Компьютерные технологии и математическое моделирование. Компьютерные технологии и математическое

• Название: Компьютерные технологии и математическое
• Дата: 24.04.2023
• Размер: 2.91 Mb.
• Имя файла: Компьютерные технологии и математическое моделирование.pdf
• Тип: Учебно-практическое пособие; #1086176
• страница: 4 из 5

3.4. Примеры решения типовых задач по временным рядам
Пример 1.Пусть имеется следующий временной ряд:

54 10 25
:
9 3
2 1
:
t
y
t
Известно также, что
2552
;
3100
;
130 2
2 1








n
t
t
t
t
t
y
y
у
y
Определить для этого временного ряда значение коэффициента автокорреляции первого порядка.
Решение: Значение коэффициента определим по формуле:


















n
t
n
t
t
t
n
t
t
t
y
y
y
y
y
y
y
y
r
2 2
2 2
1 2
1 2
2 1
1 1
)
(
Распишем все компоненты этой формулы. Числитель преобразуем следующим путем:



































n
t
t
n
t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
t
t
t
n
t
t
y
y
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
2 2
1 2
2 1
2 1
1 2
2 1
2 1
1 1
2 1
2 1
1
Здесь
,
9

n
значения средних вычисляем по соответствующим формулам; при этом значения сумм рассчитываются с учетом крайних значений временного ряда:










n
t
n
t
n
t
t
y
y
y
1 2
1 120 10 130









n
t
t
n
t
t
y
y
y
1 1
2 105 25 130 15 8
120
;
125
,
13 8
105 2
1




y
y
Отсюда:



105 15 120 125
,
13 2552 2
2 1
1










n
t
t
t
y
y
y
y
+
977 15 125
,
13 8




55
Аналогично рассчитываем каждый член в знаменателе:








87
,
1096 125
,
13 8
105 125
,
13 2
25 3100 1
2 1
2 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 2
1 1
2 2
2 1







































y
n
y
y
y
y
y
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
n
t
n
t
t
t
n
t
n
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t








1200 15 8
120 15 2
10 3100 1
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
2 2












































y
n
y
y
y
y
y
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
n
t
n
t
t
n
t
n
t
n
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t
Результат определим по исходной расчетной формуле:
852
,
0 28
,
1147 977 1200 875
,
1096 977 1




r
Пример 2.На основе квартальных данных объемов продаж предприятия за 2015-2020 гг. была построена аддитивная модель временного ряда, трендовая компонента которой имеет вид:


,...
2
,
1 3
200




t
t
T
Показатели за 2019 г. приведены в таблице:
Квартал
Фактический объем продаж
Компонента аддитивной модели трендовая сезонная случайная
1 2
3 4
5 1
200
-11 2
15 5
3 250 32 4

56
Определить недостающие в таблице данные, учитывая что общий объем продаж за 2019 г. составил 1000 тыс. у.е.
Решение:В первую очередь определим все значения трендовой компоненты. Чтобы использовать имеющееся уравнение тренда, надо определить моменты времени, относящиеся к 2019 г. Поскольку модель относится к периоду 2015м – 2020 гг., т.е. охватывает 6 лет, квартальные временные отметки изменяются от 1 до 24. В этом случае 2019 г.
(предпоследний в исследуемом периоде) соответствует моментам времени
17, 18, 19 и 20.
Подставим в уравнение тренда, получим:
;
251 17 3
200 1




T
;
254 18 3
200 2




T
;
257 19 3
200 3




T
260 20 3
200 4




T
Далее недостающие величины для первого, второго и третьего кварталов вычисляем по балансу из уравнения для аддитивной модели временного ряда:
;
40
)
11
(
251 200 1
1 1
1









E
T
y
S
;
274 5
15 254 2
2 2
2







E
S
T
y
39 32 257 250 3
3 3
3








S
T
y
E
Осталось определить только величины для четвертого квартала, где известно только значение трендовой компоненты. В условиях задачи задан общий объем продаж за год. Поскольку известны продажи за три первых квартала, четвертый определяется легко:




276 250 274 200 1000 1000 3
2 1
4









у
у
у
у
Для расчета сезонной компоненты за 4 – й квартал воспользуемся тем, что в аддитивной модели сумма сезонных компонент за один период должны равняться нулю:

57




7 32 15 40 3
2 1
4










S
S
S
S
Последнее значение в таблице – случайную компоненту за 4 – й квартал – вычисляем по балансу из уравнения аддитивной модели, поскольку все остальные компоненты уже известны:
23 7
260 276 4
4 4
4







S
Т
у
Е
Квартал
Фактический объем продаж
Компонента аддитивной модели трендовая сезонная случайная
1 2
3 4
5 1
200 251
- 40
-11 2
274 254 15 5
3 250 257 32
- 39 4
276 260
- 7 23
Пример 3.На основе поквартальных данных за 9 последних лет была построена мультипликативная модель некоторого временного ряда.
Уравнение тренда в этой модели имеет вид:
1
,
0 8
,
10 1
t
T



Скорректированные значения сезонной компоненты равны: в 1–м квартале – 1,5; в 3–м квартале – 0,6; в 4–м квартале – 0,8.
Определить сезонную компоненту за 2 – й квартал и прогноз моделируемого показателя за 2 – й и 3 – й кварталы следующего года.
Решение:В мультипликативной модели сумма скорректированных сезонных компонент за один период должны равняться количеству этих коэффициентов, т.е. четырем. Отсюда находим недостающую сезонную компоненту за 2–й квартал:




1
,
1 8
,
0 6
,
0 5
,
1 4
4 4
3 1
2









S
S
S
S
Для прогнозирования по мультипликативной модели воспользуемся соотношением (2), в котором не будем учитывать случайную компоненту.

58
При этом следует иметь в виду, что 2–й и 3–й кварталы будущего года будут относиться в рамках рассматриваемой модели соответственно к 38–й и 39–й отметкам времени соответственно:


;
06
,
16 1
,
1 38 1
,
0 8
,
10
ˆ
38





у


82
,
8 6
,
0 39 1
,
0 8
,
10
ˆ
39





у
Пример 4.На основе помесячных данных за последние 5 лет была построена аддитивная временная модель потребления тепла в районе.
Скорректированные значения сезонной компоненты приведены в таблице
Январь
+ 27
Май
- 20
Сентябрь
- 10
Февраль
+ 22
Июнь
- 34
Октябрь
+ 12
Март
+ 15
Июль
- 42
Ноябрь
+20
Апрель
- 2
Август
- 18
Декабрь
?
Уравнение тренда выглядит так:
1
,
1 300
t
T



Определить значение сезонной компоненты за декабрь, а также точечный прогноз потребления тепла на 2–й квартал следующего года.
Решение:В аддитивной модели временного ряда сумма скорректированных сезонных компонент за один период, в данном случае за год, должна равняться нулю. Отсюда значение сезонной компоненты за декабрь:


30 20 12 10 18 42 34 20 2
15 22 27 12
)
12
(
,
1 12


















i
i
i
S
S
Прогноз потребления тепла рассчитывается по формуле для детерминированной составляющей ряда, в которой не учитывается случайная составляющая, поскольку она не прогнозируется. Здесь для расчета трендовой компоненты следует иметь в виду, что второму кварталу следующего года (апрель, май, июнь) соответствуют отметки времени 64, 65 и 66. Прогноз за весь второй квартал складывается из прогнозов за апрель, май и июнь.

59


;
4
,
368 2
64 1
,
1 300
)
(
ˆ





апрель
у


;
5
,
351 20 65 1
,
1 300
)
(
ˆ





май
у


;
6
,
338 34 66 1
,
1 300
)
(
ˆ





июнь
у
5
,
1058 6
,
338 5
,
351 4
,
368
)
2
(
ˆ





квартал
й
у
В случае рассматриваемого временного ряда для расчета отдельных составляющих, зависящих от того, как найдены выровненные данные, отражающие тенденцию, применяется подход исключения сезонности из данных. При этом подходе вначале производится выравнивание динамического ряда методом скользящих средних для выделения сезонных колебаний, а далее, исключив их, определяется тренд без сезонных колебаний.
Методика построения аддитивной модели при наличии тенденции:
1. Нахождение сглаженных уровней динамического ряда методом скользящих средних.
2. Оценка сезонной компоненты и ее корректировка.
3. Элиминирование сезонной компоненты из исходных данных временного ряда, то есть проводится десезонализация уровней динамического ряда.
4. Построение уравнения линейного тренда по уровням ряда с элиминированием сезонности.
5. Расчет выровненных значений трендовой составляющей.
6. Расчет теоретических уровней ряда с учетом сезонности.
7. Расчет случайной компоненты, позволяющей оценить далее качество построенной модели.

60
4. Компьютерное моделирование экономических и физических
процессов
Цель моделирования – получить математическое соотношение, связывающее исходные данные и результат. Целью же компьютерного моделирования является реализация данных математических соотношений с использованием средств вычислительной техники. Рассмотрим математические и компьютерные модели некоторых физических процессов [1].
4.1. Компьютерная модель свободного падения тела
Рассмотрим падение тела в среде без сопротивления. Все тела падают на Землю с одинаковымускорением. Это ускорениеназывают ускорением свободного падения и обозначают g≈ 9.8 м/с
2
. Движение тела – равноускоренное, это означает что скорость будет изменяться:
Данная формула позволяет вычислить скорость движения в любой момент времени.
Следующая формула позволяет вычислить высоту, на которой находиться тело в момент времени t:
( )
H – высота, с которой свободно падает тело.
Если приравнять h(t) = 0 можно определить время падения тела:
√
Задача 1. Определить время свободного падения тела с высоты 30 метров. Построить график зависимости h(t) – положения тела от времени.

61
Для определения времени свободного падения подставим H = 30 м в формулу:
√
( )
(
)
( )
Для того, чтобы смоделировать процесс падения тела и построить график разобьем время падения на 100 интервалов:
( )
Подготовьте таблицу в соответствии с образцом (рисунок 21):
Рисунок 21
В ячейке B2число 30 – результат работы формулы:
=30-9,8*(A2^2)/2.
В ячейку A3введем формулу:
=A2+$C$2.
Ссылка на ячейку C2 – абсолютная, так как к каждому следующему моменту времени t i
= t i-1
+ ∆t должен прибавляться один и тот же шаг.
Используя маркер заполнения скопируйте ячейку A3до ячейки A102 и ячейку B2 до ячейкиB102.
Выделите ячейки A2:B102 и вставьте точечную диаграмму (рисунок
22).

62
Рисунок 22
Оформите график в соответствии с образцом (рисунок 23).
Рисунок 23

63
Дополнительное задание. Постройте график зависимости скорости падения тела от времени для задачи 1. Для решения используйте формулу
V = gt. Сравните результат с образцом (рисунок 24).
Рисунок 24
4.2. Компьютерная модель колебаний маятника
Рассмотрим математическую модель колебаний пружинного маятника и на ее основе построим компьютерную модель. Представим, что в начальный момент времени груз массы m, соединен с пружиной жесткостью k и находится на расстоянии x
0
от начала отсчета (рисунок 25).
Рисунок 25[1]

64
Тогда смещение груза x(t) от положения равновесия в момент времени t, скорость движения груза V(t) и его ускорение a(t) можно определить по следующим формуле:
( )
(√
)
( )
√
(√
)
( )
(√
)
Следует отметить, что данные формулы будут справедливы для движения груза без учета сопротивления, а, следовательно, без затуханий.
Для определения периода колебаний Tичастоты колебаний f следует использовать формулы:
√
√
Задача 2. Определить период и частоту колебания груза массой 2900 грамм, прикрепленного к пружине, жесткостью 120 Н/м, находящегося на расстоянии 50 см от начала отсчета. Постройте графики смещения груза, изменения его скорости и ускорения.
Период и частоту колебаний следует определить из приведенных выше формул. Исходные данные: m = 2900 гр = 2,9 кг k= 120 Н/м x
0
= 50 см = 0,5 м

65
Произведем расчет:
√
√
√
√
Для построения графиков необходимо рассмотреть процесс колебаний в течении какого-то промежутка времени, например, в течение
10 секунд. Тогда определим ∆t = 10/100 = 0,1 c.
Подготовим расчетную таблицу (рисунок 26).
Рисунок 26
В ячейку A3введите формулу:
=A2+$E$2
Используя маркер заполнения скопируйте формулу в ячейки
A4:A102.
Введите формулу и скопируйте ее в ячейки B3:B102 ячейку
B2введите формулу:
=0,5*COS(КОРЕНЬ(120/2,9)*A2)
Выделите диапазон A2:B102 и постройте график изменения положения груза относительно начала координат. Оформите график в соответствии с образцом (рисунок 27).

66
Рисунок 27
Рассчитаем скорость груза в каждый момент времени. Для этого в ячейку C2 введем формулу расчета скорости:
=0,5*КОРЕНЬ(120/2,9)*COS(КОРЕНЬ(120/2,9)*A2+3,14/2)
В ячейку D2введем формулу ускорения:
=0,5*120/2,9*COS(КОРЕНЬ(120/2,9)*A2+3,14)
Используя маркер заполнения скопируйте полученные формулы для каждого отчета времени.
Постройте графики изменения скорости и ускорения за 10 секунд.
Результаты построения сверьте с образцами (рисунок 28 и рисунок 29).

67
Рисунок 28
Рисунок 29
В начальном положении пружина растянута и груз сдвинут на максимальное расстояние относительно начала отсчета. Расстояние x
0
– положительное число и движение груза начнется по направлению сжатия пружины. Поэтому, на графиках мы можем наблюдать отрицательную скорость и отрицательное ускорение.
-4
-3
-2
-1 0
1 2
3 4
0 2
4 6
8 10 12
V(
t)
- ско р
ость t - время в секундах
График изменения скорости во времени
-25
-20
-15
-10
-5 0
5 10 15 20 25 0
2 4
6 8
10 12
a(t
)
- уск о
р ен ие t - время в секундах
График изменения ускорения во времени

68
4.3. Компьютерная модель полета тела,
брошенного под углом к горизонту
Рассмотрим математическую модель полета тела, брошенного под углом к горизонту. Движение тела происходит по параболе.
Коэффициенты квадратного выражения, а также сами координаты можно определить из следующих уравнений:
( )
( )
( )
При рассмотрении модели полета тела, брошенного под углом к горизонту, следует рассчитать важные константы, зависящие от начальной скорости V
0
и начального углаα–максимальная высота подъема тела h max
, дальность полета тела S
max и время продолжительности полетаt max
: