реферат. Изгиб тонких пластинок 1 Основные понятия и гипотезы
 Скачать 0.82 Mb.
|
 (1.6)называется цилиндрической жесткостью и является физико-геометрической характеристикой пластинки при изгибе. Цилиндрическая жесткость пластины при изгибе отличается от обычной изгибной жесткости балки EI множителем  , который учитывает увеличение жесткости пластинки благодаря возникновению плоского напряженного состояния при цилиндрическом изгибе в отличие от линейного напряженного состояния волокон обычной балки. Указанное увеличения жесткости составляет около 10 %. Поперечные силы выражаются через моменты следующими уравнениями   Подставляя сюда соотношения (5), получаем значения поперечных сил в зависимости от прогиба пластины   (1.7)Отметим особенности обозначения внутренних силовых факторов в пластинах, отличные от тех, что были приняты в балках: Mx – изгибающий момент относительно оси, перпендикулярный к Оx ; My – изгибающий момент относительно оси, перпендикулярный к Оy , Mxy – крутящий момент относительно оси x , действующий в плоскости, параллельной оси y ; Myx – крутящий момент относительно оси y, действующий в плоскости, параллельной оси x (рис. 1.3). Различие между поперечными силами Qx и Qy состоит в том, что первая действует на площадке с нормалью, параллельной оси x , а вторая – на площадке с нормалью, параллельной оси y . Кроме того, следует принять во внимание, что изгибающие и крутящие моменты, а также поперечные силы отнесены к единице длины сечений, параллельных плоскостям xz и yz (рис. 1.1).  Рис. 1.3. Напряжения и внутренние усилия в пластине 1.4 Дифференциальное уравнение изгиба пластины Если выделить в пластинке элементарный параллелепипед и спроектировать все силы, действующие на него, на ось z, то из условия равновесия можно получить следующее тождество (выкладки опускаем)  где q - поперечная нагрузка. Подставляя сюда выражения для поперечных сил (1.7), получим дифференциальное уравнение пластины  (1.8)21 Уравнение (1.8) называют уравнением Софии Жермен и записывают короче так:  или  (1.9)где  - гармонический дифференциальный оператор (набла) в декартовых координатах (оператор Лапласа). Расчет пластинок сводится к интегрированию уравнения (1.9) при заданной правой части (нагрузке) и определенных граничных условиях. 1.5 Граничные условия Задача интегрирования уравнения (1.9) заключается не только в том, чтобы найти функцию w = w (x, y), подстановка которой в дифференциальное уравнение (1.9) удовлетворяла бы последнее уравнение тождественно, но также и в том, чтобы эта функция удовлетворяла условиям на опорном контуре. Наиболее часто встречающимися вариантами закрепления контура пластинки являются следующие (на примере прямоугольной пластины, рис. 1.1): 1) З а щ е м л е н н ы й к р а й. Защемление боковой грани пластинки (при x = 0) означает отсутствие любых смещений, – горизонтальных, вертикальных и угловых, а значит, и углов поворота θz . Поэтому |