_Комбинаторные задачи и задачи по теории вероятностей_. Комбинаторные задачи и теория вероятностей. Предложены Задачи по комбинаторики (без ответов, для учеников)
 Скачать 62.78 Kb.
|
|
Предложены задачи в помощь учителю для подготовки учащихся к ЕГЭ по математике по теме «Комбинаторные задачи и теория вероятностей». Предложены Задачи по комбинаторики (без ответов, для учеников), Задачи по комбинаторики (с решениями и ответами, для учителя), Задачи по теории вероятностей (для учеников, с ответами), Задачи по теории вероятностей (для учителя, с решениями и ответами), Более сложные задачи по теории вероятностей (для учеников, с ответами), Более сложные задачи по теории вероятностей (для учителя, с решениями и ответами), Самостоятельная работа в двух вариантах по теме «Теория вероятностей». Задачи по комбинаторики (без ответов, для учеников) Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников? Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? Задача 3: Расписаниена день содержит 5 уроков. Определить количество возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит дважды. Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета? Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде? Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз? Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек? Задача 8: В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки? Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз? Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте? Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей? Задача 12: Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек. Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек? Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого? Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости? Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр? Задача 18: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых 3 определенных ученика находятся рядом друг с другом? Задача 19: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах. Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли? Задача 20: Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные и различные? Задача 21: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого? Задачи по комбинаторики (с решением и ответами, для учителя) Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников? Ответ: перестановки, 5! = 120. Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: размещения из 11 по 2, А211= 110. Задача 3: Расписаниена день содержит 5 уроков. Определить количество возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит дважды. Ответ: размещения из 14 по 5, 1320. Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета? Ответ: перестановки, 6 способов. Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде? Ответ: сочетания из 24 по 4, Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз? Ответ: перестановки, 6 способов. Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек? Ответ: сочетания, 455 способами. Задача 8: В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки? Ответ:84 Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз? Ответ: перестановки, 4! – 3! =18. Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте? Ответ: размещения из 6 элементов по 4, 360 способами. Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 разных деталей? Ответ: сочетания из 10 элементов по 2, 45 способами. Задача 12: Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек. Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек? Ответ: сочетания из 13 по 4, 715 бригад. Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? Ответ: сочетания из 16 по 2, 120 рукопожатий. Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого? Ответ: сочетание(размещение) из 30 по 2, 435(870) фотокарточек. Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости? Ответ: сочетание из 10 по 3; 120 точек Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? Ответ: 107. Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр? Ответ: размещение из 10 по 7. Задача 18: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых 3 определенных ученика находятся рядом друг с другом? Ответ: 720 = 3! · 5! Задача 19: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах. Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли? Ответ: а)2∙29!; б)28∙29! Задача 20: Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные и различные? Ответ: размещение из 5 по 3, 60. Задача 21: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого? Ответ: сочетания, С210·С28 = 1260. Задачи по теории вероятностей (для учеников, с ответами) У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей. 0,72. У Дины в копилке лежит 7 рублёвых, 5 двухрублёвых, 6 пятирублёвых и 2 десятирублёвых монеты. Дина наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит менее 60 рублей. 0,1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. 0,79 На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. 0,36 Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? 0,16. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? 0,006. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? 0,25. Из множества натуральных чисел от 25 до 39 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 5? 0,2. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 19 раз больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем. 0,05. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орёл, а во второй — решка. 0,25. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 49. 0,02. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. 0,25. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. 0,48. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? 0,36. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. 0,14. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. 0,498. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. 0,375. Задачи по теории вероятностей (для учителя, с решением и ответами) У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей. Пояснение. У Вити в копилке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Больше 70 рублей останется, если достать из копилки либо рублёвую, либо двухрублёвую монету. Искомая вероятность равна 18 : 25 = 0,72. У Дины в копилке лежит 7 рублёвых, 5 двухрублёвых, 6 пятирублёвых и 2 десятирублёвых монеты. Дина наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит менее 60 рублей. Пояснение. У Дины в копилке лежит 7 + 5 + 6 + 2 = 20 монет на сумму 7 + 10 + 30 + 20 = 67 рублей. Менее 60 рублей останется, если достать из копилки десятирублёвую монету. Искомая вероятность равна 2 : 20 = 0,1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. Пояснение. Вероятность того, что ручка пишет хорошо - противоположное событие тому, что ручка пишет плохо или вовсе не пишет. Таким образом, вероятность того, что ручка пишет хорошо: 1-0,21=0,79 На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Пояснение. Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна 9:25=0,36 Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Пояснение. За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов. Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12:75=0,16. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Пояснение. Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000 = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,006. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Пояснение. Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек. Тем самым, она равна 4:16=0,25. Из множества натуральных чисел от 25 до 39 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 5? Пояснение. Из 15 чисел от 25 до 39 на 5 делятся 3 числа: 25, 30 и 35. Поэтому искомая вероятность равна 3 : 15 = 0,2. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 19 раз больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем. Пояснение. Пусть количество пакетиков с зеленым чаем равно x, тогда пакетиков с черным чаем 19x, а всего 20x. Значит, вероятность того, что случайно выбранный пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем равно х:20х=0,05. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орёл, а во второй — решка. Пояснение. Всего возможных исходов — четыре: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Благоприятным является один: орел-решка. Следовательно, искомая вероятность равна 1 : 4 = 0,25. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 49. |