Лекции. Лекции Сухорукова. Конспект лекций. Часть Кафедра теории электрической связи Разработчик кандидат технических наук

• Название: Конспект лекций. Часть Кафедра теории электрической связи Разработчик кандидат технических наук
• Анкор: Лекции
• Дата: 02.03.2021
• Размер: 1.09 Mb.
• Имя файла: Лекции Сухорукова .doc
• Тип: Конспект; #181182
• страница: 3 из 4

7.3.Статическая модуляционная характеристика

(СМХ).

СМХ –это зависимость амплитуды 1-ой гармоники выходного тока I₁ модулятора от напряжения смещения E при амплитуде вч несущей U_m=const и амплитуде нч модулирующего сигнала V_m = 0.


Расчет СМХ методом угла отсечки.

1.Аппроксимируем ВАХ отрезками прямых.

S<0;

i
E0 u Рис.7.8.

2. Определяем пределы изменения смещения E.

U_m – амплитуда несущей.

3. Задаёмся напряжением смещения Е^/.

4. Определяем угол отсечки:

5. Определяем амплитуду первой гармоники:

, где ₁()-коэффициент Берга (см. учебник[1])

6. Возвращаемся в пункт 3 и т.д.

Стандартный вид СМХ показан на рис. 7.9.

Рассмотрим выбор рабочего режима по СМХ.

I₁ I1


I1max

рт I10

I₁min
Emax Eрт Emin E t
Рис.7.9.

uнч

t

1. 
   Выбираем линейный участок (на глаз).
   
2. 
   Определяем Е_min , E_max , I_max , I_min .
   
3. 
   Выбираем рабочую точку в середине линейного участка Р.Т.(I₁₀;Е_{Р. Т.})
   
4. 
   Определяем максимальную амплитуду модулирующего сигнала для неискажённой модуляции:
   

5. 
   Определяем максимальную глубину амплитудной модуля-
   

ции для неискажённых АМ:


Рассмотрим спектры АМ сигналов при более сложных модулирующих сигналах.

Для простейшего случая , когда модулирующий сигнал представляет собой моногармоническое колебание, спектр модулирующего сигнала показан на рис.7.3 и спектр АМ сигнала на рис.7.4.

Пусть модулирующий сигнал содержит две частоты ₁ и ₂.

Если спектр модулирующего сигнала более сложный, то усложняется спектр АМ сигнала: он содержит спектр модулирующего сигнала, перенесённый на частоту , несущую частоту и зеркальное отражение спектра модулирующего сигнала относительно несущей.
Спектр модулирующего сигнала.
U

Рис.7.10.
₁ ₂ 

Спектр АМ сигнала.

u U_m
Рис.7.11.


₀-₁ ₀ ₀+₁ 

₀-2 ₀+2
В этом случае, ширина спектра АМ сигнала равна удвоенной максимальной модулирующей частоте :

Если спектр модулирующего сигнала будет сплошным в некоторой полосе частот:
U

Рис.7.12.
₁ ₂ 
то спектр АМ сигнала также будет иметь верхнюю и нижнюю боковые полосы частот , и тоже сплошные:
u U_m
Рис.7.13.


₀-₁ ₀ ₀+₁ 

₀-2 ₀+2
7.4. Энергетические показатели АМ.
Определим среднюю мощность АМ сигнала на сопротивление R за большой интервал времени:

Все слагаемые, содержащие после интегрирования и усреднения по времени уничтожаются, так что остаются два слагаемых:

(7.8)

1-ое слагаемое – мощность несущей, 2-ое слагаемое – мощность боковых.

При амплитудной модуляции мощность боковых, которые переносят полезную информацию даже при М_А=1 составляют, только 1/3 средней мощности передатчика. 2/3 мощности передатчика тратится на излучение несущей, которая не несёт информацию. Т.е АМ имеет плохие энергетические показатели. Поэтому используется более эффективные виды модуляции.
7.5. Балансная АМ (БАМ)

При БАМ не передают несущей частоты. Спектр БАМ при гармонической модуляции имеет вид:

u
Рис.7.14.

₀-₁ ₀ ₀+₁ 
7.6.Однополосная модуляция (ОМ)

Так как верхняя и нижняя боковые одинаковые, то можно передавать только одну боковую, однако, для детектирования сигнала ОМ на приеме необходимо точно восстановить несущую частоту, поэтому надо передавать кусочек несущей – ^“пилот-сигнал^” .Спектр сигнала ОМ имеет сдедующий вид при гармонической модуляции :

u пилот-сигнал
Рис.7.15.

₀- ₀ 

Преимущества ОМ:

1. 
   Вся мощность передатчика тратится на передачу информации.
   
2. 
   Ширина спектра ОМ равна : , т.е. в 2 раза меньше, чем ширина спектра АМ или БАМ .
   

Недостатки ОМ:

1.Усложнение схемы приемников, т.к. надо восстанавливать несущую.

2.Необходимо передавать пилот-сигнал.

Вопросы для самопроверки.

1.Запишите аналитическое выражение для АМ сигнала.

2.Нарисуйте временную диаграмму АМ сигнала при гармонической модуляции и при произвольном модулирующем сигнале.

3.Нарисуйте спектр АМ сигнала при гармонической модуляции и при произвольном спектре модулирующего сигнала.

4.Что такое глубина модуляции ?

5.Нарисуйте принципиальную схему амплитудного модулятора.

6. Рассчитайте спектр тока на выходе модулятора и спектр напряжения на контуре модулятора.

7. Что такое СМХ?

8. Каков порядок расчета СМХ методом угла отсечки и методом кратных дуг.

9.Каков порядок выбора рабочего участка по СМХ и порядок определения параметров выходного АМ сингнала?

9.Каковы энергетические показатели АМ?

11. 
    Что такое ОБП и ОМ и каковы их спектры?
    

8. 
   Детектирование (демодуляция) сигналов АМ.
   

8.1.Диодный детектор сигналов АМ

Детектор сигналов АМ предназначен для того, чтобы из ВЧ АМ сигнала получить НЧ модулирующий сигнал. Схема простейшего амплитудного диодного детектора показана на рис.8.1.
Д
^{ }
u_AM(t) R C uнч(t)

Рис.8.1.

^{ }

Назначение нелинейного элемента, диода – преобразование ВЧ АМ сигнала, его нелинейное преобразование с целью создания нужных нам низких, модулирующих частот.

Назначение линейной цепи, т.е. RC фильтра нижних частот (ФНЧ),

выделение низкой частоты, т.е. выделение спектра модулирующего сигнала.

Вольамперная характеристика ВАХ диода показана на рис. 8.2.

i


Рис. 8.2.
-A 0 A u

1. Для маленьких напряжений ВАХ диода хорошо аппроксимируется полиномом 2-ой степени (i=aU²), поэтому детектор для маленьких напряжений называется квадратичным. Рабочий участок ВАХ для квадратичного детектора А-А (рис.8.2).

2. Для больших напряжений ВАХ диода аппроксимируется отрезками прямых (линейно-ломанная аппроксимация).

Для сигналов с большой амплитудой детектор называется "линейным".

i

заданная ВАХ

аппроксимирующая ВАХ

^ Рис.8.3.

Б Б u
Рабочий участок Б-Б не линейный, а линейно-ломанный.
8.2.Квадратичный детектор.

Как мы уже говорили, в этом случае ВАХ диода аппроксимируется полиномом второй степени и, следовательно, для определения спектра тока через диод используется метод "кратных дуг". На вход детектора подаем амплитудно-модулированный сигнал, т.е. выражение для АМ сигнала надо подставить в полином:

i = aU² = / U_вх(t)= U_ам(t) = U_m(1+M_acos(t)cos(₀t) / =

=aU²_m(1+M_acos(t))²cos²(₀t)=aU²_m(1+2M_acos(t)+ = (8.1)


В соответствии с полученным выражением построим спектр тока через диод (см. рис.8.4):
i


Рис.8.4.
0  2 (2₀ - 2) 2₀ ( 2₀ +2) 

(2₀ - )

( 2₀ +)

Ф
НЧ выделяет низкочастотные составляющие тока, т.к. его АЧХ, показанная пунктиром на рисунке 8.4 имеет вид:

Следовательно, ФНЧ выделяет:

• 
  постоянную составляющую с частотой равной 0,
  
• 
  полезную составляющую с частотой модулирующего колебания  ,то есть: I_= aU_m² M_{А ,}
  
• 
  вторую гармонику полезного сигнала с частотой 2, I_2* = , которая определяет степень нелинейных искажений полезногосигнала.
  

Постоянная составляющая легко отделяется разделительной емкостью, которая включается между выходом детектора и входом следующего каскада (обычно, это УНЧ) .

При квадратичном детектировании кроме полезной составляющей с частотой  возникают нелинейные искажения полезного сигнала с частотой 2. Коэффициент нелинейных искажений равен:

К_н.ч.= (8.2)

Чем глубже, т.е. лучше модуляция, тем больше нелинейные искажения.
8.3. Линейный детектор.

Для сильных сигналов с большой амплитудой ВАХ диода аппроксимируется отрезками прямых (см. рис.8.3).

i = , где S=tg 

Метод анализа : метод «угла отсечки». Ток через диод имеет вид импульсов, которые мы можем представить в виде ряда Фурье. Таким образом, ток через диод может быть записан в виде:

i =

I_k=I_max (t)_k()=

(8.4)

Спектр тока через диод для режима "линейный детектор" показан на рис.8.5.
i

Рис.8.5.

……..



0  (₀-) ₀ (₀+) (2₀-) 2₀ (2₀ +)

Спектр тока содержит только полезную, модулирующую частоту  в низкочастотной области. При линейном детектировании отсутствуют нелинейные искажения полезного сигнала. ФНЧ отфильтровывает высокочастотные составляющие тока, ослабляет их в соответствии с сопротивлением RC цепи для разных частот:

(8.5)

Напряжения различных составляющих на выходе ФНЧ, соответственно , равны:

U₀₀ = SU_m(1+cos)₀()R - напряжение постоянной составляющей,

- напряжение низкой, модулирующей частоты,

- напряжение несущей частоты.
Cпектр напряжения на выходе RC-цепочки имеет вид:

u

Рис.8.6.

……..



0  (₀-) ₀ (₀+) (2₀-) 2₀ (2₀ +)

Сравнение спектров рис.8.5 и 8.6 показывает, что ФНЧ заметно ослабляет несущую частоту по сравнению с низкой частотой, т.е. улучшает качество детектирования.
8.4.Статическая характеристика детектора

(СХД)

Статическая характеристика детектора - зависимость постоянной составляющей тока диода I₀ от амплитуды входного ВЧ сигнала:

I₀ = f (U_m)

Получим выражение для СХД:

а) для слабых сигналов

i = aU_m² = ( U_вх= U_mcos₀t ) = aU_m²cos²₀t =

, следовательно

б) для сильных сигналов

I₀ = SU_m(1-cos)*₀() (8.6)
С ХД имеет вид параболы для малых амплитуд и прямой линии для больших амплитуд:

I₀


Рис.8.7.

0 U_m
Вопросы для самопроверки.

1. 
   Что такое квадратичный и линейный детектор?
   
2. 
   Порядок расчета тока на выходе квадратичного детектора.
   
3. 
   Порядок расчета тока на выходе линейного детектора.
   
4. 
   Рассчитайте амплитуду спектральных составляющих напряжения на выходе детектора.
   
5. 
   Нарисуйте принципиальную схему амплитудного детектора.
   
6. 
   Каково назначение линейной и нелинейной цепей в детекторе?
   
7. 
   Рассчитайте АЧХ фильтра нижних частот детектора.
   
8. 
   Запишите неравенство для выбора постоянной времени ФНЧ.
   

9.Частотная модуляция (ЧМ).

9.1.Временная и спектральная диаграммы сигнала ЧМ

При ЧМ частота ВЧ колебания (несущей) изменяется в соответствии с НЧ модулирующим сигналом.

_чм (t) = ₀ + U_нч(t), где (9.1)

_чм (t)- частота ЧМ сигнала;

₀- среднее значение несущей частоты;

U_нч(t)-модулирующий сигнал;

-девиация частоты, т.е. максимальное отклонение частоты от среднего значения.

Если модулирующий сигнал гармонический, т.е.

U_нч = cost,

то _чм(t) = ₀ + соst

а выражение для ЧМ сигнала имеет вид:

_чм(t) =

U_чм(t) = U_mcos(₀t+

M_ч - индекс ЧМ. (9.2)

U_чм(t) = U_mcos(₀t+
Временная диаграмма модулирующего сигнала имеет вид:

Uнч(t)
Рис.9.1.
t
Временная диаграмма соответствующего ЧМ сигнала принимает вид:

Uчм(t)
Рис.9.2
t
Как видно из рис.9.2, там, где модулирующий сигнал больше, там и частота ЧМ сигнала больше , а период колебаний меньше.

_чм(t) = ₀ + cost

_max = ₀ + 

_min = ₀ - 

Амплитуда при ЧМ постоянна, меняется только частота.

Для получения спектра ЧМ сигнала разложим U_чм(t) в ряд Фурье.

U_чм(t) = U_mcos(₀t+ = U_m₀(M_ч)cos₀t+ U_m₁(M_ч)cos(₀+)t- U_m₁(M_ч)cos(₀)t+U_m₂(M_ч)cos(₀+2)t+U_m₂(M_ч)cos(₀2)t+U_m₃(M_ч)*cos(₀+3)t- U_m₃(M_ч)cos(₀-3)t+

_k(M_ч) - функция Бесселя к-ого порядка.

Вид спектра зависит от М_ч.

Спектр ЧМ сигнала при М_ч<<1 (т.е. порядка 0,1; 0,05;)

u U_m несущая

нижняя M_чU_m M_чU_m верхняя

боковая 2 2 боковая
₀- ₀ ₀+ 

Рис.9.3.

При М_ч<<1 спектр ЧМ сигнала похож на спектр АМ сигнала (несущая, 2 боковых ), но для ЧМ этот спектр приближенный. Все остальные боковые тоже есть, но они очень малы.


Спектр ЧМ сигнала при М_ч>1 выглядит так (Мч=5):
U J₄(Mч) J₄(Mч)

)

J₃(Mч) J₁(Mч) J₁(Mч) J₃(Mч) Рис.9.4.

J₅(Mч) J₂(Mч) J₀(Mч) J₂(Mч) J₅(Mч)

J₆(Mч) J₆(Mч) 
₀-6 ₀-5 ₀-3 ₀- ₀ ₀+ ₀+3 ₀+5 ₀+6

₀-4 ₀-2 ₀+2 ₀+4
Полоса частот сигнала ЧМ.

П_чм  2(М_ч+1)

М_ч<<1 П_чм  2, ( как при АМ )

М_ч>>1 П_чм  2М_ч = 2 2

Ширина спектра при Мч>>1 не зависит от модулирующей частоты. Это широкополосный сигнал.

9.2. Формирование ЧМ сигнала.

ЧМ сигнал может быть получен с помощью частотного модулятора. Частотный модулятор состоит из автогенератора и элемента с помощью которого изменяется частота автогенерации.

Авто-генератор

Управляющий элемент

моду модулирующий

сигнал

Рис.9.5.

Автогенератор - генератор с самовозбуждением, т.е. усилитель, охваченный цепью положительной обратной связи ( колебания с выхода поступают на вход, поддерживая возникшие колебания).

Для LRC - генератора цепью обратной связи может быть катушка обратной связи.

Элементом, управляющим частотой генератора, в этом случае является варикап (емкость p-n перехода, которая зависит от приложенного напряжения).

Для RC - генератора цепью обратной связи является цепочка RС.

В качестве резистора R используются сопротивления транзисторов, зависящие от приложенного напряжения. Частота генерации RC генератора определяется выражением:


(9.3)
В соответствии с модулирующим НЧ сигналом меняется R, следовательно, меняется частота генерации генератора.
9.3.Статическая модуляционная характеристика (СМХ).

Основной характеристикой частотного модулятора является статическая модуляционная характеристика (СМХ).

Статической Модуляционной Характеристикой частотного модулятора называется зависимость частоты генерируемых колебаний от напряжения смещения Е:

_г = f(E)

Пусть нам известна зависимость сопротивления R в цепи обратной связи частотно-модулируемого генератора от напряжения смещения Е:
R
R' Рис.9.6.

E

E'

1. Задаемся каким-то смещением Е', по графику находим R'.

2. Определяем частоту генерации:

_г^/ =

3. 
   Задаемся смещением Е'', находим R'', находим _г^'', и т.д.
   

Стандартная СМХ для частотного модулятора имеет вид:
_г
_гmax

₀ Рис.9.7

_гmin
Emin Eрт Emax E
Выбор рабочего режима по СМХ.

1. 
   Выбираем на глаз линейный участок на СМХ.
   
2. 
   Определяем границы рабочего участка: _гmax, _гmin, Е_max, E_min.
   
3. 
   Выбираем рабочую точку в середине рабочего участка. Определяем ₀ и Е_р.т. для рабочей точки.
   
4. 
   Определяем максимальную амплитуду модулирующего (Н.Ч.) сигнала:
   

U_m 

5. 
   Определяем максимально-допустимую девиацию частоты:
   

6. 
   Определяем максимально допустимый индекс неискаженной ЧМ.
   

М_{ч max} =

М_{ч max} =

9.4. Детектирование сигналов ЧМ.

Назначение частотного детектора (ЧД) состоит в том, чтобы из ВЧ модулированного ЧМ сигнала получить НЧ модулирующий сигнал.

ЧД преобразует ЧМ сигнал в амплитудно - частотно модулированный (АЧМ), который детектируется с помощью амплитудного детектора. Наиболее распространенная схема ЧД - ЧД с расстроенными контурами. Его принципиальная схема имеет вид:
1.+(-)
1

uAМ(t) R C

Рис.9.8

2 R C


2. -(+)

Контура расстроены относительно средней частоты ЧМ сигнала ₀. Например: ₁₀, ₂<₀.

Если частота ЧМ сигнала больше ₀  _чм (t)  ₀ , то она ближе к ₁, чем к ₂, т.е. напряжение ( его амплитуда ) на верхнем контуре (на входе Д1) больше чем напряжение на выходе нижнего контура (на входе Д2). Напряжение в точке 1 будет больше чем в точке 2.

Если  _чм (t) < ₀ , т.е. ближе к ₂ то, так же рассуждая, получим, что напряжение в точке 2 будет больше чем в точке 1. Полярность напряжения на выходе U_нч(t) меняется на противоположную.

Основная характеристика - статическая характеристика детектора. Это зависимость постоянной составляющей тока в нагрузке детектора I₀ от частоты входного сигнала.

I₀ = () I₀ = (f)
Стандартный вид СХД следующий:

I₀
Imax
I 01

I00

min 0 max 

I02

Imin Рис.9.9
Расчет рабочего режима по СХД.

0. 
   Выбираем линейный участок.
   
1. 
   Определяем _max., _min , I_{max. ,}I_min.
   
2. 
   Выбираем рабочую точку в середине линейного участка характеристики.
   
3. 
   Определяем ₀ , I₀₀ 0.
   
4. 
   Определяем допустимую девиацию частоты _max = (_max - _min)/2.
   
5. 
   Определяем максимально допустимый индекс М_{ч макс} входного ЧМ сигнала для неискаженного детектирования М_{ч макс} = _max/, где  - модулирующая низкая частота.
   
6. 
   Рассчитаем амплитуды первых четырех гармоник и коэффициент нелинейных искажений полезного сигнала. Для расчета вводим обозначения:
   

Вопросы для самопроверки.

1. 
   Запишите аналитическое выражение для ЧМ сигнала.
   
2. 
   Что такое девиация частоты?
   
3. 
   Чему равен индекс ЧМ?
   
4. 
   Нарисуйте временную диаграмму ЧМ сигнала при гармонической модуляции.
   
5. 
   Нарисуйте спектр ЧМ сигнала для очень малых и больших значений индекса ЧМ.
   
6. 
   Нарисуйте принципиальную схему частотного модулятора.
   
7. 
   Что такое СМХ частотного модулятора?
   
8. 
   Каков порядок расчета СМХ.
   
9. 
   Выбор рабочего режима по СМХ.
   
10. 
    Нарисуйте принципиальную схему частотного детектора.
    
11. 
    Что такое СХД?
    

10.Фазовая модуляция (ФМ).

10.1.Сравнение ФМ и ЧМ

При ФМ фаза ВЧ несущего колебания изменяется в соответствии с НЧ модулирующим сигналом.

_ФМ(t) = ₀ + U_нч(t) = ₀ + М_фU_нч(t), где _ФМ(t)- фаза ФМ сигнала, ₀ - начальная фаза, М_ф - индекс фазовой модуляции. (10.1)

 = _макс - ₀ = ₀ - _мин - максимальное отклонение фазы сигнала от начального значения (девиация фазы).Для ФМ : = М_ф .

Фазомодулированный сигнал можно представить в виде:

U_фм (t) = U_m cos[₀t+₀+ М_ф U_нч(t)] = / U_нч(t) = cost/ = U_m cos[₀t+₀+ М_ф cost], где ₀t - текущая фаза. (10.2)

Временные и частотные параметры ФМ сигнала похожи, в первом приближении, на временные и частотные параметры ЧМ сигнала, однако имеется много различий. Наиболее ярко эти различия проявляются, если модулирующий сигнал - двоичный (1,0).

Модулирующий двоичный сигнал.

uнч(t)

1 0 1 0

0 Т 2Т 3Т 4Т t
Сигнал двоичной ЧМ.

U(t)

t

Сигнал двоичной ФМ

U(t)

t

Рис.10.1.
Ширина спектра сигнала ФМ равна:

П_ФМ  2( М_Ф +1) (10.3)

При М_Ф <<1 спектр ФМ сигнала напоминает спектр сигнала ЧМ и АМ.

Сигнал ФМ можно сформировать с помощью частотного модулятора. Но на входе частотного модулятора включают дифференцирующее устройство (при аналоговой модуляции ).Детектирование сигнала ФМ осуществляется с помощью частотного детектора, но на его выходе включают интегратор.

Структурная схема фазового модема имеет вид:.

Дифферен-цирующее устр.

Частот-ный мо-дулятор

Частот-ный детектор

Интегратор

Uнч (t) Uнч (t)

Рис.10.2

На выходе дифференцирующего устройства имеем:

U_диф(t) = (10.4)

Частотный модулятор изменяет частоту в соответствии с U_диф(t):

_чм(t) = ₀ + U_диф(t)

Фаза выходного сигнала

_вых(t) =

Фаза выходного сигнала меняется в соответствии с U_нч(t).

Частотный детектор реагирует на частоту, т.е. на выходе ЧД:

На выходе интегратора : U_{вых инт} = ₀t + U_нч(t)  U_нч(t)

10.2.Фазовый (синхронный ) детектор (ФД).

Синхронный детектор (фазовый детектор) позволяет осуществить высококачественное детектирование сигналов АМ, ЧМ и ФМ ; он обеспечивает наилучшее выделение сигнала на фоне помех. Структурная схема ФД имеет вид:


Синхрон-ный детек-тор

Uс(t)


Генератор опорного напряжения
Uоп(t)

Рис.10.2.

Сигнал (АМ, ЧМ, ФМ): Uс(t) = U_m (t)cos[₀t+_чм(t)+_фм(t)+₀]

Опорное напряжение: U_оп(t) = U_mcos(₀t+₀)

У синхронного детектора два входа. На первый вход подается модулированный сигнал, а на второй вход опорное напряжение. Частота опорного напряжения равна центральной частоте сигнала ₀ - (синхронность) , а фаза равна начальной фазе сигнала _{0 -} (синфазность).

Простейшая принципиальная схема ФД имеет вид:


Uс(t) R C

Рис.10.3.

R C
Uоп(t)
Напряжение на выходе СД равно интегралу от произведения сигнала на опорное напряжение:

Пусть на входе АМ сигнал:

U_c(t) = U_ам(t) = U(t)cos(₀t+₀)

=

U(t) - практически постоянно на интервале T = - получили модулирующий сигнал без искажений.

Вопросы для самопроверки.

1. 
   Запишите аналитическое выражение для сигнала ФМ.
   
2. 
   Дайте определение девиации фазы и индекса ФМ.
   
3. 
   Нарисуйте принципиальную схему синхронного детектора.
   
4. 
   Рассчитайте напряжение на выходе СД.
   

11. Случайные процессы.

11.1.Характеристики случайных процессов

Процессы, рассматриваемые в теории связи, могут быть детерминированными или случайными.

Детерминированные процессы - это процессы, течение которых во времени известно заранее и абсолютно точно.

Например, гармонический сигнал U(t) = U_mcos(₀t+₀), где U_m,, ₀, ₀ - заданы.

Это простейшая модель информационного сигнала, но она оказывается очень не точной для современных систем связи, дает большие погрешности в расчетах. Поэтому вводится новая модель, более сложная - случайные процессы (СП). Случайные процессы таковы, что их течение во времени заранее точно предсказать невозможно.

Пример СП - тепловой шум x(t).

Процесс случайный, т.к. мы не знаем его полностью. СП описывается своими реализациями, т.е. конкретными образцами.

Совокупность реализаций образует ансамбль (полная, но очень сложная характеристика СП).

Функция распределения вероятностей СП (ФРВ).

Функция распределения вероятностей обозначается F(x), характеризует вероятность того, что случайный процесс в некоторый момент времени t₁ принимает значение меньшее x₁ . Полное обозначение одномерной ФРВ

F(x₁ ,t₁ ) = P(x1 , t=t₁ )

Двумерная ФРВ.

F₂ (x₁ t₁ ,x₂t₂) = P (x1, t=t₁ ,x2;t=t₂)

Наиболее полная характеристика n- мерная ФРВ:

F_n (x₁t₁...x_nt_n) = P (x1;t1; ... xn;t=t_n)t
Функция плотности вероятностей случайного процесса ( ФПВ)

В простейшем случае одномерная ФПВ равна:

Одномерная ФПВ равна пределу отношения вероятности попадания случайного процесса в интервал от x₁ до х₁+х, при t= t₁, к х при х стремящемся к нулю.

Наиболее полной характеристикой является n - мерная ФПВ.

ФРВ и ФПВ связаны друг с другом . ФПВ - это первая производная ФРВ по х_1, Соответственно, ФРВ равна интегралу от - до х₁ от ФПВ:_.

: F(x₁t₁) =

Условие нормировки :

Числовые характеристики случайного процесса .

0. 
   Среднее значение ( математическое ожидание или первый начальный момент)
   

m₁ =x =

Физический смысл m₁ - это постоянная составляющая случайного процесса.

2.Второй начальный момент.

m₂ = x² =

Физический смысл m₂ - это полная средняя мощность случайного процесса на единичном сопротивлении.

3.Дисперсия ( второй центральный момент )

² = М₂ =

Физический смысл ² - это средняя мощность переменной составляющей случайного процесса на единичном сопротивлении.

Числовые характеристики связаны между собой:

² = m₂ - m₁²

Стационарность.

1. 
   Нестационарный случайный процесс - ФПВ и ФРВ зависят от начала отсчета времени.
   
2. 
   Стационарный в узком смысле - ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.
   
3. 
   Стационарный в широком смысле - одно- и двумерные ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.
   

Для стационарного случайного процесса m₁, m₂, ² - не зависят от времени.

Рассмотрим тепловой шум на выходе включенного усилителя:

x(t)
Рис.11.1.

t
нестационарный Стационарный
После включения усилитель прогревается и шум на его выходе - нестационарный. После "прогрева" шум будет стационарным процессом.
Эргодичность.
Случайный процесс называется эргодическим, если для него усреднение по времени одной реализации и усреднение по множеству реализаций дает один и тот же результат. Это свойство имеет большое значение на практике, т.к. усреднение по времени одной реализации технически реализовать проще, но оно не всегда дает истинный результат. Поэтому доказательство эргодичности процесса позволяет существенно упростить нахождение его характеристик.
11.2.Нормальный случайный процесс( гауссов процесс).
Процесс называется нормальным или гауссовым, если его одномерная ФПВ имеет вид:

Графики нормальной ФПВ построены на рис. 11.2.:

W(x)
₁ ₁ ₁

m₁<0 m₁=0 m₁>0 Рис.11.2.

₂>₁
m₁ - среднее значение случайного процесса . x

² - дисперсия случайного процесса .
Свойства нормального случайного процесса .

1. 
   W(x)  0
   
2. 
   Нормальная ФПВ симметрична относительно x = m₁
   
3. 
   W(x) - max при х = m₁
   
4. 
   Площадь под кривой W(x) равна 1.
   
5. 
   При изменении m₁ форма кривой не меняется, но кривая смещается вдоль оси х.
   
6. 
   Чем больше дисперсия ², тем кривая ниже и шире.
   
7. 
   С вероятностью близкой к 1 (Р0,997) мгновенные значения нормального случайного процесса лежат в пределах:
   

m₁ - 3 < x < m₁+3

W(x)

Рис.11.3.


3 3 x

Если известна дисперсия и m₁, то рабочий участок ВАХ должен иметь протяженность m₁3.

8. 
   ФРВ для нормального случайного процесса
   

= F( ) - табулированная функция (интеграл вероятности Лапласа)

F (0) = 0.5 F (-x) = 1- F(x)

F (3.9) = 0.99995 F (-) = 0; F() = 1.

ФРВ для нормального процесса имеет вид:

F ( x)

1
0.5 Рис.11.4.

0 m₁ x

11.3.ФПВ и ФРВ для гармонического колебания со случайной начальной фазой.

Рассмотрим случайный процесс в виде гармонического колебания со случайной начальной фазой:

X(t) = Asin ( wt +  )

 - случайная величина, равномерно распределенная на интервале  , т.е. ФПВ мгновенных значений фазы , показанная на рис.11.5 равна:

; |x|  

W()

1/2

Рис.11.5.

- 0  

Вычислим среднее значение :

Вычислим дисперсию:

ФПВ мгновенных значений x гармонического колебания со случайной фазой, изображенная на рис. 11.6, имеет вид:

W(x)


Рис.11.6.
-A 0 A x
Чем больше А, тем кривая ниже и шире. Заштрихованная площадь равна единице. Это площадь под кривой W(x) (условие нормировки)..

ФРВ мгновенных значений для гармонического колебания со случайной фазой:

X(t) = Asin ( wt +  )
F (x)

1
0.5

Рис.11.7.

-A 0 A x
11.4.ФПВ для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой.

Рассмотрим случайный процесс z(t), равный:

Z(t) = x(t) + Asin (wt+ )

где x(t) - нормальный случайный процесс;

Asin (wt+ ) - гармоническое колебание со случайной начальной фазой.

W(z) в этом случае находится сверткой.

Вид ФПВ, т.е. W(z) зависит от параметра:

W(z)
h²=0 h²=
h²= 6

Рис.10.8.

0 z
h² = 0 - нормальный случайный процесс (чистый шум).

h²   - одно гармоническое колебание.
11.5.Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса.

Случайный процесс y(t) = U_m(t) cos ( ₀t+(t) ) называется узкополосным, если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота ₀.

U_m(t) - огибающая случайного процесса (случайная амплитуда) на рис.11.9;

(t) - фаза случайного процесса.

Для нормального случайного процесса фаза (t) распределена равномерно (см. выше).

u(t) Um(t)
Рис.11.9.
t


Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по закону Релея:

; U_m  0

W(Um)
з-н Релея

з-н Райса Рис.11.10.

0 Um
Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса):

закон Райса.

I₀(.) - функция Бесселя от мнимого аргумента.
11.6.ФПВ и ФРВ для дискретных случайных процессов.
Дискретные случайные процессы принимают с определенной вероятностью значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину. Вероятность таких значений – число не равное 0.

Рассмотрим реализацию дискретного случайного процесса.
x(t)

а

T₁

Т ₂ t Рис.11.11

b

T₁+T₂=T

Для эргодического стационарного случайного процесса усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной реализации.

T₁/T- вероятность того, что случайный процесс принимает

значение а.

T₂/T - вероятность того, что случайный процесс принимает

значение b.

Ф
ПВ заданного случайного процесса в соответствии с полученным выражением показана на рис.11.12:


W(x)
Рис.11.12.

b 0 a x