все вызовы, находящиеся в системе в момент t 0 , к моменту (t 0 +1) покинут систему. Если же k> υ, то за каждую единицу времени (рис. 5.3) коммутационная система обслуживает точно вызовов за время [t 0 , t 0 +1) будет обслужено v вызовов, за время [t 0 , вызовов, за время [t 0 , вызовов (в данном случае t – целое число. Нас интересует вероятность того, что вызов, поступивший в момент t 0 , попадет на обслуживание в течение времени γ, меньшего t. В момент система находится всостоянии k, рассматриваемый вызов переводит систему в состояние (k+1). Значит для того, чтобы необходимо выполнение условия при этом имеется ввиду, что из всех (k+1) 68 вызовов, находящихся в системе непосредственно после момента t 0 , вызовов за время t окажутся обслуженными и покинут систему, а остальные вызовов к моменту (t 0 +t) попадут на обслуживание. Отсюда k ≤tυ+υ–1. Введем обозначения p i (t 0 ) вероятность того, что в момент t 0 система находится в состоянии i и a k (t 0 ) вероятность того, что в момент t 0 система находится в состоянии, не превышающем k: Аналогичными рассуждениями можно показать, что ф-ла (5.23) справедлива ив случае, если t – нецелое число. Определим вероятность p k (t 0 ) того, что в момент система находится в состоянии k. Искомую вероятность можно представить состоящей из двух слагаемых из вероятности того, что в моменты система находится в состоянии k, если в момент (t 0 –1) в системе нет очереди и из вероятности того, что в момент t 0 система находится в состоянии k, если в момент (t 0 –1) в системе на обслуживании находятся и и на ожидании r вызовов (k= υ+r). Рассматриваемые в момент события взаимно независимы. Поэтому p k (t 0 )=p k (t 0 ) 1 +p k (t 0 ) 2 . Определяем вероятность В момент (t 0 –1) в системе находится не более вызовов, вероятность этого события a υ(t 0 –1). Так как длительность обслуживания каждого вызова h=1, ток моменту все эти вызовы будут обслужены и покинут систему. Ни один из вызовов, поступивших, в систему после момента (t 0 –1), к моменту не завершится обслуживанием и останется в системе. Для того чтобы в момент система находилась в состоянии k, необходимо поступление за время [t 0 –1, t 0 ) точно k вызовов. Согласно формуле Пуассона вероятность этого есть Тогда ! ) 1 ( ) ( 0 Аналогично определяем вероятность р. В момент (t 0 –1) в системе находится υ+r вызовов вероятность этого p υ+r (t 0 –1). К моменту за единицу времени систему покинут обслуженных вызовов. Для того чтобы в момент система оказалась в состоя- 69 Используя (5.23), находим вероятность того, что любой поступивший вызов попадет на ожидание и будет ожидать начала обслуживания больше времени t: Система (5.24) решается методом производящих функций. Формула (5.25) для практических расчетов трудоемка. Поэтому на практике используются построенные Кроммелином семейства кривых р) для ряда значений и (На рис. 5.4 приведено семейство кривых для Эти кривые показывают, что характер зависимости p(y>t)=f(t) такой же, как и при показательном распределении длительности занятия с увеличением времени ожидания γ свыше заданного t уменьшается вероятность p( γ>t). Однако количественные оценки рассматриваемой зависимости при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия существенно отличаются. Однолинейная система произвольное распределение длительности занятия. Полячек и Хинчин, независимо друг от друга, исследовали однолинейную систему с ожиданием, на которую поступают вызовы простейшего потока с параметром λ, и произвольным распределением длительности занятия. Вызовы обслуживаются в порядке очереди. Формула Полячека – Хинчина для среднего времени ожидания начала обслуживания любого вызова имеет следующий вид где t – среднее значение длительности занятия σ t – среднеквадратическое отклонение длительности занятия у – интенсивность нагрузки, поступающей на однолинейную систему y= λt<1. Принимая значение t за единицу времени (t=1), получаем где σ – среднеквадратическое отклонение длительности занятия в условных единицах. За единицу времени принята средняя длительность занятия t. 70 При показательном распределении времени занятия σ=1 ф-лы (5.27) и (5.28) соответственно совпадают си, так как для однолинейного пучка p( γ>0)=y. При постоянной длительности занятия σ=0 Таким образом, при постоянной длительности занятия среднее время ожидания в очереди любого вызова γи задержанного вызова з вдвое меньше, чем при показательно распределенной длительности занятия. Сравнение систем с ожиданием при постоянной и показательна распределенной длительностях занятия. При постоянной длительности занятия время ожидания начала обслуживания существенно меньше. Так, например, с вероятностью р) =0,005 при χ=0,5 Эрл и υ=5 время t принимает значения 0,73 и 1,33, соответствующие постоянной и показательно распределенной длительностям занятия, те. время ожидания сокращается почтив раза. Среднее время ожидания начала обслуживания для любого поступающего вызова при постоянной длительности занятия также меньше, чем при показательном распределении длительности занятия. Формула Полячека – Хинчина показывает, что в однолинейной системе среднее время пребывания вызова в очереди при постоянной длительности занятия в 2 раза меньше. С увеличением емкости пучка это соотношение уменьшается, но оно всегда больше единицы. Так, при υ=1 и χ=0,9 Эрл отношение среднего времени пребывания в очереди при показательно распределенной и постоянной длительностях занятия составляет 1,74. Пропускная способность систем с ожиданием при рассматриваемых распределениях длительности занятия иллюстрируется рис. 5.5, на котором показаны кривые χ=f(υ) при р) =0,005 для значений t=1; 2. Сплошными линиями показаны кривые, соответствующие постоянной, и пунктирными – показательно распределенной длительностям занятия. Из рисунка видно, что системы с ожиданием при постоянной длительности занятия обладают более высокой пропускной способностью – использование приборов значительно выше. Так, задаваясь вероятностью р того, что время ожидания начала обслуживания превышает t=1, интенсивность удельной поступающей нагрузки при повышается с χ 1 =0,25 Эрл при показательно распределенной до χ 2 =0,45 Эрл при постоянной длительности занятия, те. на 80%, и при t=2 – с Эрл до χ 2 =0,65 Эрл, те. на 50%. Однолинейная система обслуживание ожидающих вызовов в случайном порядке. Выше были рассмотрены системы с ожиданием, в которых обслуживание ожидающих вызовов производится в порядке очереди. В автоматических системах коммутации находят более широкое применение системы с ожиданием, в которых обслуживание ожидающих вызовов производится при случайном выборе их из очереди. Однолинейная система с постоянной длительностью занятия и случайным выбором из очереди ожидающих вызовов исследована Берком. Распределение времени ожидания p( γ>t)=f(t) в такой системе при χ=0,5; 0,7 и 0,9 Эрл приведено на рис. 5.6. Эти кривые показаны сплошными линиями. Для сравнения пунктирными линиями для тех же значений интенсивности поступающей нагрузки показано распределение времени ожидания в однолинейной системе с постоянной длительностью занятия и обслуживанием ожидающих вызовов в порядке очереди. Из рисунка видно, что для небольших значений t качественные характеристики обслуживания ожидающих вызовов выше при случайном выборе их из очереди при заданном времени t вероятность р( γ>1)меньше или при заданной вероятности p( γ>t) значение t меньше. Так, например, при χ=0,9 Эрл и t=5 случайный выбор из очереди обеспечивает вероятность р, а обслуживание в порядке очереди увеличивает эту вероятность до р) =0,33. Отмеченные закономерности справедливы для небольших значений t. Заметим, что именно эта область значений t имеет практический интерес для существующих систем коммутации, в которых используются релейные и электронные управляющие устройства (маркеры) с близкой к постоянной длительностью обслуживания и значениями этой длительности в пределах h=0,05 ÷l с. При больших значениях t значения вероятностей р) при случайном выборе из очереди существенно превышают соответствующие значения при обслуживании ожидающих вызовов в порядке очереди – с увеличением t по сравнению с обслуживанием в порядке очереди случайный выбор приводит к росту вероятности длительного ожидания. В перспективных системах коммутации (квазиэлектронных и электронных) длительности занятия управляющих устройств значительно уменьшаются (h<0,005 с, что позволяет без заметного ухудшения качества обслуживания вызовов допускать для некоторой доли вызовов ожидание дои более. В таких системах коммутации также сохраняется дисциплина выбора из очереди, близкая к случайной. В связи с этим важным является тот факт, что дисциплина выбора из очереди (в порядке поступления, в случайном порядке или любая другая дисциплина) не влияет на среднее время пребывания вызова на ожидании. Дисциплина выбора из очереди в случайном порядке в области небольших значений t, как и дисциплина обслуживания вызовов в порядке очереди, приводит к более высоким качественным показателям обслуживания вызовов в системах с ожиданием при постоянной длительности занятия. Сравнение распределения времени ожидания (p( γ>t)=f(t)) в однолинейной системе при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия и случайном выборе ожидающих вызовов из очереди ( χ=0,5; 0,7 и 0,9 Эрл) приведено на рис. 5.7. 5.3. Область применения систем с ожиданием Системы распределения информации можно разделить на два класса системы коммутации каналов и системы коммутации сообщений. Системы коммутации сообщений по дисциплине обслуживания вызовов являются системами с ожиданием. В автоматических системах коммутации каналов используются дисциплины обслуживания с потерями и с ожиданием. Автоматические системы коммутации содержат две основные группы устройств устройства, образующие разговорный тракт (коммутационные приборы, шнуровые комплекты, комплекты соединительных линий, и управляющие устройства. Указанные 72 группы устройств существенно различаются по закону распределения длительности занятия, среднему значению длительности занятия и емкости пучка приборов (линий. Для устройств разговорного тракта можно полагать, что длительность занятия распределена по показательному закону со средним значением t>70÷80 с, для этих устройств применяются большие емкости пучков ( υ=10÷100 и более линий. Как отмечалось выше, с ростом емкости пучка линий увеличивается соотношение между условными потерями (р) в системах с ожиданием и явными потерями (Е υ (у)) в системах с потерями. Для устройств разговорного тракта нормы допустимых потерь не превышают 2– 3%. При такой области потерь система с потерями обладает существенно большей пропускной способностью по сравнению с системой с ожиданием. Поэтому в устройствах разговорного тракта рациональнее использовать в качестве дисциплины обслуживания систему с потерями. На практике в подавляющем большинстве автоматических коммутационных систем устройства разговорного тракта строятся как системы с потерями. Имеются и исключения. Так, например, в машинной системе АТС Эриксона (Швеция) устройства разговорного тракта работают по системе с ожиданием. Следует заметить, что недостатки системы с ожиданием в устройствах разговорного тракта особенно проявляются при увеличении поступающей нагрузки. В условиях перегрузки такая система приводит к большому количеству ожидающих вызовов с временем ожидания свыше 1–2 мин, в то время как в системе с потерями такие перегрузки лишь в несколько раз увеличивают заданные, очень малые потери, что для источников вызовов практически неощутимо. Управляющие устройства характеризуются длительностью занятия, близкой к постоянной значения этой длительности на два-три порядка меньше по сравнению с устройствами разговорного тракта, при этом емкость пучков в большинстве случаев не превышает пяти линий. Совершенно иные выводы следуют из рассмотрения целесообразности использования дисциплин обслуживания с ожиданием в управляющих устройствах. Постоянная длительность занятия и, главное, малое ее значение позволяют устанавливать большие значения условной вероятности потерь – вероятности р. Это объясняется тем, что в данном случае вероятность р) при относительно больших значениях t оказывается очень малой величиной и одновременно допустимое время ожидания вызовом начала обслуживания имеет небольшое значение, неощутимое источником вызова. Так, в однолинейной системе (которая в управляющих устройствах имеет наибольшее применение) при h = 0,1 с можно допустить пропускную способность χ=0,9 Эрл. При этом условные потери р. Если полагать, что вызовы обслуживаются в порядке очереди, то согласно кривым Кроммелина р и p(γ>20)=0,04, те. лишь 33% вызовов будут ждать начала обслуживания более 0,5 си вызовов – более 2 с. В тоже время при использовании системы с потерями и задания достаточно больших потерь p=E υ (0,9)=0,05 требуется пучок линий υ=3 вместо υ=1 в системе с ожиданием. Следует учесть сложность и высокую стоимость управляющих устройств. Все эти соображения приводят к однозначному выводу – в управляющих устройствах целесообразно применять дисциплину обслуживания с ожиданием. Такая рекомендация не расходится с практикой – управляющие устройства всех автоматических систем коммутации обслуживают вызовы по системе с ожиданием. В существующих координатных АТС к управляющим устройствам относятся регистры, маркеры, кодовые приемники. На станциях типа АТСКУ абонентские регистры подключаются к исходящим шнуровым комплектам (ИШК и ИШКТ) с помощью двухзвеньевой коммутационной системы. При этом время занятия регистров (на основе экспериментов) имеет распределение, близкое к нормальному, поток вызовов образуется конечным числом источников, а порядок обслуживания вызовов, находящихся в очереди, случайный. И хотя указанные условия обслуживания существенно отличаются от модели Кроммелина, для практических расчетов пользуются этой моделью. Подобным же образом используют модель Кроммелина при определении качественных показателей обслуживания вызовов кодовыми приемниками. В координатных АТС по два кодовых приемника подключаются к группе регистров, образуя таким образом двухлинейную 73 систему обслуживания. Условия работы кодовых приемников отличаются от условий модели Кроммелина как по характеру, таки по очередности обслуживания, однако при инженерных расчетах в области малых вероятностей ожидания (высокого качества обслуживания) и малой емкости полнодоступного пучка (только два прибора) считают допустимым использование этой модели. Маркеры в отечественных координатных АТС являются однолинейными системами обслуживания со случайным выбором из очереди. Если считать поток вызовов простейшим, а длительность обслуживания постоянной, то модель Бёрка наиболее близко соответствует условиям работы маркера и может с успехом использоваться при расчетах. Задача 5.1. Определить соотношение потерь в полнодоступных пучках емкостью υ=50 и 100 линий, работающих по системе с ожиданием при показательном распределении длительности занятия и по системе с потерями при заданном значении потерь Е υ (у) =0,02. Рассчитать время ожидания любого вызова γ, среднее время ожидания вызовов, находящихся в очереди, з и среднюю длину очереди r. Решение. По таблицам первой формулы Эрланга при заданных величинах υ=50 и 100 и у отыскиваем значения поступающей нагрузки у:при υ 1 =50 y 1 =40,2 Эрл; при υ 2 =100 y 2 =88Эрл. Используя (5.8) и полученные значения у, рассчитываем условные потери p( γ>0): Соотношения между потерями составляют Для определения у воспользуемся ф-лой (5.18), для з) и для r – (5.22): призу приз. Приведенная задача показывает, что 1) дисциплина обслуживания по системе с ожиданием приводит к условным потерям, которые в несколько раз превышают явные потери, имеющие место при дисциплине обслуживания по системе с потерями 2) с увеличением емкости пучка линий при прочих равных условиях повышается отношение p( γ>0)/E υ (y) и ухудшаются показатели качества работы системы и r. Задача 5.2. Определить пропускную способность пучков линий емкостью υ=1, 2 и 5, работающих по системе с ожиданием при постоянной длительности занятия и обслуживании ожидающих вызовов в порядке очереди, если длительность занятия h=0,3 си вероятность ожидания обслуживания вызова свыше допустимого времени д сне должна быть более р с. Решение. Используем кривые Кроммелина. Приди вероятности. p( γ>2)=0,01 отыскиваем для υ=1, 2 и 5 значения пропускной способности χ: χ=0,31; 0,58 и 0,81 Эрл соответственно. Эта задача иллюстрирует существенное влияние емкости пучка линий на его пропускную способность при увеличении емкости пучка с до пропускная способность увеличивается на 87% и с υ=2 до υ=5 лишь на 42%. Контрольные вопросы 1. Определите вероятности состояния полнодоступного пучка линий, работающего по системе с ожиданием при показательном распределении длительности занятия. 2. Напишите вторую формулу Эрланга. От каких параметров согласно этой формуле зависят условные потери р 3. Каков характер зависимостей между величиной интенсивности поступающей нагрузки у, емкостью полнодоступного пучка линий и условными потерями в системе с ожиданием Сопоставьте характер и 74 количественные оценки этих зависимостей в системе с ожиданием ив системе с потерями. 5. Каков характер зависимости p( γ>t)=f(t) для значений χ 1 > χ 2 > χ 3 при υ=const? Сопоставьте эти зависимости с зависимостями з) Для техже значений χ и υ. 6. В чем сущность величины Покажите характер зависимости t*=f( χ) при υ=const. Приведите логический анализ и количественные оценки рассматриваемой зависимости. 7. Выведите формулы, определяющие математические ожидания времени, ожидания начала обслуживания для любого вызова и вызова, поступающего на ожидание з. Приведите количественные оценки этих характеристик. 8. В чем заключается сущность теории Кроммелина? 9. Сопоставьте характер распределения времени ожидания и пропускную способность систем с ожиданием при обслуживании ожидающих вызовов в порядке поступления для двух распределений длительности занятия постоянного и показательно распределенного. 10. Приведите формулу Полячека – Хинчина для среднего времени ожидания начала обслуживания в однолинейной системе с произвольным распределением длительности занятия. Какой вид получает эта формула при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия 11. Сопоставьте распределение времени ожидания начала обслуживания при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия для двух дисциплин выбора ожидающих вызовов из очереди в случайном порядке и порядке поступления. 12. Укажите рациональную область применения систем с ожиданием. 75 ГЛАВА ШЕСТАЯ Полно доступный пучок. Система с повторными вызовами. Постановка задачи В моделях систем с потерями вызов, поступивший в момент занятости всех линий пучка, теряется ив последующем никакого воздействия на коммутационную систему не оказывает. Такая модель процесса обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов существенно отличается от реальных условий. В реальных коммутационных системах с потерями вызов теряется, если он поступает в момент занятости всех линий пучка, способных обслужить этот вызов, но источник этого первичного вызова, как правило, не отказывается от обслуживания, а осуществляет повторные вызовы (попытки) с целью добиться требуемого обслуживания. По существу, сообщения между вызывающими и вызываемыми абонентами в большинстве случаев не теряются, происходит лишь задержка в обслуживании, те. по аналогии с системами с ожиданием в таких случаях возникают условные потери. Повторные вызовы, поступающие на коммутационную систему, вызваны не только потерей первичных вызовов из-за отсутствия свободных соединительных путей в моменты поступления вызовов. Более существенными являются другие причины, из-за которых устанавливаемые для обслуживания поступающих вызовов соединения не завершаются передачей сообщения (разговорным состоянием. Этими причинами являются занятость линии вызываемого абонента, неответ вызываемого абонента, ошибки вызывающего абонента в процессе набора номера, неустановление соединения по техническим причинам (из-за попадания на неисправный прибор. Если на городских телефонных сетях из-за отсутствия свободных соединительных путей теряется 0,02–0,03 всех поступающих вызовов, то по другим перечисленным причинам не завершаются разговором 0,35–0,5 и более всех поступающих вызовов. Исследованию системы с повторными вызовами в последнее время уделяется значительное внимание, однако полученные результаты по причине различных исходных позиций не нашли еще общего признания. Вместе стем система с повторными вызовами более, чем любая другая изученная модель процесса обслуживания коммутационными системами поступающих вызовов, близка к реальным условиям функционирования системы. По этой причине в настоящей главе кратко излагается одно из решений рассматриваемой задачи. В модели системы с повторными вызовами различаются два этапа обслуживания вызова. Первый этап обслуживания характеризуется занятием коммутационной системы (линии пучка, процессом установления соединения и его разъединения независимо оттого, чем завершается это соединение – разговором, занятостью линии вызываемого абонента, неответом вызываемого абонента и т. д. Второй этап обслуживания характеризуется разговорным состоянием соединения. Вызов считается обслуженным, если он завершился вторым этапом – разговором. Вызов считается необслуженным, если обслуживание его завершается первым этапом. Источник такого вызова с заданной вероятностью осуществляет повторный вызов. На полнодоступный пучок емкостью линий поступают первичные вызовы, образующие простейший поток с параметром λ. Вызов, поступивший в момент отсутствия в пучке свободных линий, не обслуживается. Если в пучке имеется хотя бы одна свободная линия, то происходит первый этап обслуживания источника, осуществившего этот вызов. После окончания первого этапа обслуживания либо по этой линии происходит второй этап обслуживания (разговор, либо линия освобождается и вызов остается необслуженным. Вероятность того, что вызов останется необслуженным, обозначим ϕ, а вероятность того, что вызов будет полностью обслужен, – ψ=1–ϕ. 76 Длительность занятия линии первыми вторым этапами обслуживания вызова распределена по показательному закону с параметрами соответственно α и β, и, следовательно, средние значения времени обслуживания первыми вторым этапами равны t α =1/ α и t β =1/ β. Абоненты, вызовы которых не обслуживаются по причине отсутствия свободных линий в пучке или завершились только первым этапом обслуживания, являются источниками повторных вызовов. От каждого такого источника поступают повторные вызовы, образующие простейший поток с параметром ρ. Если в течение заданного времени источник не производит повторного вызова, то рассматриваемый вызов теряется окончательно. Это время примем распределенным по показательному закону с параметром Таким образом, время, в течение которого источник принимает решение произвести повторный вызов или окончательно отказаться от обслуживания неудачно сделанного им вызова, распределено, по показательному закону с параметром ρ+γ Отсюда среднее время существования источника повторных вызовов, равное среднему времени между двумя соседними попытками источника добиться обслуживания своего вызова, составляет z=1/( ρ+γ). При этом с вероятностью H=ρ/(ρ+γ) источник производит повторный вызови с вероятностью 1–H= γ/(ρ+γ) отказывается окончательно от обслуживания. Вероятность H определяет меру настойчивости источника добиться полного обслуживания вызова. Требуется определить вероятности состояний коммутационной системы. |