2020 Л.Р8 Математика (ПС). Конспект лекций по дисциплине математика ( О. 7) для специальности 23. 05. 03 Подвижной состав железных дорог

• Название: Конспект лекций по дисциплине математика ( О. 7) для специальности 23. 05. 03 Подвижной состав железных дорог
• Дата: 02.12.2021
• Размер: 1.75 Mb.
• Имя файла: 2020 Л.Р8 Математика (ПС).docx
• Тип: Конспект лекций; #289607
• страница: 5 из 6

КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ

№	Задание	Ответ
1	В матричной форме записи системы дифференциальных уравнений матрица системы имеет вид 1) 2) 3) 4)
2	Порядок системы равен
3	Дифференциальное уравнение эквивалентное нормальной системе имеет вид 1) 2) 3) 4)
4	Нормальная система эквивалентная имеет вид 1) 2) 3) 4)
5	Нормальная система эквивалентная дифференциальному уравнению имеет вид 1) 2) 3) 4)
6	Количество произвольных постоянных в общем решении системы дифференциальных уравнений равно
7	Определитель Вронского равен 1) 0 2) 2х2 3) 2х3 4) 2х4
8	Определитель Вронского равен 1) 0 2) 2 3) х3 4) х4
9	Определитель Вронского для функций , имеет вид 1) 2) 3) 4)
10	Выберите линейно зависимые векторные функции 1) 2) 3) 4)
11	Для системы характеристическое уравнение имеет вид 1) 2) 3) 4)
12	Для системы характеристическое уравнение имеет вид 1) 2) 3) 4)
13	Для системы характеристическое уравнение имеет вид 1) 2 – 2 + 1 = 0 2) 2 + 1 = 0 3) 2 – 1 = 0 4) 2 – 2 = 0
14	Общее решение системы имеет вид 1) 2) 3) 4)
15	Собственные векторы матрицы А системы равны 1) 2) 3) 4)
16	Частное решение системы д.у. удовлетворяющее начальным условиям имеет вид 1) 2) 3) 4)

Тема 10

Оригиналы и изображения

Определение. Функция , определенная на интервале (–; ), называется оригиналом, если

1) f(t)  0 при ;

2) f(t) – непрерывна (либо имеет конечное число разрывов первого рода на любом конечном отрезке);

3) существуют такие вещественные числа М > 0 и s₀  0, что для всех положительных значений t.

Для всякого оригинала f(t) существует единственная функция комплексной переменной p = s + i, определенная в комплексной полуплоскости Rep = s >  (рис. 1). Функция называется изображением оригинала f(t). Правая часть равенства называется интегралом Лапласа, а переход от оригинала f(x) к изображению F(p) – преобразованием Лапласа. Запись f(t)  F(p) означает, что оригиналу f(t) соответствует изображение F(p) (и наоборот).

Рис. 1
Простейшим оригиналом является функция Хэвисайда – единичная ступенчатая функция (рис. 2):

Изображение функции Хэвисайда:

.

Рис. 2
Функция Хэвисайда используется для представления сигналов, включающихся в определённый момент времени. Если (t) удовлетворяет условиям 2 и 3, то функцияf(t) = (t)1(t) является оригиналом. Далее вместо произведения (t)1(t) используется запись f(t), где f(t)  0 при t < 0.
Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = е^аt, аR.

F(p) =

Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = sh(ωt) = , R.

Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = sin(ωt), R.

Формула Эйлера: е^i = cos + isin,е^–i = cos – isin.

Комплексное представление функции sin(ωt): .

.

Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = t.

формула интегрирования по частям

Теоремы операционного исчисления

Теорема линейности. с₁f₁(t) + с₂f₂(t)  с₁F₁(p) + с₂F₂(p),

если f₁(t)  F₁(p), f₂(t)  F₂(p), с₁, с₂ – постоянные.

Теорема запаздывания. f(t –)  e^–pF(p),

если  > 0, f(t)  F(p) (рис. 3, 4).

Рис. 3

Рис. 4

Теорема подобия. f(t)   , если  > 0, f(t)  F(p).

Теорема смещения. е^–tf(t)  F(p + ), если f(t)  F(p).

Теорема дифференцирования оригиналов.   рF(p) – f(0), если f(t)  F(p).

Следствие. Если ƒ(t) – п-раз дифференцируемая функция, все производные которой являются оригиналами, то для производной k-го порядка ( ), справедлива формула:

.

При нулевых начальных условиях последняя формула принимает вид   .
Пример. Найти изображение функции

f(t) – единичный импульс (рис. 5).

Представление единичного импульса в виде разности двух функций (рис. 2, 6): f(t) = 1(t) – 1(t – 1).

Рис. 5

1(t – 1) Рис. 6

Изображение функции Хэвисайда: 1(t)   .

Теорема запаздывания для функции Хэвисайда: 1(t – 1)   ;

.

Пример. Доказать теорему дифференцирования оригиналов:

   , если f(t)  F(p).

   формула интегрирования по частям

Изображения основных функций

В таблице 1 приведены изображения часто встречающихся на практике функций.

Таблица 1

№	Оригинал	Изображение	№	Оригинал	Изображение
1	1(t)		8
2			9
3			10
4			11
5			12
6			13
7			14

Нахождение оригинала осуществляется представлением изображения суммой табличных изображений и применением теоремы линейности преобразования Лапласа. Имеют место две теоремы разложения, позволяющие находить оригиналы весьма широкого класса функций.

Теорема. Если изображение представляет собой правильную рациональную дробь, , где – многочлены степени m и n соответственно (m< n), то оригинал ƒ(t) есть сумма оригиналов элементарных рациональных дробей:

1) ;

2) ;

3) ,

 = –b/2, ² = c – b²/4, b² – 4c < 0.

Замечание. Нахождение оригинала элементарной дроби четвертого типа при k 2 предлагается изучить самостоятельно.

Теорема. Если изображение функции может быть представлено функциональным рядом по степеням ,

,
сходящимся к F(p), то оригинал f(t) представляется в виде степенного ряда

,

сходящегося при всех t.
Пример. Найти оригинал функции F(p) = .

– пункты 3, 4 таблицы 1.

Пример. Найти оригинал изображения .


Числители дробей одинаковы: .

Система для нахождения значений неопределенных коэффициентов А, В:

Решение системы: , .

Разложение F(p) на элементарные дроби: .

Искомый оригинал (табл. 1):

Пример. Найти изображение ступенчатой функции, заданной на промежутке [0; +), четыре ступени которой представлены на рисунке 7.

Рис. 7
Аналитическое выражение функции f(t):

Изображение для f(t):

Слагаемые в скобках образуют убывающую бесконечную геометрическую прогрессию с знаменателем .

Сумма прогрессии:

Пример. Найти изображение импульсной дельта-функции Дирака если .

Рассмотрим прямоугольный импульс

при любом значении h.

Представление функции в виде разности двух функций Хэвисайда:  =  .

Изображение прямоугольного импульса: .

Изображение равно пределу при h  0 изображения :

Тема 11

Решение дифференциальных уравнений

Применение операционного метода рассмотрим на примере решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффциентами y'' + a₁y' + a₂y = f(t), при начальных условиях y(0) = y₀, y'(0) = y₁.

Полагая, что решение уравнения y(t) и функция f(t) являются оригиналами с изображеними Y(p) → y(t), F(p) → f(t) и учитывая что y'(t)  pY(p) – y₀, y''(t)  p²Y(p) – py₀ – y₁, изображение исходного дифференциального уравнения имеет вид
p²Y(p) – py₀– y₁ + a₁(pY(p) – y₀) + a₂Y(p) = F(p).
После решения этого операторного уравнения относительно изображения Y(p) определяется оригинал y(t), который является частным решением дифференциального уравнения.

Замечание. Для нахождения общего решения дифференциального уравнения достаточно задать начальные условия в виде произвольных постоянных.
Пример. Найти решение уравнения y''–2y'– 8y = e^t, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0,y'(0) =0.

Изображение правой части уравнения: e^t ←;

изображение искомого решения: y(t) ← Y(p);

изображения производных: y'(t)  pY(p),y''(t) p²Y(p);

операторное уравнение: p²Y(p) – 2pY(p) – 8Y(p) = .

Решение операторного уравнения: Y(p) = ;
Разложение фнуции Y(p) на сумму элементарных дробей:

.

Частное решение д.у.:

Пример. Найти общее решение уравнения y'– 2y = e^t.

Назначим начальное условие: y(0) = с.

Изображение правой части уравнения: e^t;

изображение искомого решения: y(t) Y(p);

изображения производной: y'(t)  pY(p) – с;

операторное уравнение: pY(p) – с– 2Y(p) = .

Решение операторного уравнения: Y(p) = ;
разложение Y(p) на сумму элементарных дробей:

, где С = с + 1.

Общее решение д.у.:

Решение систем уравнений

Применение операционного метода рассмотрим на примере решения системы линейных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при начальных условиях y(0) = y₀, х(0) = х₀.

Полагая, что функции х(t), y(t), f₁(t), f₂(t) являются оригиналами с изображеними Х(p) → х(t), Y(p) → y(t), F₁(p) → f₁(t), F₂(p) → f₂(t) и учитывая, что х'(t)  pХ(p) – х₀, y'(t)  pY(p) – y₀, можно записать изображение исходной системы дифференциальных уравнений

После решения полученной алгебраической системы относительно изображений Х(p), Y(p) определяются оригиналы х(t), y(t), которые являются частным решением системы дифференциальных уравнений.
Пример. Найти частное решение системы при начальных условиях

Частное решение системы: x(t) и у(t);

изображения решения: , ;

изображения производных:

,

.

Система операторных уравнений:



Решение системы по формулам Крамера:

;

;

; .

_{Частное решение (табл. 1):}