2020 Л.Р8 Математика (ПС). Конспект лекций по дисциплине математика ( О. 7) для специальности 23. 05. 03 Подвижной состав железных дорог

• Название: Конспект лекций по дисциплине математика ( О. 7) для специальности 23. 05. 03 Подвижной состав железных дорог
• Дата: 02.12.2021
• Размер: 1.75 Mb.
• Имя файла: 2020 Л.Р8 Математика (ПС).docx
• Тип: Конспект лекций; #289607
• страница: 1 из 6

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

“петербургский государственный

университет путей сообщения ИМПЕРАТОРА АЛЕКСАНДРА I”

Кафедра «Высшая математика»

А.А. Костроминов




Конспект лекций

по дисциплине

«МАТЕМАТИКА» (Б1.О.7)
для специальности

23.05.03 «Подвижной состав железных дорог»

по специализациям:

«Локомотивы»

Форма обучения – очная, заочная
«Грузовые вагоны»

Форма обучения – очная, заочная
«Пассажирские вагоны»

Форма обучения – очная, заочная
«Технология производства и ремонта подвижного состава»

Форма обучения – очная, заочная
«Электрический транспорт железных дорог»

Форма обучения – очная, заочная
«Высокоскоростной наземный транспорт»

Форма обучения – очная
РАЗДЕЛ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Санкт-Петербург 2020

Тема 1

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным называется уравнение, связывающее аргумент, искомую функцию и ее производную (или дифференциал). Дифференциальное уравнение (д.у.) называется обыкновенным, если искомая функция у = (х) есть функция одной переменной. Три формы записи дифференциального уравнения первого порядка:

явная (относительно производной) у¢ = f(х; у);

неявнаяF(х;у;у¢) = 0;

в дифференциалах Р(х; у)dx + Q(х;y)dу = 0.

Решение д.у. – это дифференцируемая функция у = (х), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество. Нахождение решения д.у., удовлетворяющего начальному условию у(х₀) = у₀, представляет собой задачу Коши (х₀, у₀ – заданные числа). Обычно существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения, которые удается объединить единой формулой у = (х; С), включающей произвольную постоянную С. Общим решением дифференциального уравнения называется семейство функций (х; С), такое что

1) функции (х; С) являются решениями д.у. при любых допустимых значениях произвольных постоянных С;

2) для любого допустимого начального условия у(х₀) = у₀ существует единственное значение С₀, при котором (х₀; С₀) = у₀.

Частное решение – это функция, полученная из общего решения, заданием конкретного значения произвольной постоянной С. График частного решения называется интегральной кривой. Решения д.у., представленные в неявном виде F(x; y; С) = 0 иF(x; y; С₀) = 0, называются соответственно общим и частным интегралами. Решение у = (х) считается особым, если в каждой его точке нарушается условие единственности, т.е. через каждую точку его интегральной кривой проходит график другого решения.
Пример.Найти общее решение дифференциального уравнения y = 8x– 1 .

.

Пример. Доказать, что функция у = х² + 1 является решением задачи Коши дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = 2.

Подстановка функции у = х² + 1 в уравнение: .

Проверка выполнения начального условия: 1² +1 = 2.

Функция у = х² + 1 является решением задачи Коши.

Пример.Найти частное решение дифференциального уравнения y = 2x, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 2.

.

При y = 2 и х = 1: 2 = 1² + C.

Значение произвольной постоянной: C = 1.

Решение задачи Коши: y= x² + 1.

Метод Эйлера приближенного решения задачи Коши

Метод Эйлера нахождения частного решения д.у. на отрезке [a; b] при начальных условиях состоит в построении линии, состоящей из отрезков, – ломаной Эйлера L_n, приближенно представляющей искомую интегральную кривую .

Отрезок [a; b] разбивается на п элементарных отрезков , , длины , а = х₀, b = х_n (рис. 12.1). Идея приближенного решения дифференциального уравнения заключается в замене дифференциалов dy конечными приращениями на каждом элементарном участке. Решение на отрезке приближённо заменяется отрезком касательной к интегральной кривой в точке : или . С учетом равенства определяется приближенное значение решения в точке : .

Повторение операции для задает ломаную Эйлера L_n (рис. 12.1). Метод Эйлера – сходящийся: при всех х [a; b].


Рис. 12.1

Тема 2

Уравнения с разделяющимися переменными

Д.у. Р(х)dx + Q(y)dу = 0 имеет общий интеграл _Р(х)dx + _Q(y)dу = С и называется уравнением с разделенными переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид
.
Делением на произведение оно приводится к уравнению с разделёнными переменными , общий интеграл которого При начальных условиях частный интеграл можно записать в виде

В явной форме уравнение с разделяющимися переменными имеет видy¢ = f(х)q(у) c общим интегралом .

Замечание. Деление на или на q(у) может привести к потере решений, обращающих в ноль эти сомножители.

Однородные уравнения

Функция называется однородной функцией измерения п, если при любом tсправедливо тождество

.

Дифференциальное уравнение называется однородным, если P(x; y) и Q(x; y) – однородные функции одного измерения. Заменой переменной , , однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Если д.у. представлено в явной форме , то оно будет однородным при с общим интегралом  ( u = ).
Пример. Доказать, что – однородная функция.

Функция – однородная функция измерения 2.

Установить тип уравнения (x – y)dx + (x + y)dy = 0. 

1) Это однородное уравнение, т.к. его можно записать в виде .

2) Это однородное уравнение, т.к. (x – y) и (x + y) – однородные функции измерения 1.

Тема 3

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным д.у. называется уравнение . Рассмотрим два метода решения линейного д.у.

Метод Бернулли состоит в нахождении решения уравнения в виде произведения двух функций . Подставляя и в уравнение, имеем или . Выбирая функцию v так, чтобы выражение обращалось в ноль, для нахождения второй функции получим уравнение . Теперь решение д.у. сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений:

Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа) состоит в нахождении решения уравнения в виде где – общее решение однородного уравнения . Подставив значения и в уравнение , получим д.у. относительно , интегрируя которое находим . Общее решение неоднородного уравнения .

Уравнение Бернулли

_{Уравнение вида} называется уравнением Бернулли, предложившего для его решения замену Уравнение Бернулли приводится к линейному д.у. заменой

В уравнении сделать замену

– уравнение Бернулли

Замена : или

– линейное д.у. .

Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u(x; y). В этом случае . Необходимое и достаточное условие того, что д.у. есть уравнение в полных дифференциалах, состоит в выполнении тождества . Общий интеграл уравнения имеет форму u(x; y) = С, которую можно представить в виде
.
При заданных начальных условиях у(х₀) = у₀ частный интеграл можно представить как в форме , так и форме .
Пример. Установить тип уравнения .

; ; .

– уравнение в полных дифференциалах.

Пример. Решить уравнение .

Левая часть этого равенства является полным дифференциалом d(xy) = 0.

Общий интеграл имеет вид .