полярное. Классификация кривых второго порядка (квп)
 Скачать 38.59 Kb.
|
|
Выведем полярное уравнение для отличного от окружности эллипса, параболы или правой ветви гиперболы. Для этого совместим полюс полярной системы координат с левым фокусом эллипса (правым фокусом гиперболы) или единственным фокусом параболы, а полярную ось направим перпендикулярно директрисе d, соответствующей фокусу. Обозначим через F, р и ε соответственно фокус, фокальный параметр и эксцентриситет кривой. Пусть М — произвольная точка кривой, МF = r— полярный радиус точки М, φ — ее полярный угол. Тогда  ─ полярное уравнение эллипса, отличного от окружности, параболы, правой ветви гиперболы. Для левой ветви гиперболы  ─ полярное уравнение левой ветви гиперболы.   Классификация кривых второго порядка (КВП) Уравнение вида ax2+bху+су2+dx+еу+f=0, (1) где a²+ b²+ c² ≠ 0 , называется уравнением кривой второго порядка в прямоугольноу системе ккординат OXY. Преобразуем систему координат таким образом, чтобы уравнение (1) приняло наиболее простой вид. 1. Если в уравнении коэффициент b ≠ 0, то можно повернуть систему координат OXY на угол α такой, что в новой системе координат O’X’Y’ уравнение (1) не будет содержать член с произведением x’y’. Действительно, согласно формулам поворота x = x’cosα – y’sinα, y = y’sinα + y’cosα.. Подставляя значения x и yв (1) легко подсчитать, что коэффициент при x’y’ примет вид -2acosα sinα + b²cos²α - b²sin²α + 2csinα cosα. Упрощая, получаем -asin2α + bcos2α + csin2α = 0, (a - c)sin2α = bcos2α, т.е.  ,Таким образом, в дальнейшем предполагаем, что уравнение КВП имеет вид ax2+bху+су2+dx+еу+f=0. (2) 2. Если в уравнении (2) а ≠0 и d ≠ 0, либо с ≠ 0 и е≠ 0, то, осуществляя параллельный перенос системы координат ОХУ, получаем уравнение КВП, не содержащее член с х, соответственно у. Действительно, пусть а ≠ 0, d≠ 0. Выделим полный квадрат при переменной х в (2).  Применим формулы параллельного переноса  ,  ,  Тогда уравнение примет вид  где  . Если же с ≠ 0 и е ≠0, то аналогичным образом исключаем в полученном уравнении член с у.Итак можно считать, что КВП представляется одним из трёх видов уравнений: ах² + by² + c = 0; ах² + by + c = 0; аy² + bх + c = 0. Рассмотрим случаи: 1) с ≠ 0. Тогда Если – (а/с) › 0 и – (b/c) › 0, то это уравнение эллипса. Если – (a/c) ‹ 0 b – (b/c) ‹ 0, то получаем пустое множество точек на плоскости. Если – (a/c) › 0 и – (b/c) ‹ 0, то уравнение гиперболы. Аналогичным образом получам гиперболу вытянутую вдоль оси ОУ. 2) с = 0. Тогда ах² + by² = 0; Если a и b– разных знаков, то всегда можно считать, что а › 0, b ‹ 0. Уравнение будет задавать две пересекающиеся прямые ax  by = 0Если же a и b одного знака, то уравнению удовлетворяет единственная точка О (0,0). Вывод: любая кривая второго порядка является эллипсом, гиперболой, параболой, парой пересекающихся прямых, парой параллельных прямых, прямой, точкой или пустым множеством. Укажем еще один способ классификации КВП. |