2020 Л.Р8 Математика (ПС). Конспект лекций по дисциплине математика ( О. 7) для специальности 23. 05. 03 Подвижной состав железных дорог

• Название: Конспект лекций по дисциплине математика ( О. 7) для специальности 23. 05. 03 Подвижной состав железных дорог
• Дата: 02.12.2021
• Размер: 1.75 Mb.
• Имя файла: 2020 Л.Р8 Математика (ПС).docx
• Тип: Конспект лекций; #289607
• страница: 2 из 6

Тема 4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Дифференциальными уравнениями (д.у.) высших порядков называются уравнения

;  ; …,  ,

связывающие независимую переменную x, искомую функцию и её производные (или дифференциалы) порядка выше первого. Если д.у. разрешимо относительно старшей производной, оно может быть представлено в виде . Порядок д.у. n совпадает с порядком старшей производной (дифференциала), входящей в уравнение.

Решением д.у. является функция , дифференцируемая требуемое число раз, подстановка которой в уравнение, обращает его в тождество. Нахождения решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям , ,…, , называется задачей Коши ( – заданные числа).

Общим решением д.у. называется n-параметрическое семейство функций, содержащее произвольные постоянные , такое что

1) функции являются решениями уравнения при любых допустимых значениях произвольных постоянных;

2) для любых допустимых начальных условий существуют единственные значения , при которых функция удовлетворяет начальным условиям

Частное решение д.у. – функция , полученная из общего решения заданием конкретных значений произвольных постоянных С_i, . Решения д.у., представленные в неявном виде, и , называются соответственно общим и частным интегралами д.у.

Понижение порядка уравнения

В таблице 1 приведены основные виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

Таблица 1

Дифференциальное уравнение	Замена
	,
	,

Пример. Найти общее решение уравнения .

,

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: , , .

Замена в уравнении : .

– д.у. с разделяющимися переменными.

Решение д.у. : .

При х = 2 и :

Значение произвольной постоянной: .

.

При х = 2 и : .

Значение произвольной постоянной: .

При х = 2 и :

Значение произвольной постоянной: .

Частное решение д.у.: .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Замена , д.у. : .

Особое решение: р = 0; ; у = С.

– уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение д.у. : .

Общий интеграл д.у. : .

Пример. Найти общее решение уравнения .

; ; .

Тема 5

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

,

где коэффициенты и свободный член – заданные функции. При дифференциальное уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Теорема. Если функции являются частными решениями линейного однородного д.у., то их линейная комбинация
,
также является решением уравнения.

Определение. Функции называются линейно зависимыми, если существуют такие постоянные ₁, ₂,…, _k, не все равные нулю, что выполняется тождество .

Функции являются линейно независимыми, если это тождество возможно только при _1 = _2 =…₌ _k = 0. Для двух функций линейная независимость выражается тождеством , где k – постоянная, или тождеством , где хотя бы один их коэфициентов ₁, ₂ отличен от нуля.

Определителем Вронского называется функциональный определитель (вронскиан) . Если функции , линейно зависимы, то определитель тождественно равен нулю. Если – линейно независимые частные решения линейного д.у. k-го порядка, то определитель Вронского отличен от нуля при любых х.

Фундаментальной системой решений линейного однородного д.у. п-го порядка называется любая совокупность п линейно независимых частных решений уравнения.

Теорема. Общее решение линейного однородного д.у. имеет вид

,

где – фундаментальная система решений (W(x)  0),

– произвольные постоянные.
Пример. Установить линейную зависимость или независимость функций .

Линейная комбинация функций есть многочлен 3-й степени , имеющий не более трёх корней, и обращающийся в ноль тождественно только в случае . Функции линейно независимы.

Пример. Доказать, что , если функции линейно зависимы.

Пусть и один из коэффициентов отличен от нуля, например, . Тогда , , и

.

Прибавляя к первому столбцу определителя второй, умноженный на –₂, и третий, умноженный на –₃, получим определитель с нулевым первым столбцом, который тождественно равен нулю.

Пример. Показать, что при функции линейно независимы.

.

Функции линейно независимы, т.к. при любых значениях х.

Пример. Показать, что общее решение уравнения может быть записано виде .

<sub>При

При</sub>

Определитель Вронского: .

Функции образуют фундаментальную систему частных решений уравнения .

Общее решение д.у.: .

Тема 6

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид у + ру¢ + qу = 0, (р, qR). Подставив в уравнение , , , получим . Учитывая, что при любых х, имеем . Последнее алгебраическое уравнение называется характеристическим. Его корни вычисляются по формуле Возможны три случая.

1. Корни характеристического уравнения вещественные различные: Два частных решения: , образуют фундаментальную систему, т.к. они линейно независимы: .

Общее решение дифференциального уравнения: .

2. Корни характеристического уравнения вещественные равные (кратные):

Общее решение: .

3. Корни характеристического уравнения комплексные сопряжённые:

Общее решение д.у.: .

Для линейного однородного д.у. п-го порядка

составляется характеристическое уравнение
.
Соответствие между корнями характеристического уравнения и частными решениями, образующими фундаментальную систему приведено в таблице 2.

Таблица 2

Корни характеристического уравнения	Частные решения
Простой вещественный корень, 
Вещественный корень кратности r,	,
Пара простых комплексных сопряжённых корней,	,
Пара комплексных сопряжённых корней кратности r, …=	, , , , . . . ,

Пример. Найти общее решение уравнения .

Корни характеристического уравнения : . Общее решение: .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Корни характеристического уравнения : .

Общее решение: .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Корни характеристического уравнения : .

Общее решение: .

Пример. Записать линейное однородное дифференциальное уравнение, общим решением которого является функция .

Корни характеристического уравнения: ₁ = 0, ₂ = –4.

Характеристическое уравнение: ( – ₁) ( – ₂) = 0 или ² + 4 = 0.

Линейное однородное дифференциальное уравнение: у² + 4у¢ = 0.

Пример. Для дифференциального уравнения y^IV + y¢¢¢ + 4y¢ + y = 0 составить характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение: ⁴ +³+4 + 1 = 0.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение: .

Корни характеристического уравнения: ₁ = –1, .

Общее решение д.у.: .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение: .

Корни характеристического уравнения: , .

Общее решение уравнения:

Пример. Доказать, что при комплексных корнях характеристического уравнения функции и образуют фундаментальную систему.

Два частных решения д.у. при комплексных корнях:

,

.

Линейные комбинации , :

и .

– образуют фундаментальную систему решений.

Пример. Доказать, что при кратных корнях характеристического уравнения функции и образуют фундаментальную систему.

При одинаковых корнях характеристического уравнения Одно частное решение имеет вид . Второе частное решение ищется в виде . Подставив в уравнение у – 2ру¢ + qу = 0 функции , , , получим

Второе и третье слагаемые в скобках обращаются в ноль, т.к.  – корень уравнения и . Любое частное решение уравнения задает функцию , например, . – функции и образуют фундаментальную систему.

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения у_о.н. есть сумма любого частного решения этого уравнения у_ч.н. и общего решения соответствующего однородного уравнения у_о.н. = у_о.о. + у_ч.н..

В соответствии с теоремой задача нахождения общего решения линейного неоднородного д.у. сводится к нахождению какого-либо его частного решения у_ч.н. (при известном у_о.о.). Если правая часть уравнения , то частное решение ищется в виде суммы частных решений у_ч.н., отвечающих каждому из слагаемых : .

Пусть . Соответствующее однородное уравнение имеет фундаментальную систему решений и общее решение . Рассмотрим два метода нахождения частного решения у_ч.н..

Метод вариации произвольных постоянных состоит в нахождении частного решения в виде , где функции являются решением системы уравнений Определитель системы есть определитель Вронского , который для функций не обращается в ноль. Система совместна и определена (имеет единственное решение).

Для уравнения п-го порядка
,
частное решение ищется в виде у_ч.н. при общем решении соответствующего однородного уравнения . Система уравнений для нахождения функций имеет вид

Темы 7,8

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов применяется для нахождения частного решения линейного неоднородного д.у., если правая часть уравнения имеет вид где , – многочлены степени п и т соответственно. Частное решение ищется в виде
,
где ,

r – количество совпадений числа с корнями характеристического уравнения,

, – полные многочлены степени k с неопределёнными (буквенными) коэффициентами.

Подстановка у_ч.н., у_ч.н.,…, у⁽ⁿ⁾_ч.н. в исходное уравнение превращает его в тождество и позволяет получить совместную определённую систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов многочленов, .

Частные случаи соответствия правой части д.у., числа  и вида частного решения представлены в таблице 3.
Таблица 3

Правая часть уравнения f(х)		Вид частного решения уч.н.
Аеах	а	xrMeax
(Ах + В)еах	а	xr (Mх + N)eax
(Ах2 + Вх + С)еах	а	xr (Mх2 + Nх + K) eax
А	0	xrM
Ах + В	0	xr (Mх + N)
Ах2 + Вх + С	0	xr (Mх2 + Nх + K)
Acosbх, Вsinbх, Acosbx + Bsinbx	bi	xr(Мcosbх + Nsinbх)
eaxАcosbх, eaxВsinbх, eax (Acosbx + Bsinbx)	a+bi	xreax(Мcosbх + Nsinbх)

Пример. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение уравнения .

Соответствующее однородное уравнение: .

Характеристическое уравнение: .

Корни характеристического уравнения: , .;

Фундаментальная система решений: , .

Общее решение однородного д.у.: .

Частное решение неоднородного д.у.: у_ч.н. .

Система уравнений для нахождения функций :

Решения системы: , .

Искомые функции: ,

.

Частное решение при :

.

Общее решение неоднородного д.у.:

.

Пример. Записать вид частного решения неоднородного д.у., если правая часть этого уравнения и среди корней характеристического уравнения нет нулевого корня.

Число  = 0 не совпадает с корнями характеристического уравнения:r = 0.

Вид частного решения: y_ч.н. = Mх² + Nх + K (строка 6 таблицы 3).

Пример. Установить вид частного решения уравнения у² – 5у¢ = 7х + 8.

Соответствующее однородное уравнение: у² – 5у¢ = 0.

Характеристическое уравнение: ² – 5 = 0.

Корни характеристического уравнения ₁ = 5, ₂ = 0;

Одно совпадение числа  = 0 с корнем характеристического уравнения: r = 1.

Правая часть дифференциального уравнения: f(x) = 7x +8.

Вид частного решения:

y_ч.н. = х(Mx + N) = Mx² + Nх (строка 5 таблицы 3).

Пример. Записать вид частного решения неоднородного д.у., если и среди корней характеристического уравнения есть пара комплексных сопряжённых корней

Число повторений r числа среди корней характеристического уравнения: 1.

Вид частного решения: .

Пример.Найти общее решение дифференциального уравнения

Однородное уравнение:

Характеристическое уравнение: ² + 1 = 0.

Корни характеристического уравнения: , .

Фундаментальная система решений: , .

Общее решение однородного уравнения:

Правая часть дифференциального уравнения: .

Число не совпадает с корнями характеристического уравнения:r = 0.

Вид частного решения:

(строка 7 таблицы 4.3).

Производные частного решения: , .

После подстановки , в уравнение :

M = 0, N = –1.

Частное решение д.у.:

Общее решение д.у.:

Пример. Найти общее решение уравнения .

Однородное уравнение: .

Характеристическое уравнение: ² – 2 + 1 = 0.

Корни характеристического уравнения: , .;

Фундаментальная система решений: .

Общее решение однородного уравнения: .

Правая часть дифференциального уравнения: .

Два совпадения числа с корнями характеристического уравнения: r = 2.

Вид частного решения:

(строка 3 таблицы 3).

Подстановка , в уравнение приводит к равенству , откуда , .

Частное решение: .

Общее решение: .

Пример. Найти решение уравнения ,

удовлетворяющее начальным условиям , .

Однородное уравнение: .

Характеристическое уравнение: ² – 1 = 0.

Корни характеристического уравнения: , .

Фундаментальная система решений: .

Общее решение однородного уравнения: .

Правая часть дифференциального уравнения: .

Число  = 0 не совпадает с корнями характеристического уравнения:r = 0.

Вид частного решения: (строка 6 таблицы 3).

Подстановка , , в уравнение .

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства приводит к системе

Неопределенные коэффициенты: M = –1, N = –2, K = –1.

Частное решение: .

Общее решение: .

Производная общего решения: .

При , :

Значения произвольных постоянных: С₁ = 3, С₂ = –1.

Решения задачи Коши: .

Пример. Найти частное решение уравнения .

, .

Частное решение для f₁(x): .

Частное решение для f₂(x): .

Частное решение для f(x): .

Пример. Найти частное решение уравнения .

Однородное уравнение: .

Характеристическое уравнение: ² + ² = 0.

Корни характеристического уравнения: , .

Правая часть дифференциального уравнения: .

Число  = i совпадает с корнем характеристического уравнения.

Вид частного решения (строка 7 табл. 3):

Производные частного решения:

. Подстановка в уравнение :

.

Значения неопределенных коэффициентов:

Частное решение: .

Пример. Доказать, что если – фундаментальная система решений однородного д.у. , то для неоднородного д.у. решение системы задает частное решение .

Производная :

.

Пусть функции , таковы, что .

Тогда .

Подстановка , в уравнение приводит к равенству

или

Выражения в скобках левой части равенства обращаются в ноль и уравнение принимает вид .