Телетраффика. Издание второе, переработанное и дополненное
 Скачать 3.77 Mb.
|
|
2.2. Принципы классификации потоков вызовов Потоки вызовов классифицируются сточки зрения стационарности, ординарности и последействия Стационарность потока. Поток вызовов является стационарным, если при любом п совместный закон распределения числа вызовов за промежутки времени [t 0 , t 1 ) , [t 0 , t 2 ) , ..., [t 0 , t n ) зависит только от длины промежутков времени и не зависит от момента t 0 . Иными словами, независимо оттого, где на оси времени расположен промежуток времени [ t 0 , t 1 ) , вероятность поступления K(t 0 , вызовов одна и та же. Это значит, что для стационарного потока вероятность поступления некоторого числа вызовов за какой-то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его начала. В противном случае поток 17 является нестационарным. Интенсивности потоков вызовов на телефонных сетях резко колеблются в зависимости от времени суток количество вызовов за единицу времени в определенные дневные и вечерние часы достигает максимальной величины, а в ночные часы уменьшается почти до нуля. Это значит, что вероятность поступления какого-либо числа вызовов в определенный промежуток времени зависит от местонахождения на оси времени этого промежутка и, следовательно, поток поступающих в течение суток вызовов от любой абонентской группы на телефонную станцию является нестационарным. Заметим, что внутри ограниченного отрезка суток, например часа, нестационарность телефонного потока вызовов малоощутима, что позволяет для практических задач полагать стационарным поток телефонных вызовов, поступающих от большой абонентской группы (100 и более абонентов) за небольшой отрезок суток, исчисляемый одним–тремя часами. Ординарность потока. Обозначим через π k ( t, t+ τ) вероятность поступления k и более вызовов за промежуток [ t, t+ τ). Поток вызовов является ординарным, если прите, где ο (τ) – величина более высокого порядка малости по отношению к τ. Ординарность потока выражает практическую невозможность одновременного поступления двух и более вызовов в любой момент времени t. Примером ординарного потока является поток вызовов, поступающий на телефонную станцию от абонентской группы любой емкости. Потоки телефонных вызовов к абонентам диспетчерской или конференц- связи, потоки телеграмм в несколько адресов являются неординарными. Последействие потока. Поток вызовов является потоком без последействия, если вероятность поступления K(t 0 , t i ) вызовов за промежутки [t 0 , t i ), i=1, 2, ..., пне зависит от вероятностного процесса поступления вызовов до момента t 0 . Иными словами, отсутствие последействия потока означает независимость течения случайного потока вызовов после какого-либо момента времени от его течения до этого момента. Примером потока без последействия может служить поток телефонных вызовов, поступающих от большой группы источников. Действительно, лишь небольшая часть (10– 20%) абонентской труппы одновременно участвует в телефонных соединениях. Поэтому вероятность поступления какого-либо числа вызовов от большой группы источников на любом отрезке времени практически не зависит от процесса поступления вызовов до начала данного отрезка. Заметам, что эта вероятность, как и вероятность (2.7), может зависеть от момента начала этого отрезка времени. Так, различные значения принимает вероятность поступления некоторого числа телефонных вызовов за равные промежутки времени в различные часы суток в силу нестационарности потока телефонных вызовов в течение суток. Поток вызовов является потоком с последействием, если вероятность поступления того или иного числа вызовов за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала этого промежутка. Потоки вызовов от спаренных телефонных аппаратов, от малых абонентских групп, в направлениях коммутационной системы, не обеспечивающих удовлетворительного качества обслуживания абонентов телефонной связью, к интенсивно загруженным абонентам являются потоками с последействием. 2.3. Характеристики потоков вызовов К основным характеристикам потока вызовов следует отнести ведущую функцию потока, его параметр и интенсивность Под параметром потока λ (t) в момент времени t понимается предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова за время [t, t + τ) к длине этого отрезка времени τ прите. параметр потока есть плотность вероятности наступления вызывающего момента в момент t. Исходя из (2.8), находим вероятность поступления одного и более вызовов за время [t, t + τ): Согласно определению стационарного потока, вероятность поступления определенного числа вызовов за некоторый промежуток времени одна и та же и не зависит от месторасположения на оси времени этого промежутка. Следовательно, и плотность вероятности поступления вызовов стационарного потока, те. его параметр λ(t), есть величина постоянная, независящая от момента t, те. Отсюда для стационарных потоков В отличие от ведущей функции потока Λ(0, t), определяющей математическое ожидание числа вызовов, поступающих в промежутке времени [0, t), параметр потока λ(t) характеризует не поток вызовов, а поток вызывающих моментов, и эта характеристика относится не ко всему отрезку [0, t), а лишь к фиксированному моменту t. Интенсивностью стационарного потока µ называется математическое ожидание числа вызовов, поступающих в единицу времени. Единица времени может быть выбрана произвольно, однако в теории телетрафика в качестве такой единицы большей частью принимают среднюю длительность одного занятия. Вследствие аддитивности математического ожидания для стационарного потока ведущая функция за промежуток времени [0, равна Λ(0, t)=µt. Для нестационарных потоков используются понятия средней и мгновенной интенсивностей. Средняя интенсивность потока на отрезке времени [t 1 , t 2 ) есть а мгновенная интенсивность потока в момент Согласно определению (2.12) мгновенная интенсивность потока представляет производную ведущей функции потока. Также как и параметр потока λ(t), мгновенная интенсивность потока µ(t) относится не к отрезку времени поступления вызовов, а только к моменту t. В тоже время, в отличие от параметра потока, характеризующего поток вызывающих моментов, мгновенная интенсивность потока характеризует поток поступления вызовов. Для любых потоков вызовов причем для ординарных потоков µ(t)=λ(t). Для стационарных потоков интенсивность и параметр постоянны µ(t)=µ, λ(t)=λ. Следовательно, для любых стационарных потоков µ≥λ, а для стационарных ординарных µ=λ. Классификацию потоков удобно осуществлять, принимая за основной признак последействие потока. Сточки зрения последействия различают три класса потоков без последействия, с простым последействием и с ограниченным последействием Начнем рассмотрение этих классов с потоков без последействия. К этому классу относятся стационарный ординарный поток, называемый простейшим (его также называют стационарным пуассоновским, нестационарный ординарный поток, называемый нестационарным пуассоновскими стационарный неординарный поток, называемый неординарным пуассоновским. 2.4. Простейший поток вызовов Определение. Простейшим потоком называется стационарный ординарный поток без 19 последействия. Простейший поток вызовов является наиболее распространенной моделью реального потока вызовов, применяемой в системах массового обслуживания, в том числе в теории телетрафика. Действительно, как отмечалось при рассмотрении принципов классификации потоков вызовов, поток телефонных вызовов от большой группы абонентов характеризуется отсутствием последействия. Его можно считать ординарным, а при ограничении исследуемого промежутка времени 1–3 ч и стационарным. Аналогичные случайные потоки событий характерны для многих отраслей народного хозяйства. Математическая модель простейшего потока. Определим вероятности поступления точно k(k=0,1, 2, ...) вызовов на отрезке времени [t 0 , t 0 +t): p k (t 0 , Исследования будем проводить на отрезке времени [t 0 , t 0 +t+ τ), который можно представить состоящим из двух примыкающих друг к другу отрезков [t 0 , t 0 +t+ τ)=[t 0 ,+t 0 +t)+[t, t+ τ). Для того чтобы в течение отрезка [t 0 , поступило точно k вызовов, необходимо, чтобы за первый промежуток времени [t 0 , t 0 +t) поступило k, или k–1, ..., или k–i, ..., или 0 вызовов и соответственно за второй промежуток 0, или 1, ..., или i, ..., или k вызовов. Введем обозначения p k (t 0 , t 0 +t+ τ) – вероятность поступления точно k вызовов за отрезок времени [t 0 , t 0 +t+ τ); p k-i (t 0 , t 0 +t) – вероятность поступления точно k–i вызовов за первый отрезок времени [t 0 , t 0 +t); p i (t, t+ τ) – вероятность поступления точно i вызовов за второй отрезок времени [t, t+ τ). Согласно определению простейший поток является стационарным. Из этого следует, что вероятности поступления того или иного числа вызовов за отрезки времени [t 0 , t 0 +t+ τ), [t 0 , t 0 +t), [t, не зависят от моментов начала отсчета времени, а зависят только от длины отрезков времени. Поэтому упростим обозначения как отрезков времени, таки вероятностей [t 0 , будем обозначать [t+τ); [t 0 , t 0 + t) – [t); [t, t+ τ)– [τ) и соответственно p k (t 0 , t 0 +t+ τ) – p k (t+ τ); p k-i (t 0 ,t 0 +t)–p k-i (t); p i (t, t+ τ)– p i ( τ). Простейший поток является потоком без последействия. Поэтому независимыми являются события, заключающиеся в поступлении какого-либо числа вызовов за первый и второй промежутки времени, и вероятность поступления точно k вызовов за время для каждой реализации i=0, 1, ..., k составляет p k (t+ τ) i =p k-i (t)p i ( τ), i=0, 1, ..., k. Поскольку реализации с i=0, 1, ..., k представляют несовместимые события, то согласно формуле полной вероятности имеем Выражение (2.13) представляет собой систему, состоящую из бесконечного числа уравнений. Устремим отрезок времени к нулю. Вследствие ординарности простейшего потока π 2 (t, t+ τ)=o(t),τ→0. Тем более вероятности поступления точно 2, 3, ... вызовов – p 2 ( τ), p 3 ( τ), ... – есть бесконечно малые более высокого порядка по отношению к τ. Следовательно, в системе ур-ний (2.13) вероятности имеют конечные значения только при i, равном 0 и 1. На основании этого (2.13) преобразуются к виду Определяем вероятности и p 0 ( τ): С учетом (2.10) и (2.6) ( π 0 ( τ) – вероятность поступления 0 и более вызовов, те. вероятность достоверного события, она равна 1). Подставим в систему ур-ний (2.14) полученные значения вероятностоей p 1 ( τ) и p 0 ( τ). Затем, перенеся в левую часть уравнений p k (t), поделим левые и правые части уравнений на τ. Переходя к пределу, получим 20 Решив систему дифференциальных ур-ний (2.16), получим формулу Пуассона Таким образом, вероятность поступления точно k вызовов простейшего потока за отрезок времени t определяется формулой Пуассона. По этой причине простейший поток также называют стационарным пуассоновским потоком. Основные характеристики простейшего потока. При объединении п независимых простейших потоков с параметрами λ 1 , λ 2 , ..., λ n образуется общий простейший поток с параметром λ 1 + λ 2 +...+ λ n . Вероятность поступления точно k вызовов за отрезок времени t определяется формулой Пуассона Можно также показать, что объединение большого числа независимых стационарных ординарных потоков с практически любым последействием при малых значениях параметров этих потоков создает общий поток, близкий к простейшему. Если каждый из потоков поступает от отдельных источников вызовов, то простейший поток можно представить как поток от бесконечного числа источников, параметр каждого из которых стремится к нулю. Сумма вероятностей всех возможных значений числа поступающих вызовов за рассматриваемый промежуток времени t равна 1. Действительно, Функция p k (t) есть функция распределения дискретной случайной величины К. Из (2.17) следует, что она зависит от λt и k, а при t=1 – от λ и k. Как и для любой дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона, математическое ожидание М(К), дисперсия D(K) и среднеквадратическое отклонение К) числа вызовов простейшего потока, поступающих за отрезок времени t, равны Из этого следует, что интенсивность простейшего потока равна его параметру µ=М(К)=λ. Равенство µ=λ справедливо не только для простейшего потока, но и для любого стационарного ординарного потока. 21 Характер зависимости p k (t) от k при λt=const (λt = 5) показан на рис. 2.1. Влияние λt на характер этой зависимости иллюстрируется рис. 2.2. На нем приведены огибающие значений функции p k (t) при λt=1, 5 и 10. С возрастанием величины λt при с возрастанием параметра потока) огибающие кривые принимают все более симметричный вид, приближаясь к нормальному закону распределения непрерывной случайной величины. При λt=10 имеет место хорошее совпадение огибающей значений p k (t) с нормальным законом распределения пунктирная кривая. Вероятность поступления k и более вызовов определяется по формуле Вероятности p k (t) и p i ≥k(t) для различных значений k и λt табулированы [29]. Представляет практический интерес также зависимость p i ≤k (t) от k при λt–const. Огибающие кривые значений p i ≤k (t) такой зависимости представлены на рис. 2.3 при λt=1, 5 и 10. При этом p i ≤ k (t) определяется по таблицам p i ≥ k (t) с учетом того, что p i ≤ k (t)=1–p i ≥ k (t). Функция F(z) распределения вероятностей промежутков времени между вызовами. Согласно определению функция F(z) равна вероятности того, что промежуток времени между вызовами Z будет меньше заданного промежутка z, что равносильно вероятности π 1 (z) того, что за промежуток z поступит один и более вызовов. Используя (2.17), получим а плотность распределения вероятностей промежутков времени между вызовами Таким образом, распределение промежутков времени между вызовами простейшего потока подчиняется показательному (отрицательному экспоненциальному) закону Функция F(z) зависит от параметра потока λ. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение промежутка времени между вызовами z составляют 22 Из (2.24) и (2.26) следует равенство M(Z)= σ(Z). Такое равенство характерно при показательном законе распределения любой случайной величины. Формула (2.24) показывает, что с увеличением параметра потока уменьшается математическое ожидание промежутка времени между вызовами M(Z). Указанное иллюстрируется рис. 2.4, на котором приведены зависимости F(z) от z при λ=1, 5 и 10. Из этих кривых видно, что с возрастанием увеличивается вероятность того, что промежуток между вызовами меньше заданного отрезка времени z. Распределение промежутков времени между вызовами по показательному закону (2.22) является не только необходимым, но и достаточным условием простейшего потока. Можно показать (доказательство не приводится, что поток с независимыми промежутками между вызовами, распределенными по одинаковому показательному закону (2.22), является простейшим потоком. Показательный закон обладает следующим свойством если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка. Для доказательства предположим, что промежуток времени между вызовами равен t. Найдем условную вероятность того, что он будет продолжаться еще не менее времени τ. На основании теоремы умножения вероятностей можно записать P(Z>t+ τ)=P(Z>t)P(Z>τ/Z>t). С учетом (2.22) e – λ(t+τ) =e – λt P(Z> τ/Z>t), откуда условная вероятность P(Z> τ/Z>t)=e – λτ =P(Z> τ), те. она не зависит от уже длившейся части времени обслуживания иравна безусловной вероятности P(Z> τ), что и требовалось доказать. Показательный закон – единственный, обладающий таким свойством. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку основного свойства простейшего потока вызовов – отсутствия последействия. Такое замечательное свойство показательного распределения позволяет упростить математические преобразования, в частности, при анализе процессов поступления потоков вызовов и их обслуживания. |