Метрология. Кафедра арэо контрольная работа по дисциплине метрология, стандартизация и сертификация. Тема контрольного задания Обработка опытных данных по результатам многократных измерений

• Название: Кафедра арэо контрольная работа по дисциплине метрология, стандартизация и сертификация. Тема контрольного задания Обработка опытных данных по результатам многократных измерений
• Дата: 01.06.2020
• Размер: 143.5 Kb.
• Имя файла: Метрология.docx
• Тип: Контрольная работа; #127092

Федеральное Агентство Воздушного Транспорта

Федерального Государственного Бюджетного Образовательного

Учреждения Высшего Профессионального Образования

«Московский Государственный Технический Университет

Гражданской Авиации» (МГТУ ГА)
Кафедра АРЭО


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ»
.

Тема контрольного задания:

Обработка опытных данных по результатам многократных измерений.
Вариант 3

При сверлении 80 отверстий одним и тем же сверлом и последующим измерением диаметров отверстий получены данные (в мм), приведены частоты контрольных измерений диаметров отверстий.
Таблица 1

Данные измерений (мм)	Частоты контрольных измерений
40,29	3
40,33	7
40,30	5
40,36	6
40,39	4
40,28	2
40,31	6
40,26	2
40,37	6
40,41	2
40,42	1
40,27	1
40,34	11
40,40	3
40,35	9
40,32	7
40,38	3
40,44	1
40,43	1

Требуется:

1. 
   Результаты измерений записать в виде вариационного ряда.
   
2. 
   Составить интервальный статистический ряд распределения частот и частостей (относительных частот) измеренных значений диаметров отверстий.
   
3. 
   Построить гистограмму и полигон частостей, сделать вывод о предполагаемом законе распределения измеренных диаметров отверстий.
   
4. 
   Вычислить среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение.
   
5. 
   Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать плотность вероятности и функцию распределения измеренных значений.
   
6. 
   Найти теоретические частоты нормального закона распределения, проверить согласие эмпирической функции распределения с нормальным законом с помощью критерия χ² Пирсона при уровне значимости α = 0,05.
   
7. 
   Найти интервальные оценки для среднего арифметического при α = 0,10; 0,05.
   

1. Результаты измерений запишем в виде вариационного ряда.

№п/п.	1		2	3		4	5		6		7		8		9		10		11
х(мм)	40.26		40.26	40.27		40.28	40.28		40.29		40.29		40.29		40.30		40.30		40.30
12	13	14			15	16		17		18		19		20		21		22		23
40.30	40.30	40.31			40.31	40.31		40.31		40.31		40.31		40.32		40.32		40.32		40.32
24	25	26			27	28		29		30		31		32		33		34		35
40.32	40.32	40.32			40.33	40.33		40.33		40.33		40.33		40.33		40.33		40.34		40.34
36	37	38			39	40		41		42		43		44		45		46		47
40.34	40.34	40.34			40.34	40.34		40.34		40.34		40.34		40.34		40.35		40.35		40.35
48	49	50			51	52		53		54		55		56		57		58		59
40.35	40.35	40.35			40.35	40.35		40.35		40.36		40.36		40.36		40.36		40.36		40.36
60	61	62			63	64		65		66		67		68		69		70		71
40.37	40.37	40.37			40.37	40.37		40.37		40.37		40.38		40.38		40.38		40.39		40.39
72	73	74			75	76		77		78		79		80
40. 39	40.39	40.40			40.40	40.40		40.41		40.41		40.43		40.44

2. Составим интервальный статистический ряд распределения частот и частостей (относительных частот) измеренных значений диаметров отверстий.

В учебных целях можно принять k = 6.

Ширину интервала определяем по формуле
мм

Рассчитаем границы интервалов:

x₀= x_min = 40,26 ;

x₁ = x₀ +h = 40,26 + 0,03 = 40,29 ;

x₂ = x₁ +h = 40,29 + 0,03 = 40,32 ;

x₃ = x₂ +h = 40,32 + 0,03 = 40,35 ;

x₄ = x₃ +h = 40,35 + 0,03 = 40,38 ;

x₅ = x₄ +h = 40,38 + 0,03 = 40,41 ;

x₆ = x_mах = 40,44 .

m₁= 2 +1 + 2 = 5;

m ₂ = 3+5 + 6 = 14;

m ₃ = 7+7 + 11 = 25;

m ₄ = 9+6 + 7 = 22;

m ₅= 3+4 + 3 = 10;

m ₆ = 2+1 + 1 = 4;

m₁ / n = 5/80 = 0,0625;

m₂ / n = 14/80 = 0,175;

m₃ /n = 25/80 = 0,3125;

m₄ /n = 22/80 = 0,275;

m₅ /n = 10/80 = 0,125;

m₆ /n = 4/80 = 0,05;

n = 80– количество измеренных отверстий.

Интервалы ki	Середина интервала ki	Частоты mi	Частости
[40,26-40,29]	40,275	5	0,0625
]40,29-40,32]	40,305	14	0,175
]40,32-40,35]	40,335	25	0,3125
]40,35-40,38]	40,365	22	0,275
]40,38-40,41]	40,395	10	0,125
]40,41-40,44]	40,425	4	0,05
Итого		80

3. Построим гистограмму и полигон частостей.

Площадь прямоугольника равна частости данного частичного интервала. Высота прямоугольника равна m_i/nh, где h – ширина интервала.















_{Рис. 1. Гистограмма частостей}


Рис. 2. Полигон частостей
Вывод: По виду гистограммы и полигону частостей делаем предположение о нормальном законе распределения измеренных диаметров отверстий, так как центр распределения один и находится в интервале ]40,32-40,35], кривая распределения сначала возрастает, затем убывает.
4. Вычислим среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение.

Среднее арифметическое определяем по формуле:


Среднее квадратическое отклонение равно:



5. Найдём точечные оценки параметров нормального закона распределения, запишем плотность вероятности и функцию распределения измеренных значений.

Точечные оценки параметров нормального закона распределения находим методом моментов. Они равны:
= 40,34




Запишем функцию плотности вероятности и функцию распределения измеренных значений



6. Найдём теоретические частоты нормального закона распределения, проверить согласие эмпирической функции распределения с нормальным законом с помощью критерия χ² Пирсона при уровне значимости α = 0,05.

Для определения теоретических частот нормируем интервалы, т.е. выражаем их в единицах среднего квадратического отклонения . При этом минимальное значение U₁ заменяем на - , а максимальное значение U₆ – на +









Вероятность попадания случайной величины х с параметрами а и σ в частичные интервалы находим по формуле и таблице приложения 1:
P₁= Ф(-1,23) - Ф(- ) = - 0,3907 + 0,5 = 0,1093
P₂= Ф(-0,48) - Ф(-1,23) = - 0,1844 + 0,3907= 0,2063
P₃= Ф(0,27) - Ф(-0,48) = 0,1064 + 0,1844 = 0,2908
P₄= Ф(1,03) - Ф(0,27) = 0,3485 - 0,1064= 0,2421
P₅= Ф(+ ) - Ф(1,03) = 0,5 - 0,3485 = 0,1515
Вычисляем теоретические частотыnp_i и наблюдаемое значение статистики по формуле

Таблица 4

Интервалы ki	Частоты mi	Нормирован. интервалы	pi	npi	(mi -npi)²
[40,26-40,29]	5	[- ,-1,23]	0,1093	8,744	0,0655	0,0075
]40,29-40,32]	14	]-1,23,-0,48]	0,2063	16,504	0,246	0,0149
]40,32-40,35]	25	]-0,48, 0,27]	0,2908	23,264	3,0137	0,1295
]40,35-40,38]	22	]0,27, 1,03]	0,2421	19,368	11,3434	0,5857
]40,38-40,44]	14	]1,03, + ]	0,1515	12,12	0,7744	0,0639
Итого	80					0,8015

По таблице квантилей - распределения (Приложение 2 [1]) по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы ν = k – r –1 = 5 – 2 – 1 = 2, где k = 5; r = 2 – число параметров функции распределения, находим критическое значение = 5,991.

Вывод: Так как = 0,8015 < = 5,991, то эмпирической функция распределения согласуется с нормальным законом распределения.

7. Найдём интервальные оценки для среднего арифметического при α = 0,10; 0,05.

Найдём доверительный интервал для оценки среднего арифметического
< <
где = 40,3391, σ = 0,0398; n = 80.

Значения квантилей Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы ν = n – 1 = 79 и уровня значимости α/2 = 0,05 и 0,025 находим в Приложении 3 [1] t =1,645 и 1,96.
Получаем доверительные интервалы:

< < ;

40,3318 < < 40,3464 при α = 0,10

С вероятностью 0,9 можно ожидать, что средний диаметр отверстий в генеральной совокупности будет находиться в интервале от 40,3318 мм до 40,3464 мм.
< < ;

40,3304 < < 40,3478 при α = 0,05.

С вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний диаметр отверстий в генеральной совокупности будет находиться в интервале от 40,3304 мм до 40,3478 мм.
Вывод по работе: величина диаметр отверстий распределена по нормальному закону со средним значением 40,34 мм и средним квадратическим
отклонением 0,04 мм.

Список литературы

1. Логвин А.И., Иванов В.В. Метрология, стандартизация и сертификация. Пособие к изучению дисциплины и выполнению контрольного задания. – М.: МГТУ ГА, 2004. – 32 с.

2. Логвин А.И., Епифанцева Д.А. Метрология, стандартизация и сертификация: Пособие по проведению практических занятий для студентов всех специальностей всех форм обучения. – М.: МГТУ ГА, 2006. – 28 с.