КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА. 2РГР. Кинематика движения точки и твердого тела
 Скачать 0.98 Mb.
|
|
Расчетно-графическое задание по кинематике РГР-2 КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Группа Студент Оценка работы Дата Преподаватель МОСКВА 2015 г. Задача 1По данным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t1 найти положение точки на траектории (х1 (м), y1 (м)); её скорость V (м/c) , полное, касательное и нормальное ускорения ( a (м/c2); aτ (м/c2); an (м/c2) ), а так же радиус кривизны траектории в данной точке (p(м)). В - 8 Задание по варианту 1. x=7sin(π/6*t) (м) y=7cos(π/6*t)(м) t1=1.0c Решение Получим уравнение траектории: Разделим обе части уравнения x(t) на 7: sin(π/6*t)=x/7; Разделим обе части уравнения y(t) на 7: cos(π/6*t)=у/7; Поднесем к квадрату оба уравнения: sin2(π/6*t)=(x/7)2 cos2(π/6*t)=(у/7)2; Учтем, что sin2(π/6*t)+ cos2 (π/6*t)=1; Таким образом, (x/7)2 + (y/7)2 = 1; Полученное уравнение траектории – это уравнение круга, проходящего через точки с координатами (0; 0) и радиусов 7. Подставим значение t0, t0 = 0 с, в параметрические уравнения х и у: x0=7sin(π/6*0) = 0 y0=7cos(π/6*0) = 7 Т.е. точка начала движения – (0; 7) Подставим значение t1 в параметрические уравнения х и у: x1=7sin(π/6*1) =7/2 = 3,5 y1=7cos(π/6*1) = 7√3/2 = 6,06 Т.е. через 1 секунду точка имела координаты (3,5; 6,06) Таким образом, точка движется по окружности сверху вниз (по направлению стрелки на рисунке).  Скорость V2=Vx2+Vy2 , где V – полная скорость, а Vx и Vy проекции вектора полной скорости на оси Ох и Оy соответственно;  ;  Vx=d(7*sin(π/6*t))/dt Vy=d(7*cos(π/6*t))/dt Vx =  Vy =  Vx = (7/6π)*cos(π/6) = 6,35 м/с при t1=1; Vy = -(7/6π)*sin(π/6) = -1,83 м/с при t1=1 V2 = (-1,83)2 + (6,35)2 V = 6,6 V = 6,6 м/с при t1=1 (с) Полное ускорение ax=d2x/dt2; ay=d2y/dy2 a2= ax2+ay2, где а – полное ускорение, а аx и аy проекции вектора полного ускорения на оси Ох и Оy соответственно; ax =  ay = -  ax = -0,96; ay =-1,66 при t1=1 a2= ax2+ay2 a=1,92 м/c2 Касательное ускорение aτ = dV/dt;  aτ = 0,85 м/c2 Нормальное ускорение an2= a2 – aτ2 an 2 = 1,922 – 0,852 = 1,722 an = 1,72 м/c2 Радиус кривизны траектории p = V2/an p =(6,6)2 /1,72 = 25,3 p = 25,3 м Ответ: Координаты точки в момент времени t1 на траектории (x/7)2 + (y/7)2 = 1, t1(3,5; 6,06) Скорость точки равна V=6,6 м/с Ускорение точки (полное) a=1,92 м/с2 Ускорение касательное aτ= 0,85 м/с2 Ускорение нормальное an= 1,72 м/с2 Радиус кривизны p = 25,3 м Задача 2 ДАНО. Движение груза 1 описывается выражением: х = С2 • t2+ С1 • t+ Со, где t- время в секундах; С0, С1, С2 - некие постоянные. В начальный момент времени t0 = 0, начальная координата груза равна х=х0, а начальная скорость х0= V0. В момент времени t = t2координата груза 1 равна х = х2. Размеры шкивов 2 и 3 характеризуются радиусами R2, r2, R3, r3. ОПРЕДЕЛИТЬ: уравнение движения груза 1; скорость и ускорение груза 1. в момент времени t = t1; угловые скорости и угловые ускорения шкивов 2 и 3 в момент времени t = t1; скорость и ускорение точки М одного из шкивов механизма при t = t1. ПРИМЕЧАНИЕ: при отсутствии проскальзывания одного тела по поверхности другого соприкасающиеся точки этих тел имеют одинаковые скорости и касательные ускорения. № схемы механизма – 3  № таблицы исходных данных – 2 Значения параметров по варианту:
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ Заданный механизм представлен на рис.1 (схема 1), уравнение движения груза 1 описывается выражением: х = C2t2 + C1t + С2 . В начальный момент времени t0 начальная координата груза х0, начальная скорость V0 . Итак: груз 1 движется поступательно вниз; шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси O2z2 (рис.2); шкив 3 вращается вокруг неподвижной оси O3z3 (рис.2). Уравнение движения груза 1 х = C2t2 + C1t + С2 (1) Скорость груза 1 определим, продифференцировав закон движения по времени: V = x’ = 2 . C2t + C1 (2) Касательное ускорение груза 1 определим, получив вторую производную от уравнения (2): a τ= V’= x’’ = 2.C2 = const (3) Таким образом, ускорение не зависит от времени t. Следовательно, ускорение есть величина постоянная, а движение груза - равноускоренное. При движении по прямой нормальное ускорение отсутствует (an=0), поэтому полное ускорение груза определяется только касательной составляющей (a=aτ). Уравнение траектории движения груза x=C2t2+C1t+C0 (1); V=x`=2C2t+C1 (2); a=V`=2C2=const (3); t0=0, x0=0.08; подставляем в (1): 0.08 = C2*0 + C1*0 + C0; C0=0.08; подставляем t0=0 в (2): V0=2C2t0+C1; V0=2C2*0+C1; C1=V0=0.6; t2=4, x2=0,4; подставляем в (1): 0,4=C2*42+0.6*4+0.08; C2=-0,13; Таким образом x=-0.13t2+0.6t+0.08 2) Скорость груза в момент времени t1: V1=2С2t1+C1; V1=-2*0.13*2+0.6=0.08; V1=0.08 м/с; Ускорение груза в момент времени t1: a1=2C2=-0.26 м/с2 3) Т.к. нить нерастяжимая, то VЕ=V1, aτE=a1. Угловая скорость шкива находится по формуле: ω=V/R, где R – радиус шкива. (4) Для шкива 2: ω2 = VЕ/r2; ω2 = 0.08/0.4 = 0.2 рад/с; Угловое ускорение находится по формуле ξ = aτE/r (5); ξ2 = aτE/r2; ξ2 = -0.26/0.4=-0.65 рад/с. Направление углового ускорения ε2 соответствует направлению вектора касательного ускорения aEτ (по ходу часовой стрелки) (рис.2); Модуль скорости точки K VK = ω2 · KO2 где КО2 - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения O2 z2. VK = ω2 · R2 = 0.2 · 0,8 ≈ 0,16 м/с VK = VM =0,16 м/с Направлен вектор скорости VK перпендикулярно к кратчайшему расстоянию KО2 и соответствует направлению угловой скорости ω2 (рис.2). Касательное ускорение точки K aKτ = ε2 · KO2 = ε2 · R2 aKτ = -0,65 · 0,8 ≈ -0,52 м/с² aKτ = aMτ ≈ -0,52 м/с² Направлен вектор касательного ускорения точки К перпендикулярно кратчайшему расстоянию от точки К до оси вращения, т. е. a Kτ _|_КО2 и соответствует направлению углового ускорения ε2. Для шкива 3: ω3=VК/R3=0.16/0,75 = 0.213 рад/c; ξ3=aКτ/R3=-0.52/0,75=-0.693 рад/c2; aМn = ω32R3=0.2132*0.75 = 0.034; - нормальное ускорение точки М, лежащей на шкиве 3.  Полное ускорение точки М есть векторная сумма двух ускорений aM = aMn + aMτ Его величина: a M = √ (aMn)² + (aMτ)²; a M = √ 0.034² + 0,52² ≈ 0.521 м/с ² Направление вектора aM показано на расчетной схеме (рис.2) диагональю прямоугольника, построенного на векторах нормального и касательного ускорения как на сторонах. Так как вектор ускорения a1 и вектор скорости V1 груза 1 направлены в одну сторону и при этом ускорение есть величина постоянная, то груз 1, тела 2 и 3, а вместе с ними и точка М совершают равноускоренное движение. ОТВЕТ. VM ≈ 0,16 м/с a M ≈ 0.521 м/с ²
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||