Компьютерные технологии и математическое моделирование. Компьютерные технологии и математическое
 Скачать 2.91 Mb.
|
|
Задача 3. Тело брошено под углом 60 градусов к горизонту, с начальной скоростью 20 метров в секунду. Определите максимальную высоту подъема тела,дальность полета тела ивремя продолжительности полета. Постройте траекторию движения тела y(x) и исследуйте как изменится траектория движения при начальных углах 30 и 45 градусов и той же начальной скорости. Определим максимальную высоту подъема тела, дальность полета тела и время продолжительности полета: 69 ( ) ( ) ( ) Для моделирования процесса полета тела разобьем время полета на временные интервалы ∆t = 0,01t max .Подготовьте таблицу по образцу (рисунок 30). Рисунок 30 Скопируйте введенную формулу в ячейки A3:A101.В столбце Bрассчитаем координату xв каждый момент времени t: ( ) Для этого в ячейку B1 введем формулу: =20*A1*COS(ПИ()/3) Формула приняла такой вид за счет вычисления угла в радианах, где ПИ радиан соответствуют 180 градусам. Скопируем формулу до ячейки B101. Конечное значение равно 35,3 – что совпадает с определением максимальной дальности полета. Зная координату xв каждый момент времени можно определить траекторию движения y(x). Для этого в ячейку C1вводим: =B1*TAN(ПИ()/3)-9,8*B1^2/(2*20^2*(COS(ПИ()/3))^2) 70 После копирования формулы через маркер заполнения выделите ячейки B1:C101 и постройте траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту. Приведите диаграмму к образцу (рисунок 31). Рисунок 31 Для определения траектории полета тела, брошенного под углом 45 градусов в ячейку D1введите: =20*A1*COS(ПИ()/4) И в ячейку E1: = D1*TAN(ПИ()/4)-9,8*D1^2/(2*20^2*(COS(ПИ()/4))^2) Сравните формулы траекторий движения при углах 60 и 45 градусов и самостоятельно постройте траекторию движения тела, брошенного под углом 30 градусов (рисунок 32). Анализируя полученные графики можно сделать вывод о том, что чем больше угол к горизонту – тем тело поднимается выше, а дальность полета, наоборот, уменьшается. 71 Рисунок 32 4.4. Модели развития популяции Рассмотрим модель неограниченного роста численности популяции, известной как модель Мальтуса. Данная модель связывает коэффициенты рождаемости η и смертности θ с численностью популяции N(t) в определенный момент времени. N(0) = N 0 – численность популяции в момент времени t =0. Зависимость численности популяции от времени задается следующей формулой: ( ) ( ) Следует отметить, что в случае если коэффициент рождаемости равен коэффициенту смертности, то N(t) = N 0 и численность во времени не изменяется. 72 Задача 4. Построить график зависимости численности популяции при коэффициенте рождаемости η = 1,34 и коэффициенте смертности θ = 1,24 за 30 лет. Сделайте вывод. На том же графике отобразите зависимость при других коэффициентах: η = 1,38 и коэффициенте смертности θ = 1,42. Исходные данные по численности популяции взять за 1000, временной интервал – 1 год. Заполните таблицу по образцу (рисунок 33). Рисунок 33 Зададим временные интервалы. Для этого в ячейку A5 введите время, в ячейку A6введите 0, в ячейку A7введите формулу: =A6+1. Используем маркер заполнения и копируем формулу в ячейки A8:A66. Рассчитаем численность для первого набора коэффициентов и построим график. В ячейку B5введите заголовок: «численность (1 вариант)». В ячейку B6вводим формулу для расчета численности популяции: =$D$2*EXP(($B$2-$C$2)*A6). Копируем формулу в ячейки B8:B36 (рисунок 34). 73 Рисунок 34 Рассчитаем численность для второго набора коэффициентов и построим график. В ячейку B5введите заголовок: «численность (2 вариант)». В ячейку С6вводим формулу для расчета численности популяции: =$D$2*EXP(($B$3-$C$3)*A6). Копируем формулу в ячейки С8:С36. Добавляем ячейки С8:С36на диаграмму и оформляем диаграмму в соответствии с образцом (рисунок 35). 74 Рисунок 35 Анализируя полученные зависимости, мы можем сделать вывод о том, что если коэффициент рождаемости больше коэффициента смертности, то мы наблюдаем экспоненциальный рост численности популяции. В случае, если коэффициент рождаемости меньше коэффициента смертности, то мы наблюдаем постепенное уменьшение численности до нуля. 4.5. Компьютерные модели систем массового обслуживания Система массового обслуживания – это некий объект, содержащий один или несколько каналов, обслуживающих заявки, поступающие в систему и накопитель. В накопителе находятся заявки, образующие 75 очередь и ожидающие обслуживание. На рисунке 36 приведена такая система. Рисунок 36 Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где деятельность обслуживания (среднее время обслуживания t об ) является случайной величиной и подчиняется показательному закону распределения (a – случайная величина) [2]: ( ) В данной формуле λ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени. Данный показатель можно определить из следующего соотношения: Логарифмируя соотношение показательного закона, можно получить более простое соотношение: Рассмотрим простую систему массового обслуживания: число каналов равноединице, время ожидания неограниченно, время между 76 заявками и времяобслуживания заявок являются случайными величинами с показательнымзаконом распределения (среднее значение времени обслуживания равно t об ,среднее время между заявками - t зав ). В качестве примера здесь можно рассмотреть работу одного окна в банке, где один специалист обслуживает одного человека. Простейшая схема такой системы приведена на рисунке 37. Человек берет талон с номером – ожидает, когда его пригласят к специалисту, далее работа со специалистом и после завершения операции человек покидает банк. Рисунок 37 [3] Задача 5. Поступает 10 заявок в систему. Среднее значение времени обслуживания равно 1 час,среднее время между заявками – 12 минут. Построить диаграмму заявок системы массового обслуживания с учетом времени ожидания и обслуживания заявок. Поскольку t об = 1, то и интенсивность потока обслуживания, как обратная величина, будет равна единице. Это приведет к тому, что время обслуживания каждой заявки Dи время между заявками Zможно рассчитать по следующим формулам (aи b– случайные числа): 77 Тогда для расчета времени ожидания каждой следующей (время ожидания первой заявки равно 0 минут) заявки P можно использовать формулу: Перейдем непосредственно к моделированию: подготовьте таблицу в соответствии с образцом (рисунок 38). Рисунок 38 Среднее время между заявками по условию задачи равно 12 минут, что составляет 1/5 часа или 0,2 часа (ячейка C2). В ячейку С5 введем вышеупомянутую формулу: =-$C$1*LN(СЛЧИС()) В ячейку D5 введем формулу: =-$C$2*LN(СЛЧИС()) Применим маркер заполнения и скопируем рассчитанные формулы (рисунок 39). 78 Рисунок 39 В ячейку E5 введем формулу: =B5+C5-D5 Сделаем ссылку на данную ячейку – в ячейку B6 введите =E5. Скопируйте формулу в столбцах Bи Eи заполните таблицу (рисунок 40). 79 Рисунок 40 Ваши расчеты будут отличаться, так как в формулах используется генератор случайных чисел СЛЧИС(). Время ожидания не может быть отрицательным, а это значит, что необходимо использовать условие ЕСЛИ: в случае, если время ожидания отрицательно – введите 0. Исправим формулу в ячейкеB6: =ЕСЛИ(E5>0;E5;0) Для создания диаграммы выберите диапазон ячеек A4:C14 и выберите тип диаграммы «Объемная линейчатая с накоплением» (рисунок 41). Рисунок 41 Оформите результат в соответствие с образцом (рисунок 42). 80 Рисунок 42 Далее, используя генератор случайных чисел, изменим диаграмму. Для этого достаточно 2 раза нажать по любой ячейке таблицы, например E5, и нажать Enter. Убедитесь, что результат изменился (рисунок 43). Рисунок 43 0 1 2 3 4 5 1 3 5 7 9 Время в часах Н о мер зая вки Результат моделирования системы массового обслуживания P - время ожидания D - время обслуживания 0 1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 Время в часах Н о мер зая вки Результат моделирования системы массового обслуживания P - время ожидания D - время обслуживания 81 Дополнительное задание.Выясните, как изменится процесс если среднее время между заявками увеличить до 20 минут? Уменьшить до 5 минут? Для ответа на данный вопрос необходимо изменить значение ячейки C2 на 1/3 (рисунок 44), и затем на 1/12 (рисунок 45) Рисунок 44 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Время в часах Н о мер зая вки Результат моделирования системы массового обслуживания P - время ожидания D - время обслуживания 82 Рисунок 45 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Время в часах Н о мер зая вки Результат моделирования системы массового обслуживания P - время ожидания D - время обслуживания 83 Заключение Моделирование применяется во всех сферах деятельности человека. Математическое моделирование и численный эксперимент – два дополняющих друг друга процесса: построение математических и физических процессов происходит, как правило, с использованием средств вычислительной техники, позволяющей осуществлять прогноз на действия модели в тех или иных условиях. В данном учебном пособии дано понятие модели, математического моделирования, дан основной математический аппарат, используемый при моделировании, описаны численные эксперименты различных физических и экономических процессов. Авторы полагают, что данное пособие будет полезно при подготовке специалистов по профилю образовательной программы «Деятельность подразделений экономической безопасности и противодействия коррупции, осуществляющих выявление, предупреждение, пресечение и раскрытие преступлений, совершаемых с использованием информационно- телекоммуникационных технологий». 84 Список использованных источников 1. Горностаева Т.Н., Горностаев О.М. Математическое и компьютерное моделирование: учеб. пособие. – М.: Мир науки, 2019. – Сетевое издание. Режим доступа: https://izd-mn.com/PDF/50MNNPU19.pdf (дата обращения 24.04.2022). 2. Солнышкина И.В. Теория систем массового обслуживания: учеб. пособие. – Комсомольск-на-Амуре: ФБГОУ ВПО «КнАГТУ», 2015. – 76 с. 3. Мицель А.А., Грибанова Е.Б. Имитационное моделирование экономических процессов в Excel:учеб. пособие. – Томск: Изд-во ТУСУР, 2019. –115 с. |