Основы Технологии Машиностроения (лекции) - 1. Конспект лекций Основы технологии машиностроения
 Скачать 3.33 Mb.
|
|
дискретной случайной величины может быть найдено по таблице или графику распределения для любого значения , как сумма вероятностей тех значений , которые лежат влево от точки с координатой . В рассмотренном выше примере распределения случайной величины для Интегральный закон распределения можно представить в виде графика . Для дискретной случайной величины график будет иметь вид ступенчатой кривой. Рис.2.3. Интегральный закон распределения дискретной случайной величины Имея функцию распределения дискретной случайной величины можно вычислить вероятность ее нахождения в границах от до : Для непрерывной случайной величины график функции распределения будет иметь вид монотонно возрастающей кривой, а сама функция будет дифференцируемой. Производную функции распределения непрерывной случайной величины называют плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения этой случайной величины. Графически этот закон распределения может быть представлен кривой линией, построенной в координатах x, (рис.2.4). Зная плотность вероятности, можно определить вероятность того, что значение случайной величины окажется в интервале от до . В данном случае вероятность равна площади участка с основанием « », ограниченного сверху кривой плотности вероятности. При и : Рис.2.4. Дифференциальный закон распределения непрерывной случайной величины Дифференциальный закон или плотность вероятности дает полную картину распределения случайной величины. Однако такая полная характеристика не всегда необходима. В ряде теоретических и практических задач бывает достаточным знание отдельных числовых характеристик: • определяющих положение центра группирования случайной величины ; • ее рассеяние около этого центра. Для характеристики положения центра группирования используют математическое ожидание и среднее арифметическое значение случайной величины: а) для дискретной случайной величины: , где – число возможных значений случайной величины ; б) для непрерывной случайной величины: , где – характеристика теоретического распределения случайной величины. На практике положение центра группирования характеризует среднее арифметическое значение случайной величины: , где – частота отдельных значений , – число отдельных значений , – общее отдельных значений . Характеристикой рассеяния значений случайной величины около центра группирования является дисперсия. Однако чаще используют не саму дисперсию, а положительный квадратный корень из нее, называемый средним квадратичным отклонением: а) дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины ; б) дисперсия и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины Для практических распределений среднее квадратическое отклонение определяется по формуле: Размерность x совпадает с размерностью самой случайной величины. Таким образом, чтобы охарактеризовать распределение случайной величины надо иметь как минимум две числовые характеристики: 1. или – определяют положение центра группирования; 2. или x – разброс значений случайной величины около центра группирования. Комплектом характеристик распределения следует считать также: • поле рассеяния случайной величины: • — координату середины поля рассеяния: В симметричных распределениях центр группирования оказывается совмещенным с 2.2. Законы распределения Распределение случайных величин в зависимости от условий могут подчиняться вполне определенным законам: Гаусса, равной вероятности, Симпсона. Наибольшее практическое значение в технологии машиностроения имеет дифференциальная функция закона нормального распределения (закон Гаусса), для которого плотность вероятности или дифференциальная функция распределения: , где – переменная случайная величина; x – среднее квадратичное отклонение от ; – математическое ожидание величины . Дифференциальная функция закона нормального распределения графически изображается холмообразной кривой, симметричной относительно центра группирования, представленной величинами и (рис.2.5). Координата центра группирования определяет положение кривой относительно начала отсчета, а параметр (среднее квадратичное отклонение) – ее форму и размах. Функция или интегральный закон нормального распределения в общем виде можно записать: Рис.2.5. Дифференциальный закон нормального распределения случайной величины Закон равной вероятности встречается, когда наряду со случайными факторами, вызывающими рассеяние, действует доминирующий систематический фактор непрерывно или равномерно изменяющий во времени положение центра группирования . Графически такое распределение случайной величины отображается прямоугольником (рис.2.6). Рис.2.6. Распределение случайной величины по закону равной вероятности Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно равны: К распределению по закону Симпсона (закон треугольника) приводит сложение двух случайных величин, подчиненных закону равной вероятности при одинаковых параметрах рассеяния. Графически кривая рассеяния имеет вид равностороннего треугольника (рис.2.7). Рис.2.7. Распределение случайной величины по закону Симпсона Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно равны: Если рассматривать распределение по законам Симпсона и равной вероятности как отклонение от закона нормального распределения, то можно отразить и количественную сторону этих отклонений с помощью коэффициента , который называется относительным средним квадратичным отклонением: Значения коэффициента для рассмотренных законов распределения приведены в табл.2.3. На практике чаще пользуются значением коэффициента возведенного в квадрат. Таблица 2.3. Значения относительного среднего квадратичного отклонения Закон распределения Нормальный (Гаусса) Симпсона 2a Равной вероятности b-a ЛЕКЦИЯ 3 3. Положение теории вероятности применительно к векторным случайным величинам 3.1. Векторные случайные величины. При совместном рассмотрении двух случайных величин и их можно трактовать как координаты случайной точки на плоскости или как составляющие случайного вектора . Функцией распределения двумерного случайного вектора с составляющими и или совместной функцией распределения случайных величин , называют вероятность совместного выполнения неравенств , , рассматривая как функцию переменных и : Функция распределения двумерного случайного вектора представляет собой вероятность попадания конца этого вектора в четверть плоскости, заштрихованную на рис.3.1. Рис.3.1. Поверхность распределения двумерного случайного вектора Вероятность попадания конца вектора в прямоугольник, ограниченный прямыми (рис.3.2): Рис.3.2. Распределение случайного вектора в прямоугольнике Плотность вероятности двумерного случайного вектора , составляющими которого являются случайные величины и , или совместная плотность вероятности этих величин: Вероятность попадания точки в произвольную область плоскости выражается интегралом от плотности вероятности, распространенным на эту область (рис.3.3): , где – вероятность попадания случайной точки в элемент площади , расположенной в точке с координатами Рис.3.3. Распределение случайного вектора в области Математическим ожиданием случайного вектора является вектор с составляющими, равным математическим ожиданиям величин и , и представляющий собой векторную сумму этих величин: Геометрически математическое ожидание представляет собой радиус-вектор средней точки попадания конца вектора в область . Если случайные величины и ,образующие вектор , не связаны, то теоретическими характеристиками рассеяния на плоскости являются дисперсии или средние квадратические отклонения Если случайные величины и связаны, то в дополнение к дисперсии необходимо задавать вероятностную характеристику связи составляющих случайного вектора – корреляционный момент: Таким образом, рассеяние возможных значений случайного вектора на плоскости характеризуется: где Причем и при отсутствии связи между величинами и их значения равны нулю. Корреляционная матрица случайного вектора не изменится от прибавления к случайному вектору произвольного неслучайного вектора. Геометрически это свойство проявляется в том, что рассеяние случайного вектора на плоскости не зависит от выбора начала отсчета, что позволяет рассматривать рассеяние отклонений случайного вектора от его математического ожидания вместо рассеяния самого случайного вектора. При распределении по нормальному закону, рассеяние на плоскости его отклонений от математического ожидания, ограничивается эллипсом, называемым эллипсом рассеяния. Центр эллипса находится в точке с координатами . Оси эллипса называются осями рассеяния, а характеристики рассеяния – главными дисперсиями и (рис.3.4). Рис.3.4. Эллипс рассеяния. Эллипс рассеяния представляет собой геометрическое место точек равных плотностей вероятности. Полуоси эллипса пропорциональны главным средним квадратичным отклонениям: Большая ось эллипса рассеяния наклонена к оси под углом : При угол лежит в 1 и 3 четверти, а при — во 2 и 4 четверти. Значения дисперсий: Вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону, в область S, ограниченную эллипсом рассеяния: , где – размеры полуосей эллипса в средних квадратичных отклонениях. Если 1 = 2 = , то рассеяние по нормальному закону называется круговым. На практике возникает задача определения характеристик рассеяния случайного вектора на основании наблюдаемых значений случайного вектора в нескольких несвязанных опытах. Ограниченность числа опытов позволяет лишь предполагать приближение к теоретическим значениям характеристик, найденных по формулам: где …, и …, составляющие случайного вектора , – количество опытов. 3.2. Функции случайных аргументов В практике технологии машиностроения часто приходится определять вероятностные характеристики случайной величины по известным характеристикам распределения других случайных величин, связанных с первой функциональной зависимостью типа: Если функция не линейна, но может быть с достаточной степенью точности линиаризирована (заменена линейной функцией) и приведена к виду: где частная производная функция по аргументу х i, в которую вместо каждого аргумента подставлено математическое ожидание, то приближенные характеристики распределения такой функции могут быть вычислены по следующим формулам. Математическое ожидание Дисперсия , где — дисперсия случайной величины — корреляционный момент величин Когда случайные аргументы … не коррелированны: Если функция линейна и представляет собой алгебраическую сумму несвязанных случайных аргументов , то ее математической ожидание , а дисперсия ЛЕКЦИЯ 4 4. Производственный и технологический процессы 4.1. Свойства и характеристики процесса Процесс (в широком смысле слова) – последовательные изменения какого-либо предмета (явления) или совокупность последовательных действий, направленных на достижение определенного результата. Реальный ход процесса, выполняемого машиной, отличается от идеального из-за непрерывно меняющихся условий. Не остаются постоянными во времени качество исходного продукта, количество сообщаемой энергии, изменяется состояние окружающей среды и самой машины, что приводит к нестабильности качества, количества продукции, производимой в единицу времени, и ее стоимости (рис.4.1). Рис. 4.1. Нарушения намеченного хода процесса Если в промежутке времени проследить за изменением какой-либо характеристики исходного продукта, энергии, состояния внешней среды, количества, качества и стоимости продукта, то можно построить график, подобный представленному на рис.4.2. Для любого другого промежутка времени , равного , получился бы график по виду отличный от первого, что на рисунке показано путем наложения второго графика на первый. Таким образом, для любого момента времени (как и для других моментов) невозможно предсказать значение , то есть является случайной величиной, а зависимость – случайной функцией. Рис. 4.2. График случайной функции Случайной функцией называют такую функцию аргумента , значение которой при любом значении является случайной величиной . Роль аргумента на практике часто играет: время, путь, порядковый номер и т.д. Случайную функцию можно рассматривать как бесконечную последовательность значений случайной величины, зависящую от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров . Каждому значению параметра (параметров) соответствует одно значение от величины . Все вместе случайные величины определяют случайную функцию Если аргумент случайной функции может принимать любые значения в заданном интервале, то в этом случае случайную функцию называют случайным процессом. Если же значения аргумента дискретны, то случайную функцию называют случайной последовательностью. Графическое отображение случайной последовательности в технологии машиностроения получило название точечной диаграммы (рис.4.3). Рис.4.3. Точечная диаграмма обработки деталей на станке Для характеристик случайной функции при изменении аргумента в области требуется выявить — мерный дифференциальный закон , совместного распределения ее случайных ординат. Существующие способы построения многомерных законов распределения неудобны из-за громоздкости. На практике поэтому пользуются вместо законов их отдельными параметрами. Одним из таких параметров является математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной функции называют такую функцию значение которой при каждом данном значении аргумента равно математическому ожиданию значения случайной величины при этом : Математическое ожидание случайной функции представляет собой некоторую среднюю функцию, около которой группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации случайной функции (рис.4.4): , где — одномерная плотность вероятности. Рис.4.4. Геометрический смысл математического ожидания Мерой рассеяния значения случайной функции является дисперсия. Дисперсия случайной функции – функция, значения которой при каждом данном значении аргумента равно дисперсии значений случайной величины при этом значении аргумента. Дисперсия случайной функции. Математическое ожидание и дисперсия не являются полными характеристиками случайной функции, так как не отражают характер изменения значений случайных ординат во времени. Две случайные функции, имеющие одинаковые и а интенсивность изменения значений случайных ординат у них различна (рис.4.5). Для того чтобы учесть степень изменчивости случайной функции с изменением аргумента необходимо определить корреляционные связи между парами ее ординат. Корреляционная функция является функцией двух независимых переменных: Рис.4.5. Две случайные функции, отличающиеся интенсивностью изменения во времени их ординат Случайные процессы и последовательности подразделяются на группы по ряду признаков, они могут быть: • стационарные и нестационарные; • нормальные и ненормальные; • марковские и немарковские (в зависимости от поведения случайной функции от ее значений в предшествующий промежуток времени). Наряду с на практике часто рассеяние случайной величины характеризуются величиной t , называемой мгновенным полем рассеяния. Поле рассеяния случайной величины в совокупности случайных величин определяется: Для зафиксированного момента (мгновения) процесса такой совокупности быть не может, поскольку моменту может соответствовать лишь единственное значение случайной величины X. Однако о пределах, в которых может проявиться это значение, можно судить по разности крайних значений ординат, находящихся поблизости от момента процесса. Это позволяет определить через разность значений таких ординат: На точечной диаграмме, образующей случайную последовательность, мгновенное поле характеризует ширину полосы точек, в пределах которой наблюдается рассеяние значений случайных ординат в интервале изменения аргумента. Характеристику , как и дисперсию случайной функции, следует рассматривать как функцию (рис.4.6). Рис.4.6. Геометрический смысл понятия «мгновенное поле рассеяния» : а) – точечная диаграмма: б) - как функция аргумента t Положение мгновенного поля рассеяния характеризуют либо средним значением случайной функции, либо значением ординат середин мгновенных полей рассеяния. Средним значением случайной функции следует считать такую функцию , значения которой равны среднему значению возможных значений случайной величины при данном значении аргумента. Существуют различные приемы нахождения случайной функции. Часто пользуются приемом, основанным на использовании средних групповых значений случайной величины. При этом используется положение теории вероятностей о том, что рассеяние групповых значений случайной величины меньше в раз рассеяния значений самой случайной величины , где число значений, объединенных в группу: Значения группируются без нарушения последовательности по отношению к аргументу . В каждой группе определяется , для представления об случайной функции, необходимо на средних групповых значениях построить кривую. Другая характеристика положения мгновенного поля рассеяния – ордината его середины, рассматриваемая как функция аргумента . В примере для момента : 4.2. Понятие о точности Любой процесс сопровождается действием большого количества случайных факторов, которые вызывают отклонения показателей качества и количества изделий, выпущенных в единицу времени, и их стоимости от стоимости расчетных значений. То есть, между расчетными и действительными результатами процесса всегда бывают расхождения. К тому же, определить действительные результаты можно с ошибками. Поэтому различают три вида значений любого показателя: номинальное или теоретическое (расчетное); действительное (объективно существующее); измеренное, то есть действительное значение, познанное с каким-то отклонением. Например, в процессе изготовления изделия необходимо обеспечить некий показатель (рис.4.7). При проектировании расчетами определяется этот показатель как Однако в процессе изготовления и измерения появятся отклонения соответственно — изг и изм . Рис.4.7. Три вида значений показателя Под точностью показателя понимают степень приближения действительного значения показателя к его номинальному значению. Под точностью измерения показателя понимают степень приближения познанного показателя к его действительному значению. Нельзя достичь абсолютной точности показателей, поэтому на отклонения показателей от идеала налагают ограничения. Границы допустимых отклонений показателя, предопределяемые требованиями к качеству, количеству или стоимости производимых изделий называются |