Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями

• Название: Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями
• Дата: 03.05.2021
• Размер: 1.34 Mb.
• Имя файла: bestreferat-357222 (1).docx
• Тип: Изложение; #201118
• страница: 2 из 6

2. Сравнения первой степени с одной переменной

2.1 Основные понятия

Определение 1. Сравнением первой степени с одной переменной называется сравнение вида

(2.1)

где

Будем говорить, что целое число удовлетворяет сравнению (2.1), если верное сравнение.

Теорема 1. Если целое число удовлетворяет сравнению (*), то и весь класс по состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.

Доказательство. Имеем: , отсюда получим, что . Обозначим через разность , то есть . Следовательно, . А так как число удовлетворяет сравнению (2.1), то сравнение

(2.2)

является верным. Кроме того,

Получим

(2.3)

Но тогда по свойству транзитивности из (2.2) и (2.3) получим, что

,

то есть удовлетворяет сравнению (2.1), поэтому весь класс , состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению (2.1). Теорема 1 доказана.

Определение 2. Решением сравнения (2.1) называется класс вычетов по , которые при подстановке в сравнение обращают его в верное сравнение.

Число решений сравнения по это число решений этого сравнения в какой-либо полной системе вычетов по модулю .

Примеры.

1. 
   . Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю 7: (так как классы вычетов будут ).
   

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно, удовлетворяет сравнению, а поэтому класс вычетов по является решением сравнения.

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Таким образом, сравнение имеет одно решение или, в другом виде, .

Ответ: .

2) .

Классы вычетов по mod 10: . Полная система наименьших по абсолютной величине вычетов по mod 10: {0, 1, 2, 3, 4, 5, -4, -3, -2, -1}. Проверим для каждого из этих чисел, будет ли выполнено условие . Имеем:



Получили, что ни одно из чисел, взятых из полной системы вычетов, не удовлетворяет сравнению, следовательно, данное сравнение не имеет решения.

Ответ: .

2.2 Теорема о неразрешимости сравнения

Теорема 1. Пусть дано сравнение

(2.4)

, . Тогда сравнение (2.4) не имеет решения.

Доказательство. От противного. Предположим, что существует решение: класс вычетов по mod m. Тогда удовлетворяет сравнению, то есть верное сравнение. Отсюда получим, что

(2.5)

Из условия теоремы: следует, что

(2.6)

Поэтому из (2.5) и (2.6) получим, что и , отсюда следует, что . Получили противоречие: так как сделали неправильное предположение. Отбросив его, получим, что сравнение (2.4) не имеет решения. Теорема 1 доказана.