Курс. Конспект лекций Медведева Роднищев ИТОЭД Модуль 1. Конспект лекций Казань 2017 2 Модуль Компьютерные технологии первичной

• Название: Конспект лекций Казань 2017 2 Модуль Компьютерные технологии первичной
• Дата: 10.01.2023
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: Конспект лекций Медведева Роднищев ИТОЭД Модуль 1.pdf
• Тип: Конспект; #879686

Министерство образования и науки Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА
Кафедра прикладной математики и информатики им. Ю.В. Кожевникова
Н.Е. РОДНИЩЕВ, С.Н. МЕДВЕДЕВА
Информационные технологии обработки экспериментальных данных
Конспект лекций
Казань 2017

2
Модуль 1.
Компьютерные технологии первичной
обработки статистической информации
Тема 1.2. Описательная (дескриптивная) статистика
Основные понятия математической статистики
Математическая статистика занимается статистическим анализом результатов опытов или наблюдений, а также построением и проверкой подходящих математических моделей процессов и систем на основе результатов экспериментов.
Статистический анализ и построение вероятностных моделей процессов и систем основаны на том, что измеряемые в процессе опыта или наблюдений физические (или иного смысла) величины X , характеризующие исследуемый процесс или систему, при повторении опытов подвержены некоторому неконтролируемому разбросу
n
x
x
x
,...,
,
2 1
. Этот разброс обусловлен главным образом действием случайных неучтенных факторов и ошибками измерений. Поэтому величина X рассматривается как одномерная случайная величина, а результаты измерения
n
x
x
x
,...,
,
2 1
этой величины, называемые в математической статистике ее основными признаками, –как эмпирическая реализация этого математического понятия.
Совокупность всех мыслимых значений, которые может принимать величина X при данном реальном комплексе условий, называют генеральной
совокупностью. Распределение признака X в генеральной совокупности совпадает с теоретическим распределением вероятностной величины X.
Последнее называется распределением генеральной совокупности, а его параметры – параметрами генеральной совокупности.

3
Генеральная совокупность может быть конечной (всего N мыслимых наблюдений) и бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность всех мыслимых значений.
Выборка из данной генеральной совокупности – это результаты ограниченного ряда наблюдений
n
x
x
x
,...,
,
2 1
значений случайной величины
X.
Таким образом, выборку можно рассматривать как некий эмпирический аналог генеральной совокупности. На практике при исследованиях мы чаще всего имеем дело с выборками, поскольку обследование всей генеральной совокупности бывает слишком трудоемко (когда n – достаточно большое число), либо принципиально невозможно (в случае бесконечных генеральных совокупностей).
Число n наблюдений, образующих выборку, называют объемом
выборки.
Разность между наибольшим и наименьшим значениями
i
x
)
,...,
1
(
n
i

из выборки называется размахом выборки.
Каждая выборка
n
x
x
x
,...,
,
2 1
значений X представляет собой, вообще говоря, случайную выборку из теоретически бесконечной генеральной
совокупности. Поэтому выборочные значения
n
x
x
x
,...,
,
2 1
признака X рассматривают также как реализации независимых случайных величин
n
X
X
X
,...,
,
2 1
, распределение признаков которых
)
,...,
1
(
n
i
X
i

в генеральной совокупности совпадает с теоретическим распределением вероятностной величины X. В этом случае
n
X
X
X
,...,
,
2 1
представляют собой взаимно
независимые случайные величины с одинаковой плотностью распределения
p(x) случайной величины X. К основным задачам математической статистики относятся:

определение закона распределения основного признака (наблюдаемой случайной величины);

4

нахождение оценок неизвестных параметров распределений и оценок числовых характеристик случайной величины;

проверка правдоподобия статистических гипотез;

оптимальная организация и проведение экспериментов и оптимальная обработка результатов экспериментов.
Статистическое распределение выборки
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объемом
n = 20 . Наблюдаемые значения
i
x
называют вариантами, а последовательность значений (вариант), записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений
i
n
называют
частотами, а их отношения к объему выборки
i
n
/n =
*
i
p
– относительными
частотами.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант
i
x и соответствующих им частот
i
n
i
x
2 6
12
i
n
3 10 7 или относительных частот
*
i
p
i
x
2 6
12
i
p
3/20 10/20 7/20
При больших объемах выборки n статистическое распределение выборки становится недостаточно наглядным. В этом случае статистические данные представляются в виде интервального вариационного ряда, который носит также название статистического ряда.
Для построения статистического ряда размах выборки разбивается на
r конечных (или бесконечных) подходящим образом выбранных интервалов

5
j
j
i
j
j
X
X
x
X
X






5
,
0 5
,
0
, длины которых (размахи) соответственно
j
j
X
h


, а середины интервалов
j
X , где j=1,...,r.
Количество интервалов выбирается в основном из практических соображений. В частности, рекомендуется, чтобы значение r было не менее 5
– 10 и более 20 – 25. В каждом интервале должно быть не менее 10 значений.
В том случае, если полученные из опыта данные группируются вокруг некоторых значений, то желательно, чтобы эти значения не находились вблизи узлов разбиения интервалов. Затем подсчитываются число значений выборки
j
n , попавших в интервал j, и относительная частота
*
j
p
значений, попавших в этот интервал.
Если данные попадают на границы интервалов, то их либо распределяют равномерно по двум соседним интервалам, либо относят только к одному из них (например, к левому). Выбор количества интервалов существенно зависит от объема выборки. Существуют также рекомендации по использованию формулы Старджеса
1
ln
32
,
3 1
log
2




n
n
m
или других формул:
n
m
lg
5

,
n
m

Все эти формулы следует рассматривать как нижнюю оценку m. Так как длина интервала
j
h может быть большой, а количество численных значений
j
n , попавших в него, сравнительно малым, то для сопоставления групп друг с другом вычисляется также величина
*
j
p
=
*
j
p
/
j
X

, называемая плотностью относительной частоты.
Полученные результаты сводятся в таблицу вида.
№ интервала
1 2
…….
j
…….
r
Длина интервала
∆
j
X
∆
1
X
∆
2
X
…….
∆
j
X
…….
∆
r
X
Частота
j
n
1
n
2
n
…….
j
n
…….
r
n
Относительная. частота
*
j
p
*
1
p
*
2
p
…….
*
j
p
…….
*
r
p

6
Плотность относитель–
ной частоты
*
j
p
*
1
p
*
2
p
…….
*
j
p
…….
*
r
p
Для большей наглядности статистический ряд оформляют в виде
полигона частот или гистограммы.
Лекция 2
Полигон частот и гистограмма
Полигоном частот называют ломаную линию (рис.19.1), отрезки ко- торой соединяют точки (
1
x
,
1
n
),(
2
x
,
2
n
),…,(
n
x
,
n
n
). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты
i
x
, а по оси ординат – соответствующие им частоты
i
n
. Точки
i
x
,
i
n
соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Полигоном
относительных
частот называют ломаную (рис.19.2), отрезки которой соединяют точки (
1
x
,
*
1
p
),(
2
x
,
*
2
p
),…,(
n
x
,
*
n
p
).
Гистограммой
частот называют ступенчатую фигуру (рис.19.3), состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною
j
j
X
h


, представленные в таблице вида
№ интервала
1 2
3
Границы интервала
0 – 4 4 – 8 8 – 14
Длина интервала
j
h
4 4
6
Частота
j
n
3 10 7
x
i
n
0
Рис.19.1 3
7 2
6 12 0.50
x
*
i
p
0
Рис.
19.2 0.15 0.35 2
6 12

7
Плотность частоты
j
j
h
n /
0,75 2,50 1,16
Плотность относительной частоты
j
j
h
p /
*
0,037 0,125 0,058 а высоты равны отношению
j
j
h
n /
(плотность частоты). Площадь j-го прямоугольника равна
j
h
j
j
h
n /
=
j
n – сумме частот j-го интервала.
Следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот,
т.е. объему выборки n .
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру
(рис.19.4), состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною
j
j
X
h


, а высоты равны отношению
j
j
h
p /
*
(плотность относительной частоты). Площадь j-го частичного прямоугольника равна
j
h
j
j
h
p /
*
=
*
j
p
– сумме относительных частот j-го интервала.
Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна
сумме всех относительных частот, т.е. единице.
Эмпирическая функция распределения
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию
)
(
*
x
F
, определяющую для каждого значения x относительную частоту события X < x , т.е.
n
n
x
F
x
/
)
(
*

,где
x
n
– число вариант (значений), меньших x; n – объем выборки.
2.50 0.75 1.16
x
j
j
h
n /
0
Рис 19.3 4
8 14 0.125 0
0.037 0.058
x
j
j
h
p /
*
0
Рис.19.4 4
8 14

8
Таким образом, для того чтобы найти, например
)
(
2
*
x
F
, надо число вариант, меньших
2
x
, разделить на объем выборки
n
n
x
F
x
/
)
(
2
*

Из теоремы Бернулли следует, что при неограниченном увеличении n относительная частота события X < x , т.е.
)
(
2
*
x
F
стремится по вероятности к F(x) этого события, так как
1
}
|
|
{
lim
*






p
p
P
n
Отсюда следует целесообразность использования эмпирической
(статистической) функции распределения выборки для приближенной оценки
(представления) теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.
Это подтверждается тем, что
)
(
*
x
F
обладает всеми свойствами F(x):
- значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1];
-
)
(
*
x
F
– неубывающая функция;
- если
1
x
– наименьшая варианта, то
)
(
*
x
F
= 0 при x <
1
x
;
- если
k
x – наибольшая варианта, то
)
(
*
x
F
= 1 при x ≥
k
x .
Пример: Построить
)
(
*
x
F
по данному распределению
Варианты
i
x
2 6
12
Частоты
i
n
3 10 7
Решение. Определим объем выборки n = 3+10+7=20. Наименьшая варианта равна 2, следовательно,
)
(
*
x
F
= 0 при x < 2 . Значение X < 6, а именно, x = 2, наблюдалось 3 раза, следовательно
)
(
*
x
F
= 3/20 = 0,15 при значениях 2 ≤ x < 6. Значения X < 12, а именно, x = 2 и x = 6 , наблюдались 3 +
10 = 13 раз, следовательно,
)
(
*
x
F
= 13/20 = 0,65

9 при 6 ≤ x < 12. Наибольшая варианта равна 12, следовательно,
)
(
*
x
F
= 1 при x ≥ 12.
Таким образом:













12 1
12 6
65
,
0 6
2 15
,
0 2
0
)
(
*
x
при
x
при
x
при
x
при
x
F
и функция распределения имеет вид рис.19.5.
С увеличением объема выборки и количества интервалов, содержащих в пределе одну реализацию случайной величины, гистограмма приближается к плотности распределения исследуемой случайной величины.
Следует отметить, что полигон частот является статистическим аналогом ряда распределения случайной величины, а гистограмма –
статистическим аналогом плотности распределения.
0 2
6 12
x
)
(
*
x
F
1,00
Рис.19.5 0,65 0,15

10
Тема 1.2 Выборочные статистики и интервальные оценки
Точечные оценки параметров распределений
Задача статистической оценки параметров распределения формулируется следующим образом.
Требуется на основе однородных независимых опытов и полученной случайной выборки значений
n
x
x
x
,...,
,
2 1
случайных величин
n
X
X
X
,...,
,
2 1
, представляющих собой признаки случайной величины X, найти оценки
a
параметров а распределения случайной величины X :
a
=
a
(
n
x
x
x
,...,
,
2 1
), которые в этом смысле представляют собой реализации некоторых
выборочных функций случайной величины
)
,...,
1
(
n
i
X
i

, распределенных по одному и тому же закону, совпадающему с законом распределения случайной величины X .
Поскольку элементы выборки являются случайными величинами, то и оценки
a
(параметров а) являются также случайными величинами. Для того, чтобы статистические оценки были объективными и давали "хорошие" приближения оцениваемых параметров, они должны быть состоятельными,
несмещенными и эффективными.
Оценка
a
=
n
a называется состоятельной, если ее значение при


n
с вероятностью единица сходится к истинному значению параметра, т.е. а.
1
}
|
|
{
lim






n
n
a
a
P
Состоятельность оценки означает, что при достаточно большом объеме выборки отклонение оценки
a
от истинного значения параметра а с большой достоверностью меньше заданной величины

. Состоятельность является лишь асимптотической характеристикой оценки при


n

11
Оценка называется несмещенной, если M[
a
] = а.
Несмещенность оценки означает, что для всех n математическое ожидание оценки
a
должно быть равно оцениваемому параметру а. Если это не удовлетворяется, то оценка называется смещенной.
Оценка
a
называется эффективной, если среди всех других возможных оценок она обладает наименьшей дисперсией, т.е.
D[
a
] = min M{(
a
– M[
a
] )
2
}.
Оценка
a
называется достаточной статистикой, если вся полученная из выборки информация относительно параметра а содержится в
a
Оценка математического ожидания случайной величины
Пусть имеется n однородных (равноточных и независимых) измерений
n
x
x
x
,...,
,
2 1
случайной выборки
n
X
X
X
,...,
,
2 1
. Тогда оценка




n
i
i
x
x
n
m
x
1 1
называется статистическим (выборочным) средним.
Поскольку
n
X
X
X
,...,
,
2 1
являются признаком случайной величины X , то
M[
i
x
] =
x
m
, D[
i
x
] =
2


x
D
Рассмотрим некоторые характеристики оценки математического ожидания. Согласно теореме Чебышева
1 1
lim
1
















n
i
x
i
n
m
x
n
P
, т.е. оценка
x
m
является состоятельной.
Определим математическое ожидание выборочного среднего:
x
x
n
i
i
n
i
i
x
m
m
n
n
x
M
n
x
n
M
m
M
















1 1
1
]
[
1 1
]
[
Следовательно, оценка
x
m
является несмещенной.
Найдем дисперсию оценки
x
m
:

12
n
D
D
n
n
x
D
n
x
n
D
m
D
x
n
i
x
i
n
i
i
x
















1 2
2 1
1
]
[
1 1
]
[
Таким образом, дисперсия оценки
x
m в n раз меньше дисперсии случайной величины X, с ростом выборки при


n
дисперсия
]
[
x
m
D
среднего неограниченно убывает и является асимптотически эффективной.
Оценка дисперсии наблюдаемой случайной величины
Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг среднего значения
x
m
, вводят сводную характеристику
2
S
– выборочную дисперсию.
В том случае, если известно
x
m
генеральной совокупности, то в качестве оценки дисперсии принимают выборочную дисперсию
2
S
, вычисляемую по формуле
2
S
=
2 1
)
(
1
x
n
i
i
m
x
n



Преобразуем это выражение к виду
2
S
=
n
m
x
n
m
x
n
n
i
x
i
x
n
i
i
2 2
1 2
2 1
)
(
1









 






χ
2
, где χ
2
– величина «хи-квадрат» с n степенями свободы с математическим ожиданием М(χ
2
) = n и дисперсией D(χ
2
) = 2n.
Найдем теперь математическое ожидание выборочной дисперсии:
М[
2
S
] =
 
n
M
n
n
M
2 2
2 2
2















n =
x
D

2

Отсюда следует, что выборочная дисперсия
2
S
является несмещенной оценкой.
Найдем дисперсию оценки
2
S
:

13
D[
2
S ] =
 
n
n
D
n
n
D
2 2
4 2
2 4
2 2













=
n
4 2

При


n
дисперсия оценки D[
2
S
]=
n
4 2

→ 0. Таким образом, оценка дисперсии
2
S
является асимптотически эффективной.
В том случае, если
x
m
неизвестно, то в качестве оценки дисперсии принимают выборочную дисперсию, которая вычисляется по формуле
2
S =
2 1
)
(
1 1
x
n
i
i
m
x
n




и называется исправленной дисперсией.
Эта оценка является несмещенной. Для доказательства этого утверждения преобразуем оценку дисперсии
2
S
к виду:
2
S
=
1 1
)
(
1 1
2 2
1 2
2 1







 








n
m
x
n
m
x
n
n
i
x
i
x
n
i
i



χ
2
, где χ
2
– величина «хи-квадрат» с n – 1 степенями свободы, математическим ожиданием М(χ
2
) = n – 1 и дисперсией D(χ
2
) = 2(n – 1). Это обусловлено тем, что между случайными величинами
x
i
m
x

существует одна линейная связь, определяющая
x
m
Поэтому в данном случае сумма квадратов связана не с n , а с n – 1 степенями свободы. Тогда
М[
2
S
] =
 
)
1
(
1 1
1 2
2 2
2 2












n
n
M
n
n
M





=
x
D

2

Исправленная дисперсия является также асимптотически эффективной оценкой, так как
D[
2
S
] =
 
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
1 2
4 2
2 4
2 2












n
n
D
n
n
D





=
1 2
4

n

Отметим, что оценка дисперсии
2
S
удовлетворяет также условиям
состоятельности. Однако доказательство этого утверждения выходит за рамки курса, поэтому мы его опускаем.

14
При большом объеме выборки n практически безразлично, по какой формуле вычислять оценку дисперсии
2
S . Однако при малых выборках следует пользоваться формулой для исправленной дисперсии.
Оценка вероятности случайного события
Оценим вероятность появления события А в n опытах: P(A) = p.
В качестве оценки рассмотрим частоту событий
n
m
p
/
*
*

, где
*
m
– число опытов (случайная величина), в которых наблюдалось событие А , а n – общее число опытов.
Из теоремы Бернулли, согласно которой
1
}
|
|
{
lim
*






p
p
P
n
, следует, что оценка вероятности случайного события
*
p
является
состоятельной.
Определим математическое ожидание и дисперсию оценки
*
p
.Так как
*
m
– случайная величина, распределенная по биномиальному закону с математическим ожиданием
np
m
M

)
(
*
и дисперсией
npq
m
D

)
(
*
,то
p
n
np
m
M
n
n
m
M
p
M










)
(
1
)
(
*
*
*
,
n
pq
n
npq
m
D
n
n
m
D
p
D










2
*
2
*
*
)
(
1
)
(
Таким образом, оценка вероятности случайного события
*
p
является также несмещенной и асимптотически эффективной.

15
Интервальное оценивание параметров распределений
случайных величин
Построение интервальных оценок параметров распределений
Полученная точечная оценка
a
=
a
(
n
x
x
x
,...,
,
2 1
) параметра а (даже если она является несмещенной и эффективной) не позволяет судить о том, как точно найденная оценка воспроизводит истинное значение параметра а.
Так как оценка
a
является случайной величиной, то невозможно также точно определить и величину разности а –
a
, характеризующую отклонение оценки
a
параметра от его истинного значения а.
Однако, поскольку разность а –
a
представляет собой случайную величину, то с точки зрения теории вероятностей можно найти некоторую область реализации оценки
a
, которая с вероятностью, близкой к единице,



1
P
(требуемой степенью надежности) содержит истинное значение параметра а. Эту область можно определить соотношением






1
}
|
|
{
2
/
t
a
a
P
, где величина
2
/

t
говорит о том, что вероятность того, что абсолютная величина
|
|
a
a

превысит
2
/

t
, равна

. В зависимости от решаемых задач величина

полагается равной 0,05, 0,01, 0,001. Иногда ее выражают в процентах и называют процентным уровнем значимости.
Заменим неравенство
2
/
|
|

t
a
a


равносильным ему двойным неравенством
2
/
2
/
|
|


t
a
a
t



или
2
/
2
/


t
a
a
t
a




, тогда









1
}
{
2
/
2
/
t
a
a
t
a
P
Положительная величина
2
/

t
характеризует точность оценки
a
, вероятность



1
P
– надежность, а интервал
2
/
2
/


t
a
a
t
a




, который покрывает неизвестный параметр а с заданной надежностью , называют доверительным интервалом.

16
Построение доверительного интервала для математического ожидания
случайной величины при известной дисперсии
Рассмотрим оценку
x
математического ожидания
x
m
нормально распределенной случайной величины Х с известной дисперсией
2

:



n
i
i
x
n
x
1 1
Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то выборочное среднее
x
(согласно центральной предельной теореме) будет также распределено по нормальному закону с математическим ожиданием
x
m
x
M

)
(
и дисперсией
2
)
(


x
D
/n :











n
x
m
n
x
p
x
2 2
2 2
)
(
exp
2 1
)
(



Введем случайную величину
n
x
m
t
x
/



, которая имеет нормированное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тогда вероятность



1
P
того, что случайная величина t (рис. 23.1) не отклонится от своего математического ожидания на величину, больше чем
2
/

t
находится по формуле




















1
)
(
)
(
2 1
)
(
2
/
*
2
/
*
2 2
/
2
/
2
/
2
/
2
t
Ф
t
Ф
dt
е
t
t
t
P
t
t
t
Принимая во внимание, что функция распределения
)
(
*
t
Ф
связана с функцией Лапласа Ф(t) соотношениями (рис. 10.1):
Ф(t) = 0,5 +
)
(
*
t
Ф
, Ф (– t) = 0,5 – Ф(t), получим










1
)
(
2
)
(
2
/
2
/
2
/
t
Ф
t
t
t
P
0 t p(t)
Рис.23.1 2
/

t
2
/

t

ε /2
ε /2 1 – ε

17
Поскольку функция
dz
е
t
Ф
t
z



0 2
2 2
1
)
(

непрерывна и возрастает на интервале [0, ∞) от 0 до 0,5, то для любого числа ε, удовлетворяющего неравенству 0 < 1 – ε < 1, существует единственное число
2
/

t
такое, что
Ф(
2
/

t
) =
)
1
(
2 1


Для заданной вероятности



1
P
по таблице значений функции Лапласа
Ф(t) можно найти соответствующее значение
2
/

t
. Тогда, используя это значение и определение величины t, получим:














2
/
2
/
2
/
2
/
/
)
(





t
n
x
m
t
P
t
t
t
P
x
=
=











n
t
x
m
n
t
P
x




2
/
2
/
=











n
t
x
m
n
t
x
P
x




2
/
2
/


1
Отсюда следует, что с надежностью



1
P
можно утверждать, что
доверительный интервал










n
t
x
m
n
t
x
x




2
/
2
/
покрывает неизвестный параметр
x
m с точностью
n
t


2
/


Таким образом, доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее определенной, близкой к единице вероятностью утверждать, что он содержит не известное нам истинное значение параметра
x
m
:
n
t
x
m
n
t
x
x




2
/
2
/




Из этого соотношения видно что, чем точнее при данном значении

мы хотим оценить среднее значение, тем больше n экспериментов необходимо провести. С увеличением надежности (уменьшением

) доверительный интервал расширяется, т.е. точность уменьшается. Если

18 задать точность

и вероятность

, то можно найти минимальный объем выборки n, который обеспечит заданную точность

:
2 2
/










t
n
Поскольку концы интервала представляют собой случайные величины, то их называют также доверительными границами.
Если величина Х распределена не по нормальному закону, то поскольку величина
x
представляет собой сумму независимых, одинаково распределенных случайных величин, согласно предельной теореме при достаточно больших n (n ≥ 30) ее закон распределения близок к нормальному.
Пример: Оценить среднюю точность изготовления внешнего контура крыла
x
m
с известным стандартным отклонением
1


мм. по выборке замеров n = 58 .
Решение. На основе замеров рассчитывается оценка
x
= 0,45мм. Так как n = 58 > 30 , то закон распределения измерений
x
можно считать нормальным . Задаемся

= 0,05 и находим Ф(
2
/

t
) =
)
1
(
2 1


= 0,475. Затем по таблице значений функции Лапласа Ф(t) находим
2
/

t
= 1,96. Определяем
26
,
0 58 1
96
,
1 2
/




n
t


Следовательно, средняя точность изготовления внешнего контура крыла
x
m
лежит в пределах 0,45

0,26 .

19
Построение интервальной оценки для математического ожидания и
дисперсии
Построение доверительного интервала для математического ожидания
случайной величины при неизвестной дисперсии
Рассмотрим оценку
x
математического ожидания
x
m
нормально распределенной случайной величины Х с неизвестной дисперсией
2

:



n
i
i
x
n
x
1 1
Для оценивания дисперсии
2

используем оценку
2 1
2
)
(
1 1
x
x
n
S
n
i
i





Величина
n
S
x
m
t
x
/


, при этих условиях имеет t-распределение (распределение Стьюдента)с числом степеней свободы k = n – 1.
Для нахождения доверительного интервала значения
x
m
задаемся надежностью P = 1 –

по таблице t-распределения для уровня значимости

/2 (соответствующего односторонней критической области см. рис.10.1), из условия





1
}
|
|
{
2
/
t
t
P
определяем значение
2
/

t
и строим доверительный интервал:
n
S
t
x
m
n
S
t
x
x
2
/
2
/






Пример: Оценить прочность сотового заполнителя из материала А1Т толщиной 0,08 мм по данным 19 испытаний на сжатие.
Решение. Предполагая, что разброс предела прочности подчиняется нормальному закону распределения и по результатам испытаний определяется
x
= 2,37,
2
S
= 3,12 . Для

/2 = 0,025 (соответствующего

20 односторонней критической области) и для k = n – 1 = 18 степени свободы по таблице t-распределения определяем
2
/

t
= 2,1 и находим величину
85
,
0 36
,
4 766
,
1 1
,
2 19 12
,
3 1
,
2 2
/





n
S
t

Таким образом, с надежностью 0,95 (или 95%) можно утверждать, что среднее значение прочности сотового заполнителя находится в пределах
12,37 ± 0,85.
Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения
Рассмотрим построение доверительного интервала дисперсии нормально распределенной случайной величины Х при неизвестном математическом ожидании. Для этого используем соотношение
,
1
)
(
1 1
2 2
2 1
2









n
x
x
n
S
n
i
i
откуда имеет место
2 2
2
)
1
(


S
n


с k = n – 1 степенями свободы.
Таким образом, если математическое ожидание случайной величины Х неизвестно, то случайная величина
2

распределена по закону
2

с k = n – 1 степенями свободы. Уменьшение числа степеней свободы обусловлено тем, что выборочные значения связаны между собой линейной зависимостью через оценку математического ожидания.
Так как случайная величина
2

неотрицательна, а плотность распределения
)
(
2

p
несимметричная (рис.24.1), то доверительный интервал будем определять из условия










1
}
{
2 2
2 2
1
P
, или
0 p(
2

)
Рис.24.1 2
1


ε /2
ε /2 1 – ε
2 2


2


21

















1
)
1
(
2 2
2 2
2 1
S
n
P
, откуда получаем




















1
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 1
2
S
n
S
n
P
Следовательно, интервал










2 2
2 2
1 2
)
1
(
;
)
1
(




S
n
S
n
есть доверительный интервал для дисперсии
2

с надежностью



1
P
, а интервал










2 2
1 2
1
;
1




n
S
n
S
доверительный интервал для стандартного отклонения

с надежностью



1
P
Определим
2 1


,
2 2


по таблицам распределения
2

из условия
2
/
}
{
}
{
2 2
2 2
2 1











P
P
Если таблица
2

построена из расчета







1
}
{
2 2
P
, то значения
2 1


,
2 2


определяются из условий (см. рис.10.2):
2
/
1
}
{
),
2
/
1
(
1 2
/
}
{
2 2
2 2
2 1

















P
P
Действительно:





)
(
)
(
}
{
2 2
2 2
2 1
2 2
1









F
F
P
=




}
{
}
{
2 2
2 2
1 2






P
P
=









1
)
2
/
1
(
1 2
/
1
Если таблица
2

построена из условия






}
{
2 2
P
, то значения
2 1


,
2 2


определяются из условий (см. рис.10.1):

22 2
/
}
{
,
2
/
1
}
{
2 2
2 2
2 1













P
P
Покажем, что в этом случае также имеет место





)
(
)
(
}
{
2 2
2 2
2 1
2 2
1









F
F
P
=




}
{
}
{
2 2
2 2
1 2






P
P
=






}
{
1
}
{
1 2
2 2
2 1
2






P
P
=









1
)
2
/
1
(
1 2
/
1
Пример: Вычислим с надежностью P = 0,95 доверительный интервал для дисперсии нормального распределения прочности сотового заполнителя по результатам испытаний, рассмотренных в предыдущем примере, где выборочная дисперсия
2
S
= 3,12 вычислена по выборке объема n = 19.
Решение. По таблице, определенной из условия






}
{
2 2
P
для k
= n –
1 = 18 степеней свободы и доверительного уровня значимости

/2 = 0,025 определяем
2 2


= 31,5,. Для вероятности Р =
2
/
1


= 0,975 и числа степеней свободы k = n –
1 = 18 определяем
2 1


= 8,23 .
Следовательно, доверительный интервал с надежностью 0,95 для дисперсии будет (18 2
S /31,5 ; 18 2
S /8,23) или (1.78 ; 6.82), а для стандартного отклонения


23
,
8
/
18
;
5
,
31
/
18 2
2
S
S
или (1,33 ; 2,61).