Телетраффика. Издание второе, переработанное и дополненное
 Скачать 3.77 Mb.
|
|
3.5. Пропускная способность коммутационных систем Одной из важнейших характеристик коммутационных систем является их эффективность. В качестве показателей эффективности наряду с экономическими (капитальными затратами, эксплуатационными расходами) широко используется и такой технический показатель, как пропускная способность. Под пропускной способностью коммутационной системы понимается интенсивность обслуженной коммутационной системой нагрузки при заданном качестве обслуживания. Пропускная способность коммутационной системы зависит от величины потерь, емкости пучков линий, включенных в выходы коммутационной системы, от способа (схемы) объединения этих выходов, класса потока вызовов, структуры коммутационной системы, распределения длительности обслуживания и дисциплины обслуживания. Величина потерь нормируется или на коммутационную систему в целом, или для каждого направления связи, или для источников каждой категории. Чем больше допустимая норма потерь, тем больше пропускная способность коммутационной системы и хуже качество связи. Поток вызовов в математических моделях чаще всего принимается простейшим, потоком Пальма или примитивным. В этих случаях удается относительно просто получить решение 39 задачи аналитическим методом. Реальные потоки вызовов, например, при большой величине потерь имеют более сложную структуру, и решение задач осуществляется методом статистического моделирования. Схемы объединения выходов коммутационной системы могут быть полнодоступными и неполнодоступными – ступенчатыми, равномерными и т. д. Структура коммутационной системы характеризуется большим числом параметров числом звеньев, числом, емкостью и способами связи коммутаторов и т. д. Наиболее удобной функцией распределения длительности обслуживания сточки зрения аналитического описания и анализа пропускной способности коммутационных систем является показательное распределение, так как оно не обладает последействием. Практическое применение находит распределение равномерной плотности, распределение Эрланга и др. Дисциплина обслуживания оказывает существенное влияние на математическую модель коммутационной системы, поэтому ее необходимо описывать самым детальным образом. Например, в системе с ожиданием вызовы могут обслуживаться в порядке поступления в порядке, обратном порядку поступления в случайном порядке с различными ведами приоритетов. Пропускная способность пучка линий оценивается отношением интенсивности обслуженной нагрузки у к числу линий υ–η=y 0 / υ, ав некоторых случаях – отношением интенсивности поступающей нагрузки у к числу линий υ–χ=y/υ. Пропускная способность пучка линий коммутационной системы часто представляется в виде зависимости или η=f(υ) при фиксированных значениях остальных параметров. Величина η называется средней пропускной способностью, или средним использованием одной линии пучка. Характер зависимостей η=f(y) при обслуживании полнодоступным пучком линий простейшего потока вызовов при фиксированных значениях потерь показан на рис. 3.4. Величина при увеличении интенсивности поступающей нагрузки асимптотически приближается к единице. Это объясняется уменьшением относительной колеблемости простейшего потока вызовов при увеличении математического ожидания интенсивности потока. Относительная колеблемость потока вызовов оценивается отношением среднеквадратического отклонения числа вызовов ) ( ) ( c D c = σ к математическому ожиданию интенсивности потока вызовов M(c) (коэффициентом вариации Для простейшего потока вызовов M(c)=D(c) и 0 ) ( ) ( lim Последнее означает, что в системе в каждый момент времени на обслуживании находится постоянное число вызовов М(с).Интенсивность поступающей нагрузки будет равна М(с). Если число линий положить равным М(с),то вызовы будут обслуживаться без потерь, интенсивность обслуженной нагрузки будет равна интенсивности поступающей нагрузки, а среднее использование одной линии пучка η=1. Чем больше относительная колеблемость потока вызовов при прочих равных условиях, тем меньше среднее использование одной линии пучка. Для простейшего потока вызовов с уменьшением М(с)относительная колеблемость возрастает ив пределе 40 а среднее использование одной линии пучка η=0. Зависимости пропускной способности от других параметров рассматриваются в последующих главах учебника. Задача. Задано Структурный состав абонентов проектируемой АТСК на городской телефонной сети с шестизначной нумерацией – n нх =4000; n к.и =4000; n к.к =1000; т n СЛ =100; среднее число вызовов от одного абонента каждой категории в ЧНН – c нх =3,4; c к.и =0,7; c к.к =1,0; ст c сл =10; средняя длительность разговора для абонентов разных категорий – Т нх =100 скис T к.к =120 с T T =100 с T СЛ =100 с доли различных видов занятий – р р =0,6; p зн =0,2; р но =0,1; р ош =0,05; р тех =0,05. Рассчитать интенсивности нагрузок, поступающих на АТС от абонентов всех категорий в ЧНН. Решение. Средние длительности занятий, окончившихся разговором, для абонентов всех категорий рассчитываются по (3.8): t р.нх = t с.о + t c + t п.в + T нх + t o =3+1,5 ×6+2,5+7+100+0=121,5с; t р.к.и =151,5 с t р.к.к =141,5 с рт с t р.СЛ =121,5 с. Средняя длительность занятии, не окончившихся разговором из-за занятости линии вызываемого абонента, рассчитывается по (3.10): t зн = t c.o + t c + t с.з + t o =3+1,5 ×6+2,5+0+0=14,5с. Средняя длительность занятий, не окончившихся разговором из-за неответа вызываемого абонента t но = t с.о + t с + t с.н + t 0 =3+1,5 ×6+2,5+30+0=44,5с. Средняя длительность занятий, не окончившихся разговором из-за ошибок вызывающего абонента, ш с. Средняя длительность занятий, не окончившихся разговором по техническим причинам, тех с. Средняя длительность занятий для абонентов всех категорий рассчитывается по (3.11): t нх = t р.нх p р + t зн p зн + t но р но + t ош p ош + t тех тех =121,5 ×0,6+14,5×0,2+44,5×0,1+20×0,05+15×0,05=82 скис t к.к =94 ст с t СЛ =82 с. Интенсивность нагрузки, поступающей от абонентов разных категорий, рассчитывается по (3.12): y нх = n нх ×c нх ×t нх = 4000 ×3,4×(82/3600) = 309,8 Эрл; y к.и = 77,7 Эрл; y к.к = 26,1 Эрл; т = 68,3 Эрл; y СЛ = 22,7 Эрл. Интенсивность нагрузки, поступающей на АТС от абонентов всех категорий АТС y нх + y к.и + y к.к + т + y СЛ = 504,6 Эрл. Контрольные вопросы 1. В каких единицах измеряются нагрузка и интенсивность нагрузки 2. Сформулируйте теорему о количественной оценке интенсивности обслуженной нагрузки. 3. Сформулируйте теорему о количественной оценке интенсивности поступающей нагрузки. 4. Дайте определение часа наибольшей нагрузки, поясните способ определения интенсивности нагрузки в ЧНН. 5. Что такое коэффициент концентрации нагрузки 6. По каким признакам различают категории источников телефонной нагрузки 7. Каким параметром оценивается уровень удовлетворения потребностей в телефонной связи 8. Какими результатами может окончиться поступающий на АТС вызов 9. Какое отношение числа состоявшихся разговоров к числу поступивших на АТС вызовов следует считать удовлетворительным 10. Какие показатели используются для количественной оценки качества обслуживания с явными потерями и с ожиданием 11. Дайте простейшую классификацию дисциплин обслуживания поступающих вызовов. 12. От каких параметров зависит пропускная способность коммутационной системы 13. Почему при фиксированной величине потерь с ростом интенсивности поступающей на пучок линий нагрузки, создаваемой простейшим потоком вызовов, возрастает среднее использование одной линии пучка 41 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ Полно доступный пучок. Система с потерями. Обслуживание вызовов симметричного потока с простым последействием Постановка задачи. Исходными данными модели являются неблокирующая коммутационная система (никаких других ограничений на структуру системы не накладывается – она может быть однозвеньевой или многозвеньевой); в выходы коммутационной системы включен полнодоступный пучок емкостью υ(1≤υ<∞) линий (приборов вызовы, поступающие на входы коммутационной системы, образуют симметричный поток с простым последействием с параметром λ i ; дисциплина обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов – с потерями длительность обслуживания Т коммутационной системой вызова является случайной величиной, распределенной по показательному закону, те. функция распределения длительности занятия где β – параметр длительности занятия. Обычно за единицу времени принимается средняя длительность занятия – 1/ β=1, следовательно, и β=1. Задача формулируется следующим образом. Полнодоступный пучок емкостью линий, включенных в выходы неблокирующей коммутационной системы с потерями, обслуживает вызовы, образующие симметричный поток с простым последействием с параметром Длительность обслуживания вызова коммутационной системой распределена по показательному закону. Требуется определить вероятности различных состояний полнодоступного пучка в процессе обслуживания поступающих вызовов. В этой задаче достаточно исследовать макросостояния системы, те. состояния, различающиеся числом i одновременно занятых линий в любой момент времени (i = 0, 1, 2,..., υ), независимо оттого, какие именно линии заняты. Это объясняется следующими соображениями. 1. При любом состоянии полнодоступного пучка линий, включенных в выходы неблокирующей коммутационной системы, те. при любом числе занятых линий, независимо оттого, какие именно линии заняты, любой поступивший вызов может быть обслужен любой из свободных в данный момент линий пучка. Поступивший вызов получает отказ в обслуживании (теряется) только в тех случаях, когда в момент поступления вызова все линий пучка заняты. Указанное свойство полнодоступного пучка не зависит ни от структуры полнодоступного пучка (прямое или сдвинутое включение линий пучка в объединяемые выходы коммутационной системы, ни от способа искания свободной линии пучка (с исходного положения, в случайном или любом другом порядке) . 2. Пучок линий обслуживает вызовы симметричного потока, параметр которого λ i , зависит в любой момент времени только от состояния данного пучка. Параметр λ i задается какой- либо зависимостью лишь от числа занятых (или от числа свободных) линий и не зависит оттого, какие именно линии пучка заняты. Из этих соображений следует, что вероятности занятости фиксированного числа линий не зависят оттого, какие именно линии заняты, а зависят только от числа занятых линий. Определим вероятности различных макросостояний системы – вероятности того, что в системе в момент времени t занято точно i линий пучка (i=0, 1, 2,..., υ)–p i ( t). Помимо того, определим вероятности потерь повремени и по вызовам р в Число занятых линий i в момент t является случайным. Поэтому процесс изменения числа занятых линий во времени является случайным процессом. Если известно, что в момент t 42 занято i линий, то последующее течение процесса изменения числа занятых линий в вероятностном смысле зависит только от моментов появления новых вызовов и от моментов окончания занятий линий как вызовами, поступившими до момента t, таки новыми вызовами. Моменты появления новых вызовов не зависят от рассматриваемого случайного процесса до момента t, так как параметр λ i поступающего на систему симметричного потока вызовов зависит только от числа i занятых линий в рассматриваемый момент t. Также от течения процесса до момента t не зависят и моменты окончания занятий линий. Последнее следует из показательного распределения длительности занятий, при котором время оставшейся части занятия не зависит оттого, сколько времени оно уже продолжается (основное свойство показательного распределения. Отсюда рассматриваемый случайный процесс обладает следующим свойством если известно число занятых линий в момент времени t, то процесс изменения состояний системы после момента t в вероятностном смысле не зависит от течения процесса до этого момента, те. рассматриваемый процесс является марковским Понятие о марковских процессах. Для марковских процессов, названных в честь выдающегося русского математика А. А. Маркова (1856–1922 гг.), будущее определяется известным настоящими не зависит от прошлого. Пусть V(t) число занятых линий в момент времени t. Если в некоторый момент t в системе занято i линий (система находится в состоянии i), то V(t)=i, i = 0, 1, 2,..., υ. Система имеет конечное число ( υ+1) состояний, и рассматриваемый марковский процесс является процессом с конечным числом состояний. Обозначим через p ji ( t 1 , вероятность того, что система, находившаяся в момент в состоянии j, за время [t 1 , t 2 ) перейдет в состояние i. Рассматриваемый случайный процесс, те. процесс поступления вызовов и освобождений, зависит лишь от числа занятых линий j в начальный момент и от длины отрезка времени [t 1 , t 2 ). Этот процесс не зависит от моментов t 1 и t 2 . Поэтому и вероятность p ji ( t 1 , зависит только от длины отрезка времени [ t 1 , t 2 ) и значений j и i. Процессы Маркова, обладающие таким свойством, называются однородными Выделим на отрезке времени [ t 1 , момент t ζ ( t 1 ζ 2 ). Для того чтобы за промежуток времени [ t 1 , t 2 ) система перешла из состояния j, в котором она находилась в момент t 1 , в состояние i в момент система должна за отрезок времени [t 1 , перейти в некоторое состояние r(0 ≤r≤υ), а потом за оставшийся отрезок времени [t ζ , t 2 ) из состояния r в состояние i. По формуле полной вероятности получаем Формула (4.1) называется уравнением Колмогорова–Чепмена. В силу свойства процесса Маркова вероятность p ri ( t ζ , является безусловной, независящей от процесса, протекающего на отрезке времени [ t 1 , так как известно, что в момент система находится в состоянии r. В формуле (4.1) изменим обозначения отрезков времени [ t 1 , обозначим через [0, t+ τ), тогда [ t 1 , будет [0, t) и [t 1 , t 2 ) –[t, t+ τ). При этом (4.1) преобразуется к виду Для решения задачи обслуживания полнодоступным пучком вызовов симметричного потока удобно воспользоваться частным случаем процесса Маркова – процессом рождения и гибели Процесс рождения и гибели – это марковский процесс с непрерывным параметром t, имеющий конечное (0, 1, 2,... ,i,..., υ) или счетное (0, 1, 2, ..., i, ...) множество состояний, в каждом из которых за бесконечно малый промежуток времени [t, t+ τ) с вероятностью более нуля возможен непосредственный переход системы только в соседнее состояние, иными словами, из состояния i возможен либо непосредственный переход в состояние i–1 или i+1, 43 либо система остается в состоянии i. При этом вероятность того, что за время τ→0 произойдет более одного изменения состояния, равна ο ( τ). Определение вероятностей состояния полнодоступного пучка. Не ограничивая пока емкости пучка линий ( υ=∞), определим вероятности р) того, что в момент (t+τ) пучок находится в состоянии i. Так как симметричный поток является ординарными параметр его в момент t не зависит от процесса обслуживания вызовов до момента t, то процесс обслуживания вызовов данного потока полнодоступным пучком линий представляет собой процесс рождения и гибели. Диаграмма состояний и переходов этого процесса приведена на рис. 4.1. Процесс рождения в рассматриваемой задаче отождествляется с процессом занятий, а процесс гибели – с процессом освобождений линий пучка. Параметры потоков занятий и освобождений обозначены соответственно λ i , и ν i , i=0, 1, 2,... Согласно процессу рождения и гибели, при τ→0 пучок в момент (t+τ) может находиться в состоянии i только при наличии следующих условий. 1. В момент t пучок находится в состоянии i–1 (вероятность этого события и за время τ на обслуживание поступит точно один вызов (вероятность данного события р в ( τ)). Тогда вероятность перехода пучка за промежуток времени [ t, из состояния i –1 в состояние i составляет p i-1,i ( τ)=р i-1 (t) p в ( τ). При этом вероятность р в ( τ) является условной. Она определяется с учетом того, что в момент t пучок находился в состоянии i–1. 2. В момент t пучок находится в состоянии i+1 (вероятность этого события p i+1 (t)), и за время τ освободится точно одна из i+1 занятых линий (вероятность этого события ос i+1 ( τ)). Вероятность перехода пучка за промежуток времени [ t, t+ τ) из состояния i+l в состояние i составляет рос i+1 (t). Вероятность рос i+1 ( τ) является условной, она определяется с учетом того, что в момент t пучок находился в состоянии i+1. 3. В момент t пучок находится в состоянии i вероятность этого события За время τ пучок не изменяет своего состояния, он остается в состоянии i, те. на пучок не поступает вызова ив нем не освобождается ни одна из занятых линий вероятность этого события (в i ( τ))]. Вероятность перехода пучка из состояния i в состояние i составляет р ii ( τ)=p i ( t)(1–р в ( τ)–p oc i ( τ)). 4. За время [ t, t+ τ) в пучке происходят два и более переходов в результате поступления двух и более вызовов, либо освобождения двух и более линий, либо поступления одного и более вызовов и одновременно освобождения одной и более линий. Вероятность таких событий составляет о. Условия 1–4 взаимно исключают друг друга, поэтому искомые вероятности р, (i=0, 1, 2,..., определяются как сумма приведенных выше четырех вероятностей поток является ординарным, то вероятность поступления двух и более вызовов за бесконечно малый отрезок времени [ t, составляет π 2 ( t, Отсюда в, 44 |