Телетраффика. Издание второе, переработанное и дополненное
 Скачать 3.77 Mb.
|
|
( τ). Вероятность освобождения за время τ→0 одной из r занятых линий не зависит от характера поступающего потока вызовов. Вероятность р r ( τ) зависит только от состояния r пучка в момент t и от закона распределения длительности обслуживания, который задан показательным. Вероятность освобождения хотя бы одной из r занятых линий за промежуток времени τ в соответствии с (2.45) равна Так как в рассматриваемой задаче за единицу времени принята средняя длительность занятия, то β=1. Поток освобождений является ординарным. Отсюда вероятность освобождения точно одной из r занятых линий за отрезок времени [t, t+ τ) при τ→0 равна Заметим, что вероятности р в ( τ), определяемые (4.1), также как и вероятности р r ( τ), определяемые (4.6), пропорциональны τ. Следовательно, вероятности поступления за время τ любых двух и более событий (двух и более вызовов, или двух и более освобождений, или вызова и освобождения и т. десть величины порядка о. Из этого следует, что вероятности p ri ( t, t+ τ) перехода системы за отрезок времени [t, t+τ) из состояния r в состояние i при |r–i|≥2 равны p ri ( t, о, |r–i|≥2. Подставим в систему ур-ний (4.3) полученные значения вероятностей рви ос, перенесем из правой части уравнений в левую просуммируем все бесконечно малые слагаемые о) и разделим обе части уравнений на τ. В результате получим Получаем для определения вероятностей p i ( t), i=0,1, 2,..., систему дифференциальных уравнений 45 расходится, то вызовы поступают настолько чаще по сравнению с освобождениями занятых линий, что, начиная с некоторого момента времени, окажется невозможным обслуживание коммутационной системой поступающего потока вызовов. Для сходимости ряда необходимо, чтобы параметр потока вызовов существенно не отличался от параметра потока освобождений. Это условие выполняется в рассматриваемой задаче обслуживания полнодоступным пучком линий симметричного потока вызовов. Доказано, что при любом t доказательство не приводится, если ряд сходится, то В общем случае для процесса рождения и гибели со счетным множеством состояний с параметрами λ i , и ν i , i=0, 1, 2,..., стационарные вероятности состояний определяются следующими выражениями В рассматриваемой задаче обслуживания полнодоступным пучком емкостью линий симметричного потока вызовов параметр потока вызовов и параметр потока освобождений ν i =i конечны число состояний также является величиной конечной, оно равно 46 При этом, если система находится в состоянии все линии заняты, то поступающие вызовы не могут производить новых занятий и, следовательно, для параметр потока занятий λ i =0. В состоянии i=0 все линии свободны и параметр потока освобождений ν 0 =0. С учетом этого вероятности р 0 и р) определяются формулами Определение вероятностей потерь повремени и потерь по вызовам. Вероятность можно рассматривать как долю времени (на промежутке Т в течение которого в пучке занято точно i линий. В частности, доля времени (на промежутке Т →∞),в течение которого заняты все линий полнодоступного пучка, равна вероятности p υ . Применительно к полнодоступному пучку линий, включенных в выходы неблокирующей коммутационной системы, вероятность потерь повремени представляет собой долю времени (на промежутке Т →∞),в течение которого заняты все линий пучка, и определяется соотношением Определим вероятность потерь по вызовам р в . Согласно определению р в есть отношение интенсивности потерянного п к интенсивности поступающего µ потоков вызовов p в = µ п / µ. Здесь Следовательно, в целях идентичности с формулами ив) индекс суммирования i заменен на j). 4.2. Обслуживание вызовов простейшего потока Определение вероятностей состояния полнодоступного пучка. Полнодоступный пучок емкостью υ(1≤υ≤∞) линий, который включен в неблокирующую коммутационную систему с потерями, обслуживает вызовы, образующие простейший поток с параметром λ. Длительность обслуживания вызова коммутационной системой распределена по показательному закону (е, β=1). Требуется определить вероятности различных состояний полнодоступного пучка в процессе обслуживания поступающих вызовов и вероятности потерь повремени, по вызовам рви по нагрузке р н Параметр простейшего потока λ является постоянной величиной, независящей от состояния коммутационной системы. Поэтому в (4.13) – (4.15) при любых значениях k вместо λ k используется величина λ, и эти формулы преобразуются к виду 47 Сокращая числитель и знаменательна, получим Формула (4.16) называется распределением Эрланга. Она показывает, что вероятность р i зависит только от числа занятых линий i, емкости пучка и величины параметра потока вызовов λ. По этим соображениям вероятность принято обозначать E i, υ ( λ), а вероятность p υ – через E υ, или E υ ( λ). Из (4.17) и (4.18) следует, что При выводе (4.13) – (4.15), а следовательно, и (4.16) – (4.18') средняя длительность занятия принята равной единице отсюда и параметр длительности занятий при показательном законе распределения β=1. В общем случае при измерении длительности занятий в любых единицах времени ( β≠1) распределение Эрланга имеет следующий вид Установим зависимость вероятностей рот интенсивности поступающей нагрузки у y= µt=µ/β=λ/β, где µ – интенсивность потока вызовов средняя длительность занятия. Для простейшего потока, который является ординарными стационарным, µ=λ. Тогда распределение Эрланга имеет вид ив частности, вероятность того, что в полнодоступном пучке заняты все υ линий (равна Весть вероятность того, что в произвольный момент t бесконечный пучок находится в состоянии i. Распределение Эрланга определено в предположении показательного распределения длительности занятий. Б. А. Севастьянов показал, что полученная формула справедлива при 48 произвольном (а не только показательном) распределении длительности занятий, если средняя длительность занятий является конечной величиной. Логический анализ вероятностей E i, υ ( y). 1. Вероятность p i =E i, υ ( y) – вероятность того, что в произвольный момент времени t стационарного режима в полнодоступном пучке емкостью υ линий, который работает в режиме с потерями и обслуживает поступающую нагрузку интенсивностью у, создаваемую простейшим потоком вызовов, занято точно i линий. 2. Пусть имеется n(n →∞)полнодоступных пучков одной и той же емкости υ, на каждый из которых поступает нагрузка интенсивностью у. Тогда вероятность E i, υ ( y) – доляпучков, в которых в произвольный момент t занято точно по i линий, те. где n i (t) число пучков, которые в момент t находятся в состоянии i. 3. Если фиксировать состояния определенного полнодоступного пучка в т(т →∞) произвольных моментов времени t, то уесть доля моментов t, в которые пучок находится в состоянии i, те. где m ), / ( lim ) ( , m m y E i m i ∞ → υ = i – число произвольных моментов t, в которые в пучке занято точно i линий. 4. Вероятность E i, υ (y) доля времени (на промежутке T →∞), в течение которого в полнодоступном пучке занято точно i линий (пучок емкостью v линий обслуживает поступающую нагрузку у).В частности, доля времени (на промежутке Т →∞),в течение которого заняты все линий полнодоступного пучка, равна вероятности p υ , определяемой по (4.22). Вероятность потерь по нагрузке. Математическое ожидание и дисперсия нагрузки. Вероятность потерь по нагрузке р н найдем из соотношения где п – интенсивность потерянной y – интенсивность поступающей нагрузок. Учитывая, что у п =у–у o , определим интенсивность обслуженной полнодосупным пучком нагрузки у, которая равна математическому ожиданию нагрузки, обслуженной в единицу времени. По теореме о количественной оценке обслуженной нагрузки где i – число занятых линий в пучке р – вероятность нахождения пучка в произвольный момент времени в состоянии i. Правая часть выражения (4.25) соответствует математическому ожиданию числа одновременно занятых линий, те. интенсивность обслуженной нагрузки равна математическому ожиданию числа одновременно занятых линий пучка. Подставляя в (4.25) значение p i , определяемое (4.21), получим Таким образом, интенсивность обслуженной нагрузки равна произведению интенсивности поступающей нагрузки у на вероятность того, что в пучке имеется хотя бы одна свободная линия ∑ − υ = υ = − 1 0 : ) ) 1 ( i i p p ) 26 4 ( )). ( 1 ( ) 1 ( 0 y E y p y y υ υ − = − = 49 Из (4.26) также следует, что если торте. интенсивность обслуженной нагрузки в системе без потерь равна интенсивности поступающей нагрузки. Действительно, используя (4.23), получаем Из соотношений (4.24) и (4.26) получаем значение интенсивности потерянной нагрузки Отсюда н. Следовательно, при обслуживании с потерями вызовов простейшего потока линиями полнодоступного пучка, которые включены в выходы неблокирующей коммутационной системы, вероятности потерь повремени, вызовами нагрузке равны между собой и равны вероятности того, что пучок находится в состоянии υ: Формула потерь в полнодоступном пучке (4.28) называется первой формулой Эрланга. Функция или, что тоже, функция при средней длительности занятия, равной единице) табулирована. Таблицы первой формулы Эрланга построены так, что по числу линий и интенсивности поступающей нагрузки у или параметру потока отыскиваются потери Эти таблицы позволяют по двум любым заданным величинам из υ, у и E υ (y) находить третью. Определим дисперсию обслуженной и поступающей D(y) нагрузок Из (4.30) следует, что дисперсия поступающей нагрузки равна ее математическому ожиданию. Сопоставление (4.29) с (4.26) показывает, что дисперсия обслуженной нагрузки меньше ее математического ожидания. Таким образом, обслуженная нагрузка имеет меньший диапазон колебаний, те. имеет более выровненный характер по сравнению с поступающей нагрузкой. Отсюда дисперсия потерянной нагрузки больше ее математического ожидания (4.27), те. потерянная нагрузка имеет менее равномерный характер по сравнению с поступающей нагрузкой. Рекуррентное соотношение функции Эрланга. Используя (4.21), получаем, что p i /p i–1 =y/i, откуда Рекуррентное соотношение (4.31) показывает, что в области значений у отношение (y/i)>1 и вероятности а в области i>y отношение (и p i i-1 . Таким образом, до значения i–1 = y вероятности с увеличением i возрастают. При этом наибольших значений достигают рассматриваемые вероятности при i=y, если у – целое число, и при у, если у – нецелое число. Затем по мере увеличения i происходит уменьшение значений р. Характер зависимости при у Эрл и υ=20 показан на рис. 4.2. Огибающие кривые дискретных значений функции р i для y=6, 12, 18 Эрл и υ=12 приведены на рис. За и для тех же значений у и соответственно υ=14, 22 и 30 – на рис. б. Огибающие p i =f(i) по своему характеру близки к огибающим кривым дискретных значений вероятности поступления точно k вызовов простейшего потока (распределение Пуассона – p k (t)=f(k)). Нагрузка, обслуживаемая каждой линией полнодоступного пучка. Обслуживание потока Пальма. На полнодоступный пучок любой емкости поступает нагрузка интенсивностью у. Искание свободных линий в пучке – упорядоченное с исходным положением каждый поступающий вызов обслуживается свободной линией с наименьшим номером и теряется, если в момент поступления вызова заняты все линии пучка. Определим величину нагрузки, обслуживаемой каждой линией пучка. Согласно (4.26) пучки емкостью i и i–1 линий обслуживают соответственно нагрузки y 0 (i) и y 0 (i–1): Разность этих соотношений и определяет нагрузку η oi , обслуживаемую i-йлинией пучка любой емкости, если на этот пучок поступает нагрузка интенсивностью у Обратим внимание на высокое использование первой линии пучка при обслуживании им даже небольшой по величине нагрузки. По (4.32) Согласно формуле Эрланга (4.22) E 0 (y)=1, Отсюда η o1 =y/(1+y). Значение Е o (у)=1можно получить и не пользуясь формулой Эрланга. Действительно, при υ=0 ни один из поступающих вызовов не обслуживается, вся поступающая нагрузка теряется и потери равны единице. При y=100, 50 и 10 Эрл первая линия пучка соответственно пропускает нагрузки η o1 =0,99; 0,98 и 0,91 Эрл. Средняя интенсивность нагрузки, обслуживаемой одной линией пучка, η=y o / υтембольше, чем больше емкость пучка. В пучках большой емкости) даже в области малых потерь (р) достигается высокое использование линий пучка только на 15–20% ниже η o1 . Естественно, что высокое качество обслуживания – малая величина потерь – приводит к небольшому использованию последних линий пучка. Приведенные утверждения иллюстрируются следующим численным примером. Полнодоступными пучками емкостью υ 1 =121, υ 2 =66 и υ 3 =19 обслуживаются соответственно поступающие нагрузки y 1 =100, y 2 =50 и y 3 =10 Эрл при заданных потерях E υ (y)=0,005. Значения η, η o1 ив эрлангах указаны в табл. 4.1. 51 ТАБЛИЦА 4.1 y, Эрл υ η η o1 η o υ 100 121 0,83 0,99 0,101 50 66 0,76 0,98 0,079 10 19 0,53 0,91 0,034 Упорядоченное искание свободных линий полнодоступного пучка приводит к тому, что первая линия пучка обладает наибольшей пропускной способностью. С увеличением номера линии уменьшается обслуживаемая ею нагрузка – о ... > η o υ . Указанное является следствием не только того обстоятельства, что на каждую последующую линию пучка поступает нагрузка меньшей интенсивности. На снижение пропускной способности существенно влияет и тот факт, что на 2, 3,..., ю линии пучка поступают нагрузки, создаваемые потоком Пальма (см. гл. 2). Этот поток по пропускной способности хуже простейшего потока. Объясняется это тем, что он характеризуется большей неравномерностью промежутков между вызовами, так как на ю (i=2, линию пучка поступает только часть вызовов общего потока и эта часть вызовов приходится только нате интервалы времени, на протяжении которых заняты все предшествующие i–1 линии пучка. В эти интервалы поток поступающих на i-юлинию вызовов имеет параметр, равный параметру простейшего потока, поступающего на первую линию пучка. Естественно, что чем больше значение тем большей неравномерностью промежутков времени между вызовами обладает поток Пальма, поступающий на эту линию пучка. Поэтому при упорядоченном искании в случае поступления на разные линии полнодоступного пучка потоков Пальма с одинаковой интенсивностью линия с большим номером обладает меньшей пропускной способностью по сравнению с линией, имеющей меньший номер. Изложенное иллюстрируется рис. 4.4 и 4.5. На рис. 4.4 показаны зависимости интенсивности- нагрузки η o1 , обслуживаемой й линией пучка, от интенсивности нагрузки у,поступающей на первую линию этого пучка, те, где η oi определяется по (4.32). Кривые η oi =f(y i ), где y i – интенсивность поступающей на ю линию нагрузки, показаны на рис. 4.5. Последнее семейство кривых наглядно иллюстрирует и позволяет получить количественную оценку пропускной способности разных линий полнодоступного пучка при упорядоченном искании линий, на которые поступают потоки Пальма равной интенсивности. Так, например, если на ю линию пучка поступает нагрузка интенсивностью y i =2 Эрл, то при i=l получаем η o1 =0,67 Эрл, а при i=10, 20, 40, 80 нагрузка, обслуживаемая й линией, снижается с увеличением номера этой линии по сравнению с первой линией пучка соответственно на 24, 36, 46 и 55%. Приведенный пример показывает, что неравномерность промежутков между вызовами потока Пальма приводит к существенному уменьшению пропускной способности разных линий пучка по сравнению с обслуживанием этими линиями простейшего потока равной интенсивности. Из рис. 4.5 также следует, что с повышением величины пропускная 52 способность разных линий пучка снижается менее интенсивно. Характер зависимостей между у, υи Принимая во внимание, что p t =p в =p н =p υ , используем для вероятности потерь обозначение рте Зависимость y=f( υ) при p=const (p 1 =0,005; p 2 =0,02; р) приведена на рис. 4.6. Из рисунка видно 1. При заданном качестве обслуживания поступающих вызовов (p=const) с увеличением емкости пучка υ повышается его пропускная способность. Так, при р пучок υ=20 линий обслуживает поступающую нагрузку y=11,1 Эрл, а пучок υ=40 линий у Эрл, те. при увеличении емкости полнодоступного пучка с до в 2 раза) интенсивность поступающей нагрузки повышается в 2,47 раза. 2. При заданной величине интенсивности поступающей нагрузки (y=const) чем больше допустимые потери р, тем меньше требуется линий в пучке для обслуживания поступающей нагрузки, те. если p 3 >p 2 >p 1 , то при y=y 1 =const υ 3 < υ 2 < υ 1 . 3. При заданной емкости пучка линий ( υ=const) чем больше величина потерь р,тем большей пропускной способностью обладает пучок, те. если р 3 >р 2 >p 1 , то при υ=υ 1 =const y 3 '>y 2 '>y 1 '. Нагляднее рассматриваемая зависимость иллюстрируется интенсивностью поступающей нагрузки, отнесенной к одной линии пучка – На рис. 4.7 приведено семейство кривых, характеризующих зависимость χ=f(υ) при p=const (p 1 =0,005; р p 3 =0,05). По аналогии с рис. 4.6 рассматриваемая зависимость показывает, что при а) χ=const, если р 1 <р 2 <р 3 ,то υ 1 > υ 2 > υ 3 ; б) υ=const, если р 1 <р 2 <р 3 , то χ 1 < χ 2 < χ 3 ; В) p=const, если υ 3 > υ 2 > υ 1 , то В случае p=const увеличение емкости пучка линий сказывается на повышении его пропускной способности тем существеннее, чем меньше емкость пучка при имеет место неравенство Таким образом, при р с увеличением емкости пучка линий пропускная способность пучка всегда повышается, однако скорость увеличения пропускной способности снижается это утверждение справедливо в области малых и средних потерь. Характер рассматриваемых зависимостей дополним семейством кривых (сплошные линии) χ=f(p) и пунктирные линии) при υ=const (рис. 4.8). Из рисунка видно, что при υ=const с ростом потерь увеличивается пропускная способность пучка при υ=const, если p 3 >p 2 >p 1 , то χ 3 > χ 2 > χ 1 и η 3 > η 2 > η 1 . В области малых и средних потерь справедливо следующее неравенство 53 Повышение величины потерь приводит к увеличению пропускной способности полнодоступного пучка линий, однако скорость увеличения удельной поступающей нагрузки снижается с возрастанием потерь. В области больших потерь, наоборот, с увеличением вероятности потерь скорость увеличения удельной поступающей нагрузки повышается Однако в области больших потерь допустимое значение интенсивности поступающей нагрузки у не дает наглядной характеристики качества обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов, так как основная часть поступающих вызовов не обслуживается, а теряется. Поэтому пропускную способность пучка линий обычно характеризуют не величиной а величиной η. Для средней пропускной способности одной линии пучка во всей области потерь (0 ≤p≤1) справедливо соотношение. Обслуживание вызовов примитивного потока Определение вероятностей состояния полнодоступного пучка. Полнодоступный пучок емкостью υ(1≤υ<∞) линий, включенных в выходы неблокирующей коммутационной системы с потерями, обслуживает вызовы, которые образуют примитивный поток с параметром λ i . Длительность обслуживания вызова коммутационной системой распределена по показательному закону е, β=1. Требуется определить вероятности различных состояний полнодоступного пучка в процессе обслуживания поступающих вызовов и вероятности потерь повремени вызовам рви нагрузке р н . Примитивный поток является частным случаем симметричного потока с простым последействием. Его параметр λ i определяется соотношением где α – параметр потока вызовов свободного источника п – число источников вызовов, каждый из которых создает поток с одними тем же значением параметра α. Из (4.37) следует, что параметр примитивного потока λ i пропорционален числу свободных источников, он зависит лишь от числа занятых линий пучка i. Подставляя в (4.13) соотношение получим 54 Последняя формула называется формулой Энгсета. Она определяет вероятность р i того, что в полнодоступном пучке емкостью линий, который включен в неблокирующую коммутационную систему с потерями и обслуживает вызовы примитивного потока, в любой произвольный момент времени занято точно i линий, или, иными словами, вероятность того, что этот пучок находится в состоянии i. В гл. 2 было показано, что простейший поток можно рассматривать как предельный частный случай примитивного потока. Естественно, что формула Энгсета (4.38) является более общей, чем формула Эрланга (4.16), и последняя может быть непосредственно получена из (4.38). Покажем это. Число источников вызовов устремим к бесконечности (n →∞), одновременно устремив к нулю параметр одного свободного источника ( α→∞). При этом параметр потока вызовов всех свободных источников па сохраняем величиной конечной и постоянной – λ=nα=const. Тогда при любом конечном значении i (i=0, 1,..., ..., υ) Таким образом, при п →∞из формулы Энгсета получается формула Эрланга. Соотношения между параметром потока аи нагрузкой, поступающей от одного источника. Рассмотрим систему без потерь, те. систему, в которой число линий равно числу источников (п. В такой системе каждый источник может обслуживаться независимо от состояния других источников. Поэтому достаточно рассмотреть случай n= υ=1. При этом по (4.38) получаем p 0 =l/(l+ α); p 1 = α/(l+α). Вероятность p 1 в рассматриваемом случае есть доля времени, в течение которого источник занят в системе без потерь, что численно соответствует интенсивности нагрузки а, поступающей от одного источника – р 1 =а. Отсюда Установим соотношение между параметром потока вызовов, поступающих от одного источника в системе без потерь, и параметром потока а одного свободного источника. Согласно определению параметр потока есть ) , ( lim 1 0 τ τ + π → τ t t Вероятность π 1 (t, того, что за промежуток времени [t, t+ τ), τ→0, от рассматриваемого источника поступит один и более вызовов, определяется произведением вероятности р 0 того, что в момент источник свободен, на сумму, состоящую из вероятности того, что за промежуток времени [t, от свободного источника поступит точно один вызов (эта вероятность равна о, и вероятности поступления за этот промежуток более одного вызова (вероятность равна о. Поэтому π 1 (t, рои параметр потока вызовов одного источника равен Таким образом, параметр потока вызовов одного источника численно равен интенсивности поступающей нагрузки от одного источника. Заменим в (4.38) параметра соотношением (4.39) и получим формулу Энгсета, выраженную через величину интенсивности поступающей от одного источника нагрузки ат. е. вероятность того, что в произвольный момент времени из п источников занято точно i источников, определяется распределением Бернулли. Определение вероятностей потерь повремени, вызовами нагрузке. Потери повремени численно равны вероятности занятости всех линий пучка Формулу для вычисления потерь по вызовам получим из соотношения (4.15), подставив в него значения параметра примитивного потока вызовов Соотношения (4.38), (4.41) и (4.44) показывают, что вероятности состояний полнодоступного пучка линий в процессе обслуживания примитивного потока вызовов, а также потери p t , р в зависят от числа источников вызовов п, величины поступающей от одного источника нагрузки а или параметра потока вызовов одного свободного источника α) и емкости пучка линий υ. Из сопоставления (4.44) и (4.43) следует, что в полнодоступном пучке емкостью υ линий, на который поступает примитивный поток вызовов, потери по вызовам при наличии п источников равны потерям повремени при наличии п источников, те. рва, Отсюда следует, что р в (п, a, υ)<p t (n, a, υ), или р в <р(t) Формула (4.44), определяющая потери по вызовам р в (п, a, υ), табулирована для широкого диапазона значений п, a, По этим же таблицам определяют потери повремени, исходя из равенства p t (n, а, υ)=р в (n+1, a, υ). Согласно определению, вероятность потерь по нагрузке р н равна отношению интенсивности потерянной п к интенсивности поступающей у нагрузок р н =у п /y. Интенсивность потерянной нагрузки у п есть разность интенсивностей поступающей у и обслуженной у 0 нагрузок: y п =y–y 0 .Интенсивность обслуженной нагрузки у 0 равна математическому ожиданию числа одновременно занятых линий пучка емкостью υ: Аналогично интенсивность поступающей нагрузки у равна математическому ожиданию числа занятых линий в пучке емкостью n (в системе без потерь Таким образом, интенсивность поступающей нагрузки равна произведению числа источников п, создающих эту нагрузку, на интенсивность нагрузки а одного источника. Из соотношения (4.46) также следует, что математическое ожидание числа занятых линий в системе без потерь составляет M(i)=na. Используя соотношение (4.45) и (4.46), находим Упростим числитель последней дроби развернем значения приведенных в числителе рядов и сгруппируем все коэффициенты, относящиеся к параметру α, имеющему одну и туже степень. В С учетом (4.43) получаем формулу, определяющую потери по нагрузке Из этой формулы следует, что потери по нагрузке р н меньше потерь повремени p t (р н <р t ) и даже в предельном случае, когда п, потери по нагрузке р н = 0, а потери повремени) p t =а п . Можно показать, что потери по нагрузке р н всегда меньше и потерь по вызовам р в . Таким образом, при обслуживании примитивного потока вызовов полнодоступным пучком, включенным в неблокирующую коммутационную систему, потери по нагрузке меньше потерь по вызовам, а последние меньше потерь повремените. имеет место неравенство 57 При обслуживании же таким пучком простейшего потока вызовов, как было показано (4.28), между этими потерями имеет место равенство Сравнение пропускной способности полнодоступного пучка, обслуживающего вызовы примитивного и простейшего потоков. Характер зависимости величины поступающей нагрузки па от емкости пучка линий υ, который обслуживает вызовы примитивного потока, поступающие от фиксированного числа источников п, такой же, как и при обслуживании вызовов простейшего потока. Однако на пропускную способность пучка влияет число источников вызовов п:в области малых потерь с уменьшением п увеличивается пропускная способность пучка. Это иллюстрируется семейством кривых при р в =0,005, приведенном на рис. 4.9. Эти кривые одновременно показывают, что при заданном качестве обслуживания поступающая на линий пучка нагрузка па, создаваемая вызовами примитивного потока от любого числа источников, имеет большую величину по сравнению с нагрузкой у, создаваемой вызовами простейшего потока. Так, при υ=30 нагрузки, поступающие от n 1 =50 и n 2 =100, могут достигать соответственно значений na 1 =21,65 Эрл и а = 20 Эрл, а нагрузка, которая создается вызовами простейшего потока, y=18,7 Эрл, те. нагрузка от n=50 на 8,2% больше нагрузки, поступающей от n=100, и на 16% больше нагрузки, создаваемой вызовами простейшего потока. Заметим, что с увеличением потерь рва) существенно уменьшается влияние п на пропускную способность пучка б) сокращается различие между пропускной способностью пучков, обслуживающих вызовы примитивного и простейшего потоков. В тоже время нагрузка па, обслуживаемая полнодоступным пучком в области любых потерь, выше при обслуживании вызовов примитивного потока (па o =па(1– р н )),а р н всегда меньше Так, например, обслуженная нагрузка, создаваемая примитивным потоком от n=50, при р н =E υ (nа)=0,01 на 12% и при н на 6% выше обслуженной нагрузки, создаваемой простейшим потоком вызовов. Таким образом, сточки зрения величины обслуживаемой нагрузки примитивный поток всегда лучше простейшего потока вызовов. Обслуживание вызовов, поступающих от источников с различной интенсивностью. В модели примитивного потока принято, что параметр потока вызовов от любого свободного источника один и тот же – α. Поэтому параметр потока вызовов λ i от группы из п источников в каждый момент времени зависит только от числа свободных в этой группе источников – λ i = α(п–i),где i – число занятых источников. Вероятность потери вызова для каждого источника одна и та же. В реальных условиях свободные источники имеют различные параметры потоков – α 1 ≠α 2 ≠....≠α n . В связи с этим параметр потока вызовов от группы источников в каждый момент времени зависит не только от числа свободных в группе источников, но и оттого, какие именно источники в данный момент свободны. Каждое состояние такой системы с п) свободными источниками характеризуется строго определенным набором i занятых источников. Вероятность потери вызова для каждого источника имеет различное значение. Если качество обслуживания вызовов примитивного потока характеризуется одним параметром – вероятностью потерь по вызовам р в , определяемой для полнодоступного пучка формулой Энгсета (4.44), то качество обслуживания вызовов при неодинаковой интенсивности источников характеризуется двумя величинами – вероятностью π o потери вызова потока, общего для всей группы источников, и вероятностями π j (j=1, 2,..., п) потери вызова каждого из n источников. Исследованиями установлено следующее. 1. Полнодоступный пучок емкостью линий всегда обладает более высокой пропускной 58 способностью при обслуживании вызовов, создаваемых группой в n источников с α 1 ≠α 2 ≠...≠α n , по сравнению с обслуживанием этим пучком вызовов примитивного потока также от группы в n источников. Иными словами, при условии при одной и той же емкости пучка вероятность π o всегда меньше р в 2. Значения вероятностей потери вызова π j (j=1,...,n) находятся в широком диапазоне у источников с большей интенсивностью значение π j меньше, чему источников с меньшей интенсивностью у ряда источников может превышать вероятность π o и даже вероятность р в |