Главная страница

Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями


Скачать 1.34 Mb.
НазваниеИзложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями
Дата03.05.2021
Размер1.34 Mb.
Формат файлаdocx
Имя файлаbestreferat-357222 (1).docx
ТипИзложение
#201118
страница1 из 6
  1   2   3   4   5   6

Введение



Методы теории сравнений широко применяются в различных областях науки, техники, экономики. Этот раздел алгебры занимает важное место в вузовском образовании математиков, физиков и других специалистов, однако очень часто изучается недостаточно глубоко. Задача данной курсовой работы – изучить теоретический материал и рассмотреть ряд основополагающих задач по одному из основных разделов теории чисел: сравнения первой степени с одной и несколькими переменными, сравнения высших степеней и т.д.

Основная часть курсовой работы состоит из трех глав. В первой главе раскрываются основные понятия теории сравнений, такие как сравнения в кольце целых чисел, основные теоремы и свойства сравнений. Во второй главе рассматриваются сравнения первой степени с одной переменной. Далее рассматриваются сравнения высших степеней и системы сравнений первой степени. В приложении приводятся примеры решения текстовых задач, которые сводятся к неопределенным уравнениям первого порядка и решаются с помощью сравнений.

Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями.

В работе приводится список литературы по теме.

1. Теория сравнений

1.1 Сравнения в кольце целых чисел



Понятие сравнения было введено впервые Гауссом. Несмотря на свою кажущуюся простоту, это понятие очень важно и имеет много приложений.

Возьмем произвольное фиксированное натуральное число и будем рассматривать остатки при делении на m различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и произведении операций над ними удобно ввести понятие так называемого сравнения по модулю.

Определение. Целые числа и называются сравнимыми по модулю , если разность делится на , т.е. если .

Таким образом, сравнение представляет собой соотношение между тремя числами и , причем , играющее роль своего рода эталона сравнения, мы называем «модулем». Для краткости будем это соотношение между и записывать:


,





и будем называть соответственно левой и правой частями сравнения. Число , стоящее под знаком модуля, будем всегда считать положительным, т.е. запись будет означать, что .

Если разность не делится на , то мы будем записывать:

.

Согласно определению, означает, что делится на .

Примеры.

  1. так как и делится на .

  2. , так как и делится на .

  3. , так как и делится на .

1.2 Основные теоремы о сравнениях



Теорема 1 (признак сравнимости двух чисел по модулю ). Два целых числа и сравнимы по модулю тогда и только тогда, когда и имеют одинаковые остатки при делении на .

Доказательство. Пусть остатки при делении и на равны, т.е.




(1.1)



(1.2)


где

Вычтем (1.2) из (1.1); получим т.е. или

Обратно, пусть это означает, что или




(1.3)


Разделим на ; получим Подставив в (1.3), будем иметь т.е. при делении на получается тот же остаток, что и при делении на .

Пример 1. Определим, сравнимы ли числа и по модулю .

Решение. При делении и на получаются одинаковые остатки Следовательно,

Определение. Два или несколько чисел, дающие при делении на одинаковые остатки, называются равноостаточными или сравнимыми по модулю .

Теорема 2. Отношение сравнимости рефлексивно: .

Доказательство. и имеют одинаковые остатки при делении на .

Теорема 3. Отношение сравнимости симметрично: если , то .

Доказательство. Если и имеют одинаковые остатки при делении на , то остатки от деления и на также равны.

Теорема 4. Отношение сравнимости транзитивно: если

то .

Доказательство. Если остатки от деления на одинаковы у чисел и , а также у и , то и тоже имеют одинаковые остатки при делении на .

Таким образом, отношение сравнимости есть отношение эквивалентности.

Теорема 5. Если и произвольное целое число, то

.

Доказательство. Если , то, , , .

Теорема 6. Если и 1, то .

Доказательство. Если , то |, |, но тогда условие дает |, т.е. .

Теорема 7. Если и произвольное натуральное число, то .

Доказательство. Если , то |, |, .

Теорема 8. Если , где и произвольные натуральные числа, то .

Доказательство. Если , то |, |,

натуральное ( , тогда |, .

Теорема 9. Если , , то и .

Доказательство. Если и , то и . Получим, что

Теорема 9'. Если , то .

Теорема 10. Если и , то .

Доказательство. Если и , то и . Тогда по транзитивности сравнений получим, что .

Теорема 10'. Если , то

.

Доказательство. Последовательно применяя теорему 7, получим:

.

Теорема 11. Если , то при любом целом , .

Доказательство. При утверждение верно по теореме 2, а при оно верно согласно теореме 10', если и .

Переход от сравнений , к сравнениям

, ,

будем называть соответственно сложением (вычитанием), умножением, возведением в степень сравнений.

Так как из сравнения следует , то из сравнений и следует также, что и .

Теорема 12. Если и произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то .

Доказательство. Если , то, согласно теоремам 7 и 11, имеем:

при .

По теореме 9', получаем ,

т.е. .

Теорема 12'. Если и многочлен с целыми коэффициентами, то

.

Теорема 13. Любое слагаемое левой или правой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть.

Доказательство. Ввиду симметричности отношения сравнения достаточно рассмотреть случай, когда дано сравнение . Складывая это сравнение со сравнением , получаем .

Следствие. В левой и правой частях сравнения можно добавлять или отбрасывать одно и то же слагаемое.

Теорема 14. В сравнении можно отбрасывать или добавлять слагаемые, делящиеся на модуль.

Доказательство. Если и , т.е. , то, складывая эти сравнения, получаем . Аналогично из и получаем .

Поскольку левую и правую части сравнения можно менять местами, утверждение верно и для слагаемых правой части.

Теорема 15. Если и , то .

Доказательство. Если , то . Из , в силу транзитивности отношения делимости получаем , .

Теорема 16. Если , то множество общих делителей и совпадает с множеством общих делителей и . В частности,

Доказательство. Если , то , , , любой общий делитель чисел и является общим делителем чисел и , и, наоборот, если и , то .

Поскольку пара и пара имеют одни и те же общие делители, то и .

Теорема 17. Если , , то , где .

Доказательство. Если , , то , то и, согласно свойствам наименьшего общего кратного, .
  1   2   3   4   5   6


написать администратору сайта