реферат. Изгиб тонких пластинок 1 Основные понятия и гипотезы
 Скачать 0.82 Mb.
|
|
Глава 1. Изгиб тонких пластинок 1.1 Основные понятия и гипотезы Пластины являются одним из основных конструктивных элементов многих инженерных сооружений. Под пластиной понимается тело, у которого одно измерение (высота, толщина) мало по сравнению с двумя другими размерами. Высота (толщина) h пластины может быть переменной, при h=сonst пластина называется пластиной постоянной толщины. Далее рассматриваются именно такие пластины. Плоскость, разделяющая пополам толщину пластины называется срединной плоскостью. При изгибе пластины она превращается в срединную поверхность. Контуром пластины называют линию, ограничивающую срединную плоскость пластины. В прямоугольной системе координат оси x и y будем располагать в срединной плоскости пластины, а ось z – направлять вниз (рис. 1.1). Перемещения срединной поверхности в направлении оси z называют прогибом пластины и обозначают w=w (x, y).  Рис. 1.1. Пластинка: срединный слой и размеры В зависимости от соотношения наименьшего размера основания а и толщины h различают три вида пластин: • при  пластины относят к мембранам; мембраны обладают незначительной изгибной жeсткостью и работают в основном на растяжение; • при  пластина считается толстой и часто называется плитой: расчeт плит ведeтся как для массивных трeхмерных тел; • при   пластины называют тонкими; такой тип пластин чаще всего встречается в инженерных приложениях. Их расчeт ведeтся с некоторыми упрощающими предположениями. В зависимости от способности деформироваться тонкие пластины делятся на жесткие и гибкие. Если наибольший относительный прогиб при изгибе w/h 0,2...0,5, то пластина считается жесткой и напряжениями растяжения (сжатия), возникающими в ее срединной плоскости пренебрегают. Если величина w/h превышает указанные пределы, то пластину считают гибкой, она работает одновременно и на изгиб, и на растяжение (сжатие), то есть как мембрана. Далее рассматриваются тонкие жесткие пластинки, работающие на изгиб. Сформулируем некоторые допущения и ограничения (гипотезы), благодаря которым расчет тонких пластин упрощается и сводится к решению линейных дифференциальных уравнений. 1. Основная гипотеза о прямых нормалях: прямолинейные отрезки, нормальные (перпендикулярные) к срединной плоскости пластины до деформации, остаются такими же и после деформации. Эта гипотеза аналогична гипотезе плоских сечений (гипотезе Бернулли), принимаемая в сопротивлении материалов при расчете стержней. 2. Гипотеза об отсутствии поперечного давления: слои пластины, параллельные срединной плоскости, не давят друг на друга и поэтому соответствующими нормальными напряжениями сжатия ϭz, которые значительно меньше ϭx и ϭy можно пренебречь. Эти два допущения часто называют гипотезами Кирхгофа. 3. Гипотеза о вертикальном смещении точек срединной поверхности: точки срединной поверхности смещаются только в перпендикулярных к ней направлениях, то есть по направлению оси z. Горизонтальными перемещениями срединной плоскости (u0, v0) в силу их малости пренебрегают. Вследствие принятых допущений решение задачи по определению напряженно-деформированного состояния (НДС), то есть по определению внутренних усилий, напряжений и перемещений в сечении пластины значительно упрощается. Задача решается в перемещениях и за основную искомую функцию принимается прогиб w = w (x, y), то есть вертикальное перемещение. 1.2 Перемещения и деформации в пластине Будем рассматривать пластинки постоянной толщины, нагруженные поперечной распределенной нагрузкой q = q (x, y), которую для краткости далее обозначаем просто q. Под действием этой нагрузки пластинка прогибается и срединный слой, искривляясь образует поверхность w = w (x, y). Горизонтальные перемещения точек пластины, не принадлежащие срединной плоскости, в направлении осей x и y условимся обозначать u и v соответственно. Углы поворота нормали mn к срединной плоскости по отношению к осям x и y (рис. 1.2) будут    Рис. 1.2. Горизонтальное перемещение Из рис. 1.2 видно, что перемещение u, а, следовательно, и перемещение v, определятся так |