Компьютерные технологии и математическое моделирование. Компьютерные технологии и математическое
 Скачать 2.91 Mb.
|
|
1.4.1. Математическое моделирование Математическое моделирование представляет собой идеальное научное знаковое формальное моделирование, в процессе которого описание объекта осуществляется математическим языком, а исследование модели проводится посредством математических методов. В современном мире математическое моделирование является одним из самых эффективных и наиболее часто применяемым методом проведения научных исследований. По сути, все современные разделы физики сводятся к построению и изучению математических моделей разнообразных физических объектов и явлений. Значительные успехи в биологии и химии связывают с созданием и исследованием математических моделей биологических систем и химических процессов. 24 Активно внедряется использование математических моделей в сфере экологии, экономики и социологии. В настоящее время, в связи с пандемией коронавируса COVID-19 огромную роль играет использование математических моделей в медицине. Преимущества метода математического моделирования по сравнению с натурным: 1) экономичность (экономия ресурсов реальной системы); 2) метод позволяет судить о поведении таких систем и в таких условиях, которые невозможно реализовать в природе; 3) снижение времени, необходимого для исследования систем, что в свою очередь экономит материальные ресурсы; 4) большая прогностическая сила вследствие возможности выявления общих закономерностей; 5) универсальность технического и программного обеспечения проводимой работы (компьютеры, системы программирования и пакеты прикладных программ широкого назначения). 1.4.2. Этапы математического моделирования С помощью моделирования решается большое количество разноплановых задач, но, несмотря на все это разнообразие можно выделить ряд общих шагов, которые необходимо пройти для создания любой модели (рисунок 19). 25 Постановка задачи. Основополагающим действием на этом этапе является определение цели моделирования, а впоследствии определение входных данных (параметров) от которых зависит работоспособность объекта и выходных данных, получение которых необходимо в процессе моделирования. Ранжирование входных данных. В ходе этого этапа определяется важность входных параметров, а впоследствии их разделение на значимые (изменение которых будет существенно влиять на выходные данные) и второстепенные (изменение которых незначительно отражается на выходных данных). Выдвижение гипотезы. Данный этап предполагает выдвижение гипотез о свойствах, поведении, работе изучаемого объекта. Гипотеза – предположение, догадка или утверждение, базирующееся на небольшом объеме опытных данных и наблюдений. 1 • Постановка задачи 2 • Ранжирование входных данных 3 • Выдвижение гипотезы 4 • Построение математической модели 5 • Создание алгоритма для решения 6 • Разработка компьютерной программы 7 • Тестирование программы 8 • Изучение модели 9 • Проведение аналогии 10 • Анализ результатов и получение выводов 26 Дальнейшее, более детальное изучение модели подтверждает или опровергает выдвинутую гипотезу. Построение математической модели. На данном этапе определяется набор постоянных и переменных величин, которые описывают объект и его поведение. Разрабатываются формулы и алгоритмы, связывающие постоянные и переменные параметры. Создание алгоритма для решения. Так как для решения математической модели в большинстве случаев можно применить несколько алгоритмов, то на данном этапе выбирается только один, оптимально подходящий для решения задачи. Разработка компьютерной программы. Этап состоит в разработке компьютерной программы, на основе выбранного ранее алгоритма. Тестирование программы. На этом шаге, с целью обнаружения ошибок, тестируется разработанная ранее компьютерная программа Изучение модели. Этап характеризуется проведением с компьютерной моделью вычислительного эксперимента. Здесь делаются выводы о свойствах, строении, движении модели. Проведение аналогии. На основании выводов, сделанных на предыдущем этапе, по аналогии, делаются выводы о свойствах, строении, поведении объекта – оригинала. Анализ результатов и получение выводов. Это заключительный этап, на котором делается вывод о пригодности компьютерной модели. Если результаты моделирования подтвердили выдвинутую на третьем этапе гипотезу, то модель признается адекватной оригиналу, в противном случае – нет. 27 1.4.3. Способы исследования моделей Рисунок 20 1. Аналитический (теоретический) способ. Зачастую применение этого способа исследования используют при исследовании знаковых моделей. Например, имеется знаковая модель – химическая формула. Исследование этой модели заключается в составлении химических уравнений и дальнейшем их решении (рисунок 21). Рисунок 21 2. Экспериментальный способ. Эксперимент проводиться с целью проверки гипотезы или установления связи между явлениями. В отличие от наблюдения, эксперимент требует непосредственного взаимодействия с изучаемым объектом. Эксперимент лежит в основе эмпирического подхода к познанию и дает возможность отличить научную теорию от лженаучной. Способы исследования моделей Аналитический (теоретический) Экспериментальный 28 Эксперименты в свою очередь, подлежат делению на физические и компьютерные. Физический эксперимент – способ познания природы в специально созданных условиях (рисунок 21). Рисунок 21 Компьютерный эксперимент – способ проведения теоретического исследования математической модели с помощью компьютера, заключающийся в проведении вычислений одних параметров на основании других. 29 2. Использование парной регрессии и корреляция при прогнозировании 2.1. Выбор формы уравнения регрессии. Выборочное уравнение парной линейной регрессии Для качественного моделирования количество значений переменной или объем выборки должен быть в 5-7 раз больше количества факторов модели. В любой конкретной связи одни признаки выступают в качестве факторов, воздействующих на другие и обусловливающие их изменения, другие – в качестве результатов действия этих факторов. То есть, одни признаки представляют собой причину, другие – следствие. Признаки, характеризующие следствие, называются результативными (зависимыми, объясняемыми переменными y), признаки, характеризующие причины – факторными (независимыми, объясняющими переменными x). Виды зависимостей между признаками: Функциональная или жестко детерминированная – связь, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует точно определенное значение зависимой переменной y. Статистическая или стохастически детерминированная - связь, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует множество значений зависимой переменной y, причем неизвестно заранее, какое именно значение примет y. Частным случаем статистической связи является корреляционная связь. Это связь, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует математическое ожидание (среднее значение) зависимой переменной y. Корреляционная связь является «неполной» зависимостью, которая проявляется не в каждом отдельном случае, а только в средних величинах при большом числе случаев. 30 Корреляционные связи делят на однофакторные и многофакторные. Однофакторной называется связь между одним признаком фактором и результативным признаком (при абстрагировании влияния других). Многофакторная (множественная) связь – это связь между несколькими факторными признаками и результативным признаком (факторы действуют комплексно, то есть одновременно и взаимосвязанно). Корреляционная зависимость исследуется с помощью методов корреляционного и регрессионного анализа, который проводится поэтапно в определенной последовательности. Этапы проведения комплексного корреляционно-регрессионного анализа: 1. Предварительный анализ явлений и выявление причин возникновения взаимосвязей между признаками, характеризующими эти явления. 2. Разделение признаков на факторные и результативные, выбор наиболее существенных признаков для их исследования на предмет включения в корреляционно-регрессионные модели. 3. Построение матрицы коэффициентов парной корреляции и оценка возможных вариантов группировки признаков корреляционно- регрессионных моделей. 4. Предварительная оценка формы уравнения регрессии. 5. Решение уравнения регрессии, вычисление коэффициентов регрессии и их смысловая интерпретация. 6. Расчет теоретически ожидаемых (воспроизведенных по уравнению регрессии) значений результативного признака. 7. Определение и сравнительный анализ дисперсий: общей, факторной и остаточной; оценка тесноты связи между признаками, включенными в регрессионную модель. 31 8. Общая оценка качества модели, отсев несущественных (или включение дополнительных) факторов, построение модели, то есть повторение пунктов 1-7. 9. Статистическая оценка достоверности параметров уравнения регрессии, построение доверительных границ для теоретически ожидаемых по уравнению регрессии значений функции. 10. Практические выводы из анализа. Корреляционный анализ применяется тогда, когда данные наблюдений можно считать случайными и выбранными из генеральной совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону. Корреляционный анализ заключается в количественном определении тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи). Регрессионный анализ заключается в определении аналитической формы связи, в которой изменение результативного признака обусловлено влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на результативный признак, принимается за постоянные и средние значения. Основной предпосылкой регрессионного анализа является то, что только результативный признак подчиняется нормальному закону распределения, а факторные признаки – произвольному закону распределения. При этом в регрессионно-корреляционном анализе заранее подразумевается наличие причинно-следственных связей между результативным и факторными признаками. Уравнение регрессии представляет собой модель связи социально- экономических явлений и выражается функцией ̂ ( )в случае парной регрессии (характеризует связь между двумя признаками: факторным и результативным) или функцией ̂ ( ) , где k- число 32 факторных признаков, в случае множественной регрессии (характеризует связь между результативным признаком и двумя и более факторными признаками). Уравнение адекватно реальному моделируемому явлению или процессу в случае соблюдения требований его построения. Требования к построению уравнения регрессии: - совокупность исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями; - наличие достаточно большого объема исследуемой выборочной совокупности; - возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей; - причинно-следственные связи между явлениями и процессами, по возможности, следует описывать линейной (или приводимой к линейной) формой зависимости; - отсутствие количественных ограничений на параметры модели; - количественное выражение факторных признаков; - постоянство территориальной и временной структуры изучаемой совокупности. Устанавливая функциональные связи, обычно выполняют следующие задачи: построение регрессионной модели, то есть нахождение аналитического выражения связи; прогнозирование по регрессии; оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация и практическое использование. Приблизительное представление о линии связи можно получить на основе эмпирической линии регрессии. Эмпирическая линия обычно является ломаной линией, имеет более или менее значительный излом. Объясняется это тем, что влияние прочих неучтенных причин в средних погашается не полностью в силу недостаточно большого количества 33 наблюдений, поэтому для выбора и обоснования типа кривой эмпирической линией связи можно воспользоваться при условии, что число эмпирических данных будет достаточно велико. Одним из элементов конкретных исследований является сопоставление различных уравнений зависимости, основанное на использовании критериев качества аппроксимации эмпирических данных конкурирующими вариантами моделей. Наиболее часто для характеристики связей экономических явлений используют следующие типы функций: - линейную ̂ ; - гиперболическую ̂ ; - показательную ̂ ; - параболическую ̂ ; - степенную ̂ ; - логарифмическую ̂ Эмпирическая линия регрессии все же больше приближается к прямой, и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена прямой. Рассматриваются две переменные: X – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор), заданная n статистическими значениями: и Y – зависимая переменная (результативный фактор), заданная n статистическими значениями: Уравнение связи двух переменных Y и X называется парной регрессией. Линейная парная регрессия это уравнение вида ( ) ̂ ( ) – теоретические значения зависимой переменной, рассчитанные с помощью уравнения регрессии. 34 2.2. Метод наименьших квадратов, его суть и применение для расчета оценок коэффициентов уравнения регрессии Важной задачей является построение уравнения линейной регрессии по исходным числовым данным и оценка параметров (коэффициентов) регрессии и по методу наименьших квадратов (МНК). Основные предположения регрессионного анализа (предпосылки метода наименьших квадратов) 1. Величины являются случайными. 2. Математические ожидания возмущений равны нулю, т.е. ( ) . 3. Возмущения и некоррелированы, т.е. ( ) при . 4. Дисперсия возмущения постоянна для каждого : ( ) – условие гомоскедастичности. Нарушение этого условия называется гетероскедастичностью. 5. Величины взаимно независимы со значением объясняющих переменных. 6. Совместное распределение случайных величин является нормальным. МНК (метод наименьших квадратов) – метод оценки параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции ∑( ̂) Параметры и являются решением системы нормальных уравнений { ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 35 Можно использовать готовые формулы для нахождения и : ̅ ̅ ̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅̅ ̅ ( ) ( ) ̅̅̅ ̅ ̅ – выборочная ковариация, ∑ ( ̅) или ̅̅̅ ̅ ∑ ( ) ( ̅) – выборочная дисперсия переменной , ̅ ∑ ̅ ∑ – выборочные средние по переменным X и Y соответственно. Коэффициент называется коэффициентом регрессии у по х. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная у при увеличении переменной х на одну единицу. Коэффициент – значение у при х=0. Если признак-фактор Х не может иметь нулевого значения, то параметр не имеет экономического смысла. Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи между рассматриваемыми переменными, в качестве которого выступает линейный коэффициент корреляции , который можно рассчитать по формулам ̅̅̅ ̅ ̅ [ ] где √ ̅̅̅ ̅ √ ̅̅̅ ̅ – выборочные средние квадратические отклонения переменных Х и Y соответственно. Величина показывает на сколько величин изменится в среднем Y, когда Х увеличится на одно Теснота линейной связи между переменными может быть оценена на основании шкалы Чеддока: 36 Теснота связи Значение коэффициента корреляции при наличии: прямой связи обратной связи слабая 0,1-0,3 (-0,3)-(-0,1) умеренная 0,3-0,5 (-0,5)-(-0,3) заметная 0,5-0,7 (-0,7)-(-0,5) высокая 0,7-0,9 (-0,9)-(-0,7) весьма высокая 0,9-1 (-1)-(-0,9) Если , то между Х и Y строгая отрицательная связь, если , то между Х и Y строгая положительная связь, если , то между Х и Y линейная связь отсутствует. После нахождения уравнения регрессии встает вопрос о соответствии полученной математической модели (то есть самого уравнения), выражающей зависимость между переменными, экспериментальным данным. Для общего сведения о качестве модели используют коэффициент детерминации, а также среднюю ошибку аппроксимации. Коэффициент детерминации обозначается и равен он коэффициенту корреляции в квадрате, то есть Задача регрессионного анализа состоит в анализе дисперсии показателя y. Согласно основной идее дисперсионного анализа общая сумма квадратов отклонений равна сумме квадратов отклонений, объясненных регрессией и остаточной сумме квадратов: ∑ ( ̅) ∑ ( ̂ ̅) ∑ ( ̂) Общая сумма Сумма квадратов Остаточная сумма 37 квадратов отклонений отклонений, объясненная регрессией (факторная сумма квадратов) квадратов (характеризует влияние неучтенных факторов) TSS ESS RSS Схема дисперсионного анализа: Пусть - число наблюдений, – число коэффициентов, стоящих перед переменной хв уравнении регрессии (в случае линейной регрессии m=1, так как перед переменной х стоит один коэффициент b) Компон енты дисперсии Сумма квадратов Числ о степеней свободы Дисперсия на одну степень свободы общая ∑ ( ̅) ∑ (∑ ) ∑ ( ̅) факторн ая ∑ ( ̂ ̅) ∑ ( ̂ ̅) остаточ ная ∑ ( ̂) ∑ ∑ ( ̂) Для вычисления коэффициента детерминации можно использовать следующую формулу: ( ) ∑ ( ̂ ̅) ∑ ( ̅) 38 Коэффициент детерминации есть доля дисперсии, объясняемая регрессией, в общей доле дисперсии результативного признака. Величина характеризует долю дисперсии признака Y, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов. Свойства коэффициента детерминации: 1) 2) Чем ближе к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, т.е. эмпирические наблюдения ближе к линии выборочной регрессии. Если , то между x и y есть линейная функциональная зависимость, в этом случае все эмпирические точки наблюдений лежат на прямой регрессии. 3) Если , то регрессия ничего не дает, то есть в этом случае вариация зависимой переменной полностью обусловлена случайными воздействиями и линия выборочной регрессии параллельна осиОх. |