2020 Л.Р8 Математика (ПС). Конспект лекций по дисциплине математика ( О. 7) для специальности 23. 05. 03 Подвижной состав железных дорог
 Скачать 1.75 Mb.
|
Тема 9СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙСистемой дифференциальных уравнений называется совокупность д.у., каждое из которых содержит независимую переменную х, искомые функции у1, у2,…, уn и их производные. Порядок системы – число, равное сумме порядков старших производных искомых функций, входящих в систему. Всякая система введением дополнительных неизвестных может быть приведена к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Система называется канонической, если ее уравнения разрешены относительно старших производных искомых функций. Каноническая система д.у. первого порядка называется нормальной. Всякая каноническая система введением дополнительных неизвестных может быть приведена к эквивалентной нормальной системе того же порядка. Решением нормальной системы п-ого порядка называется любая совокупность п дифференцируемыхфункций , , …, , подстановка которых в уравнения системы, обращает все уравнения в тождества. Задача нахождения решения, удовлетворяющего начальным условиям , , …, называется задачей Коши. Общим решением нормальной системы называется совокупность п функций таких, что 1) функции являются решением системы при любых допустимых значениях произвольных постоянных ; 2) для любых допустимых начальных условий , , …, существуют единственные значения произвольных постоянных , при которых эти условия выполняются Частным решением системы называется решение, получающееся из общего решения заданием конкретных значений произвольных постоянных. Пример.Преобразовать систему к системе уравнений первого порядка. Эквивалентная система д.у. первого порядка: Пример. Представить каноническую систему д.у. третьего порядка эквивалентной нормальной системой. , , : Пример. Представить дифференциальное уравнение третьего порядка эквивалентной нормальной системой. Эквивалентная система д.у. первого порядка: Пример. Найти общее решение системы д.у. методом исключения неизвестных, преобразовав систему в дифференциальное уравнение второго порядка. Производная первого уравнения системы: . Замена в уравнении : . Замена на : . Общее решение д.у. : . . Общее решение системы д.у.: Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентамиНормальная система линейных дифференциальных уравнений n-ого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид или в матричной форме Y = АY + F, где – матрица коэффициентов системы, – матрица-столбец неизвестных функций, – матрица-столбец производных, – матрица-столбец свободных членов. Если все , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. Система линейных д.у. n-ого порядка может быть представлена одним линейным дифференциальным уравнением такого же порядка, что позволяет сформулировать следующие утверждения. Теорема. Если вектор-функции являются частными решениями системы линейных однородных д.у., то их линейная комбинация также будет решением системы. Вектор-функции являются линейно зависимыми, если существуют такие постоянные , не все равные нулю, что выполняется тождество . При этом определитель Вронского тождественно равен нулю. Определитель Вронского отличен от нуля при любом х, если линейно независимые частные решения системы д.у. п-го порядка. Фундаментальной системой решений линейной однородной системы д.у. п-го порядка называется любая совокупность п линейно независимых частных решений системы. Теорема. Общее решение системы д.у. п-го порядка имеет вид , где – фундаментальная система решений однородной системы д.у. (W(x) 0), – произвольные постоянные. Пример. Записать систему уравнений в матричной форме. , , , . или . Пример. Установить линейную зависимость или независимость вектор-функций и . Линейная комбинация тождественно равна нулю только в случае . Вектор-функции линейно независимы. Пример. Доказать, что если вектор-функции и линейно зависимы, то определитель Вронского . Пусть и один из коэффициентов отличен от нуля, например, . Тогда и , где . Пример. Установить линейную зависимость или независимость вектор-функций при любых значениях х. Функции линейно зависимы. Действительно, существуют отличные от нуля коэффициенты , при которых линейная комбинация тождественно равна нулю, например, Решение однородных систем линейных уравненийЛинейная однородная система уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид Исключив тривиальные решения , полагаем . Подставив их в систему уравнений, имеем Отсюда т.к. при любых х. Однородная система алгебраических уравнений относительно неизвестных имеет ненулевые решения только в случае равенства нулю определителя системы: Последнее уравнение называется характеристическим. Ненулевое решение системы образует собственный вектор матрицы А , соответствующий собственному числу i (i = 1, 2). При решении характеристического уравнения = 0 возможны три случая. 1) Собственные числа 1 и 2 матрицы А вещественные и различные: 1 2. Общее решение системы записывается в матричной форме с фундаментальной системой Общее решение системы может быть записано (таблица 13.2) в виде без нахождения фундаментальной системы. Подстановка в систему д.у. и приравнивание коэффициентов при и , приводит к неопределенной алгебраической системе уравнений относительно . Две из четырех произвольных постоянных являются независимыми. Для нахождения формул, связывающих между собой эти постоянные, достаточно подставить в одно из уравнений системы д.у. 2) Собственные числа матрицы А комплексные: . Частное решение системы, отвечающее собственному числу , имеет вид . Здесь – собственный вектор, отвечающий комплексному собственному числу . Фундаментальная система решений . Общее решение системы . Общее решение системы может быть записано (таблица 13.2) в виде без нахождения Подстановка в исходную систему и приравнивание коэффициентов при и приводит к алгебраической системе уравнений относительно . 3) Собственные числа матрицы А вещественные равные . Дискриминант характеристического уравнения равен нулю. Фундаментальная система решений имеет вид где постоянные, – собственный вектор матрицы А, координаты которого задаются системой Одним из ненулевых решений этой системы (при ) является . Подстановка в систему д.у., приводит к алгебраической системе уравнений, решение которой . Общее решение имеет вид Для однородной системы д.у. n-ого порядка частные решения также определяются собственными числами и собственными векторами матрицы А. Собственные числа матрицы А есть корни характеристического уравнения . Координаты собственного вектора , отвечающего собственному числу , определяются как любое ненулевое решение алгебраической системы однородных линейных уравнений Совокупность частных решений дает возможность построить общее решение системы д.у. Пример. Найти общее решение системы двумя способами. I способ. Матрица системы: . Характеристическое уравнение: . Корни характеристического уравнения: . Фундаментальная система решений: Уравнение для нахождения собственных векторов: при : . Собственный вектор для : , . при : . Собственный вектор для : , . Общее решение системы: или в скалярной форме II способ. Корни характеристического уравнения: . Вид общего решения (таблица 13.2): Подстановка решения в первое уравнение системы: . Коэффициенты при : Коэффициенты при : Общее решение системы при : Пример. Двумя способами найти частное решение системы уравнений при начальных условиях . I способ. Матрица системы: Характеристическое уравнение . Корни характеристического уравнения: . Фундаментальная система решений: . Уравнение для нахождения собственных векторов: при : . Собственный вектор для : , . Комплексное решение системы: . Вещественная и мнимая части комплексного решения: . Общее решение системы: или в скалярной форме Начальные условия: Значения произвольных постоянных: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: II способ. Корни характеристического уравнения: . Вид общего решения (таблица 13.2): Подстановка решения в первое уравнение системы: . Коэффициенты при sinх: Коэффициенты при cosх: Общее решение системы при : Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: Пример. Найти общее решение системы I. Матрица системы Характеристическое уравнение . Корни характеристического уравнения: . Фундаментальная система частных решений: . Общее решение системы: Пример. Найти общее решение системы , , : Характеристическое уравнение: . Корни характеристического уравнения: , , . Собственный вектор для : , , , Собственный вектор для : , , , Собственный вектор для : , , . Фундаментальная система решений: Общее решение системы: |