Лекции по физике 1курс полные. Конспект лекций по физике (для всех специальностей) РостовнаДону 2012 удк 531. 383 Учебнометодическое пособие. Конспект лекций по физике (для всех специальностей). Ростов нД Рост гос строит унт, 2012. 103 с

• Название: Конспект лекций по физике (для всех специальностей) РостовнаДону 2012 удк 531. 383 Учебнометодическое пособие. Конспект лекций по физике (для всех специальностей). Ростов нД Рост гос строит унт, 2012. 103 с
• Анкор: Лекции по физике 1курс полные.docx
• Дата: 15.12.2017
• Размер: 1.85 Mb.
• Имя файла: Лекции по физике 1курс полные.docx
• Тип: Конспект лекций; #11640
• страница: 2 из 5

ЧАСТЬ II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Тема 1. Уравнение состояния идеального газа.

Состояние системы задается термодинамическими параметрами – совокупностью физических величин, характеризующих свойства термодинамической системы, например, давлением р, объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния.

Для идеального газа уравнением состояния является уравнение Клапейрона – Менделеева:

,

где m – масса газа, – молярная масса (масса одного моля вещества),

– количество вещества,

R – универсальная газовая постоянная, .

(Идеальным называется такой газ, в котором считается, что собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда, в котором он находится, силы взаимодействия между молекулами газа отсутствуют, а столкновения между молекулами газа абсолютно упругие.)

Исходя из уравнения Клапейрона – Менделеева и понятия концентрации n (n – число молекул в единице объема: , где N – число всех молекул газа), можно получить уравнение состояния идеального газа в ином виде:

, то есть ,

где – постоянная Авогадро – число молекул в одном моле вещества,

, – постоянная Больцмана.

Тема 2. Термодинамические процессы. Изопроцессы.

Любое изменение в системе, связанное с изменением ее термодинамических параметров, называется термодинамическим процессом.

Из уравнения Клапейрона – Менделеева следует, что , то есть для данной массы газа в любом термодинамическом процессе, что является объединенным газовым законом.

Если в термодинамическом процессе один из параметров газа () не изменяется, то такой процесс называется изопроцессом.

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарным. Из объединенного газового закона для изобарного процесса следует:

(уравнение изобарного процесса).

Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорным. Из объединенного газового закона для изохорного процесса следует:

(уравнение изохорного процесса).

Процесс, протекающий при постоянной температуре, называется изотермическим. Для изотермического процесса:

(уравнение изотермического процесса).

Тема 3. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

идеального газа.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа связывает термодинамические параметры газа с параметрами, характеризующими движение его молекул. Так, давление газа, как следствие соударений молекул газа со стенками сосуда, определяется, согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории идеального газа, кинетической энергией поступательного движения молекул газа.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа полагают, что соударения молекул газа со стенками сосуда являются абсолютно упругими. Тогда, при соударении одна молекула газа массой m₀, движущаяся перпендикулярно стенке сосуда со скоростью , передает ей импульс .

Выделив на стенке сосуда элементарную площадку DS (рис. 1), определяют давление газа p на эту площадку. Построив цилиндр с основанием DS и высотой (рис. 1), учитывают, что число молекул, способных за время Dt достигнуть площадки DS соответствует Рис. 1

1/6 части всехN молекул, содержащихся в объеме выделенного цилиндра (, где n – концентрация молекул). Коэффициент 1/6 учитывает, что из всех N молекул, движущихся хаотично вдоль трех (x, y, z) взаимно перпендикулярных направлений, только их 1/6 часть движется по направлению к площадке DS. Тогда число ударов молекул, движущихся в данном направлении, о площадку DS за время Dt будет равно: .

При столкновении с площадкой DS эти молекулы передадут ей импульс DP:

,

что соответствует, согласно второму закону Ньютона, действию силы F:

.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенки сосуда:

.

Однако, молекулы газа движутся с различными скоростями , ,…., что можно учесть в полученной формуле, введя понятие средней квадратичной скорости движения молекул :

, тогда .

Так как , а – средняя кинетическая энергия движения одноатомной молекулы, то получим:

,

где Е – суммарная кинетическая энергия всех молекул газа, .

Таким образом, получены два эквивалентных уравнения:

и ,

связывающие кинематические параметры движения отдельных молекул газа с термодинамическими параметрами газа в целом, каждое из которых называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Из сравнения между собой уравнений и следует, что

,

то есть еще одно уравнение, связывающее термодинамический параметр газа (Т) со средней кинетической энергией молекулы одноатомного газа .

С другой стороны, величина средней кинетической энергии молекул газа определяется температурой газа Т (для случая одноатомного газа):

.

Тема 4. Распределение молекул идеального газа по скоростям.

В газе, находящемся в состоянии равновесия при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. Максвелл установил, что это распределение для идеального газа описывается некоторой функцией , называемой функцией распределения молекул газа по скоростям.

Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные , то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул , имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от до , т. е.

, откуда .

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид этой функции:

,

где – масса одной молекулы газа.

График этой функции приведен на рис. 2.

Рис. 2

Относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от до , соответствует площади заштрихованной на рис. 2 полоски. Площадь под всей кривой распределения равна единице. Это означает, что функция удовлетворяет условию нормировки:

.

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью :

.

Из этой формулы следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 3) смещается вправо. При этом величина максимума функции распределения молекул по скоростям с повышением температуры уменьшается (рис. 3).

Рис. 3

Кроме наиболее вероятной скорости , на рис. 2 приведены также средняя арифметическая скорость молекул и средняя квадратичная скорость молекул , которые определяются по формулам:

; .

Тема 5. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Барометрическая формула определяет зависимость атмосферного давления воздуха от высоты. Молекулы воздуха находятся, с одной стороны, в потенциальном поле сил тяготения Земли, а, с другой – , в состоянии теплового хаотического движения, что приводит к некоторому стационарному состоянию, при котором давление газа с высотой убывает.

Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 4), то на высоте h+dh оно равно p+dp , причем при dh>0 изменение давления dp<0.

Так как dh настолько мало, что при изменении высоты h в этих пределах плотность воздуха можно считать постоянной, то разность давлений:

, то есть .

Рис. 4

Выражение для плотности газа можно получить из уравнения состояния идеального газа , а именно ,

где m – масса газа, – молярная масса газа.

Тогда или .

С изменением высоты от 0 до h давление изменяется от р₀ до р (рис. 4). Поэтому, интегрируя в этих пределах предыдущее уравнение, получим:

, то есть ,

откуда

.

Это выражение называется барометрической формулой, где р₀ – давление на нулевом уровне отсчета высотыh, то есть на уровне, где принято h= 0.

Барометрическую формулу можно преобразовать в зависимость концентрации молекул воздухаn от высоты h, если воспользоваться уравнением состояния идеального газа p=nkT:

,

где n – концентрация молекул воздуха на высоте h,

n₀ – концентрация молекул воздуха на высоте h=0.

Так как (m₀ – масса одной молекулы, – постоянная Авогадро), a , то или .

В этой формуле , где U– потенциальная энергия молекулы массой m₀ , находящейся в поле сил тяготения Земли на высоте h от уровня, на котором потенциальная энергия молекул воздуха принята равной нулю, а концентрация молекул обозначена как n₀. Тогда n соответствует концентрации молекул в том месте, где потенциальная энергия молекулы воздуха равна U. Таким образом, получено распределение молекул по потенциальной энергии в силовом поле (распределение Больцмана).

Тема 6. Явления переноса (диффузия, теплопроводность, вязкость).

В неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос массы, энергии, импульса.

Диффузия обусловлена переносом массы, теплопроводность – переносом энергии, а вязкость – переносом импульса.

Для характеристики необратимых процессов переноса вводятся параметры теплового движения молекул: среднее число соударений молекулы в единицу времени и средняя длина свободного пробега молекул .

Среднее число соударений молекулы за 1 с определяется по формуле:

,

где d – эффективный диаметр молекул, т.е. минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул,

– эффективное сечение молекул, – концентрация молекул,

– средняя арифметическая скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега молекул , т.е. средний путь, проходимый молекулой между двумя последовательными столкновениями:

.

При рассмотрении одномерных явлений переноса система отсчета выбирается так, чтобы ось х была ориентирована в направлении переноса.

1. Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное взаимопроникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. Диффузия сводится к переносу массы, возникает и продолжается до тех пор, пока на границе соприкосновения двух сред градиент плотности отличен от нуля.

Градиент плотности вдоль выбранной оси х, перпендикулярной плоскости соприкосновения двух сред, обозначается как и показывает как быстро изменяется величина плотности от точки к точке вдоль оси х.

Количественно явление диффузии подчиняется закону Фика:

,

где – плотность потока массы, то есть величина, определяемая массой газа, диффундирующего через единичную площадку Sв единицу времени,

– градиент плотности газа в направлении x, перпендикулярном выбранной площадкеS,

D – коэффициент диффузии.

Знак минус в приведенной формуле означает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.

Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа, коэффициент D:

,

где – средняя скорость теплового движения молекул,

– средняя длина свободного пробега молекул.

2. Теплопроводность. Если в одной области газа температура больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, то есть процесс выравнивания температуры. Этот процесс переноса энергии, называемый теплопроводностью, возникает и продолжается до тех пор, пока на границе соприкосновения двух частей газа градиент температуры отличен от нуля.

Градиент температуры Т газа вдоль выбранной оси х, перпендикулярной плоскости соприкосновения двух частей газа, имеющих различную температуру, обозначается как и показывает как быстро изменяется температура газа от точки к точке вдоль оси х.

Количественно теплопроводность подчиняется закону Фурье:

,

где – плотность теплового потока – величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты через единичную площадку S в единицу времени,

– градиент температуры в направлении x, перпендикулярном выбранной площадке S,

– коэффициент теплопроводности.

Знак минус в приведенной формуле означает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры.

Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа, коэффициент

теплопроводности определяется следующим образом:

,

где – удельная теплоемкость газа при изохорном процессе (количество теплоты, необходимое для изохорного нагревания 1 кг газа на 1 К),

– плотность газа,

– средняя скорость теплового движения молекул,

– средняя длина свободного пробега молекул.

3. Вязкость. Вязкость это свойство жидкости или газа, обусловленное внутренним трением между соприкасающимися параллельными слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями. В результате, импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее – увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее. Другими словами, внутреннее трение приводит к переносу импульса от одного движущегося слоя жидкости или газа к другому соприкасающемуся с ним слою.

Количественно сила внутреннего трения между двумя соприкасающимися слоями жидкости или газа подчиняется закону Ньютона:

,

где h – коэффициент динамической вязкости,

– градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости течения жидкости или газа от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев,

S – площадь соприкосновения слоев жидкости или газа, на которые действует сила внутреннего трения F.

Закон Ньютона для внутреннего трения можно представить в виде:

,

где – плотность потока импульса – величина, определяемая импульсом, переносимым в единицу времени через единичную площадкуS соприкосновения слоев жидкости или газа в направлении оси х, перпендикулярном направлению движения слоев жидкости или газа.

Знак минус в приведенной формуле означает, что импульс переносится от слоя к слою жидкости (газа) в направлении убывания скорости их движения.

Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа, коэффициент

динамической вязкости идеального газа h определяется следующим образом:

,

где – плотность газа,

– средняя скорость теплового движения молекул,

– средняя длина свободного пробега молекул.

Тема 7. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия. Работа. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.

Внутренней энергией газа U называется сумма кинетической энергии хаотического (теплового) движения всех молекул газа и энергии взаимодействия молекул газа между собой. Для идеального газа внутренняя энергия – это только кинетическая энергия всех молекул газа.

Внутренняя энергия идеального газа определяется числом степеней свободы его молекул и температурой газа.

Числом степеней свободы i механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть однозначно задано положение системы в пространстве.

Согласно закону о равнораспределении энергии по степеням свободы молекул для термодинамической системы, находящейся в равновесии, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная , а на каждую колебательную степень свободы – в среднем энергия, равная kT.Колебательная степень «обладает» вдвое большей энергией потому, что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), но и потенциальная, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы.

Таким образом, средняя кинетическая энергия молекулы:

,

где i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:

.

Внутренняя энергия N молекул идеального газа:

Так как число молекул газа (N_А – число Авогадро) , где ,

то, с учетом соотношения , получим:

.

Изменение внутренней энергии ∆U при изменении температуры от Т₁до Т₂:

, где = Т₂ – Т₁ .

Внутреннюю энергию газа можно увеличить за счет сообщения ему некоторого количества теплоты , которое может быть израсходовано также и на совершение механической работы А по расширению газа. При этом соблюдается закон сохранения и превращения энергии. Применительно к термодинамическим процессам это и есть первое начало термодинамики: количество теплоты , сообщаемое термодинамической системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии ∆U и на совершение механической работы А против внешних сил:

.

Работа А, совершаемая газом при изменении его объема от V₁ до V₂:

,

где – элементарная работа при изменении объема газа на .

Работа газа при изопроцессах.

1. Изобарный процесс (p= const). При изобарном процессе работа газа при увеличении объема от V₁ до V₂ равна:

,

а первое начало термодинамики для изобарного процесса примет вид:

.

2. Изохорный процесс (V = const). При изохорном процессе газ не совершает работы против внешних сил, то есть А=0, а первое начало термодинамики для изохорного процесса примет вид:

.

т. е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на увеличение его внутренней энергии.

3. Изотермический процесс (T=const). Работа при изотермическом расширении газа:

.

Так как при постоянной температуре внутренняя энергия идеального газа не изменяется, то первое начало термодинамики для изотермического процесса:

,

то есть все количество теплоты Q, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы Aпротив внешних сил.

Тема 8. Теплоемкость газа при изопроцессах. Уравнение Майера.

Теплоемкостью тела называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на 1 К.

Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:

.

Молярная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1 К:

, откуда .

Различают теплоемкости газа при изохорном и изобарном процессах.

1. Молярная теплоемкость газа при изохорном процессе .

Для изохорного процесса первое начало термодинамики:

.

Следовательно , откуда .

2. Молярная теплоемкость газа при изобарном процессе .

Для изобарного процесса первое начало термодинамики:

.

Так как для изобарного процесса ,

то ,

откуда .

Уравнение Майера.

Сравнение между собой С_р и С_V приводит к уравнению Майера:

.

Это уравнение показывает, что С_р больше, чем С_V на величину универсальной газовой постоянной R. Это объясняется тем, что при изобарном нагревании газа, в отличие от изохорного нагревания, требуется дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа.

Таким образом, молярная теплоемкость газа определяется лишь числом степеней свободы и не зависит от температуры. Это утверждение справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры.

Тема 9. Адиабатический процесс.

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой. При адиабатическом процессе изменяются все термодинамические параметры (р, V, Т) в соответствии с уравнением Пуассона:

,

где – коэффициент Пуассона, равный отношению молярных теплоемкостей .

Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса в переменных р и V.

Для перехода от переменных р и V к переменным V, Т или p, Т при описании адиабатического процесса используется уравнение Клапейрона — Менделеева:

.

В результате соответствующие уравнения адиабатического процесса:

в переменных V и Т ,

в переменных р и Т .

Работа газа при адиабатическом процессе.

Из первого начала термодинамики () для адиабатического процесса () следует, что .

Если газ адиабатически расширяется от объема V₁ до объема V₂ , то его температура уменьшается от T₁ до T₂ и работа расширения идеального газа:

.

Используя уравнение адиабатического процесса в переменных V и Т , то есть полученное выражение для работы А при адиабатическом расширении газа можно преобразовать к иному виду, отражающему адиабатическое изменение объема газа от величины V₁ до величины V₂ :

.

Тема 10. Обратимый и необратимый процессы. Круговой процесс. Тепловая машина и цикл Карно.

Термодинамический процесс называется обратимым, если он может проходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс проходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении, и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым.

Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние.

Тепловая машина – это устройство для преобразования теплоты в работу.

Принцип действия тепловой машины приведен на рис. 5. От термостата с более высокой температурой Т₁ , называемого нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q₁ , а термостату с более низкой температурой Т₂ , называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q₂ , при этом совершается работа: А = Q₁ – Q₂.

Французский физик Карно рассмотрел обратимый циклический процесс, состоящий из чередования двух изотермических и двух адиабатических процессов (рис. 6). В цикле Карно в качестве рабочего тела используется идеальный газ, находящийся в цилиндре с подвижным поршнем.

Рис. 5 Рис. 6

График цикла Карно в координатах р и V изображен на рис. 6, где изотермическим расширению и сжатию соответствуют кривые 1–2 и 3–4, а адиабатическим расширению и сжатию – кривые 2–3 и 4–1. При изотермическом процессе U=const, поэтому количество теплоты Q₁, полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А₁₂, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

.

При адиабатическом расширении 2–3 работа А₂₃ совершается за счет изменения внутренней энергии:

.

Количество теплоты Q₂ , отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия А₃₄ :

.

Работа адиабатического сжатия:

.

Работа, совершаемая в результате кругового процесса:

,

Термический коэффициент полезного действия цикла Карно можно определить по формуле:

или , то есть

к.п.д. тепловой машины, работающей по циклу Карно, определяется только температурами нагревателя Т₁ и холодильника Т₂ .

ЧАСТЬ III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО и МАГНЕТИЗМ

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Тема 1. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля

Электростатическое поле – это особый вид материи, с помощью которой происходит взаимодействие заряженных тел.

Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами q₁ и q₂ прямопропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

,

где (e₀ – электрическая постоянная);

e – диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме.

Кулоновская сила направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие точечные заряды, соответствует притяжению в случае разноименных зарядов и отталкиванию в случае одноименных зарядов. Электрические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами, называются электростатическими.

Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля можно использовать пробный точечный зарядq₀ . Если этот заряд поместить в какую- либо точку электростатического поля,то на него будет действовать сила , величина и направление которой определяет силовую характеристику электростатического поля, носящую название напряженности электростатического поля.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина , определяемая силой, действующей на пробный точечный положительный зарядq₀ , помещенный в эту точку поля, то есть:

.

Напряжённость электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q в любой точке поля, находящейся на расстоянии r от этого заряда:

.

Электростатическое поле может быть изображено графически с помощью силовых линий. Силовая линия — это такая линия, касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению с вектором напряженности электростатическго поля в данной точке (рис. 1, 2).

Рис. 1 Рис. 2

Если поле создается точечным зарядом, то силовые линии – это радиальные прямые, выходящие из положительного заряда (рис. 2, а), и входящие в отрицательный заряд (рис. 2, б).

С помощью силовых линий можно характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, связывая её с густотой силовых линий. Большей густоте силовых линий соответствует большая величина напряженности (рис. 1, 2). Количественно числу силовых линий, пронизывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно силовым линиям, ставится в соответствие величина напряженности электростатического поля. В этом случае определенному заряду q, создающему поле, соответствует определенное число N силовых линий, выходящих (для ) из заряда или входящих (для ) в заряд, а именно: .

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную площадку S характеризуется числом силовых линий, пронизывающих данную площадку S.

Если площадкаSперпендикулярна силовым линиям (рис. 3), то поток Ф_Е вектора напряженности через данную площадку S: .

α

S

S

Рис. 3 Рис. 4


Рис. 3
Если же площадкаSрасположена неперпендикулярно силовым линиям электро-статического поля (рис. 4), то поток вектора через данную площадку S:

,

где α – угол между векторами напряженности и нормали к площадке S.

dS

α

S

Рис. 5

Для того, чтобы найти поток Ф_Е вектора напряженности через произвольную поверхность S, необходиморазбить эту поверхность на элементарные площадки dS(рис. 5),определить элементарный поток dФ_Е через каждую элементарную площадку dS по формуле: ,

а затем все эти элементарные потоки dФ_Е сложить, что приводит к интегрированию:

,


Рис. 7
где α – угол между векторами напряженности и нормали к данной элементарной площадке dS.

Если ввести вектор (рис. 5) как вектор, равный по величине площади площадки dS и направленный по вектору нормали к площадке dS, то величина , где a – угол между векторами и может быть записана в виде скалярного произведения векторов и , то есть, как , а полученное соотношение для потока вектора примет вид:

.

Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля. Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля связывает между собой величину потока Ф_Е вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность S с величинойзаряда q, заключенного внутри данной замкнутой поверхности S (рис. 6).

Рис. 6
q

S

Поскольку все силовые линии, выходящие из заряда (для ) или входящие в заряд (для ), пронизывают произвольную замкнутую поверхность S, охватывающую этот заряд (рис. 6), то величина потока Ф_Е вектора напряженности электростатического поля через эту произвольную замкнутую поверхность Sбудет определяться числом N силовых линий, выходящих из заряда (для ) или входящих в заряд (для ):

.

Это соотношение есть теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля.

Так как поток считается положительным, если силовые линии выходят из поверхностиS, и отрицательным для линий, входящих в поверхностьS, то в случае, если внутри произвольной замкнутой поверхностиS находится не один, а несколько (n) разноименных зарялов, то теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля формулируется следующим образом:

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e₀:

.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены внутри объёма, ограниченного замкнутой поверхностьюS, с некоторой объемной плотностью (), различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри этой замкнутой поверхности S, охватывающей объем V,равен: .

В таком случае теорема Остроградского - Гаусса приобретает вид:

.

Напряженность электростатического поля зависит от диэлектрических свойств среды. В диэлектрике напряженность поля меньше, чем напряженностьвнешнего электростатического поля в вакууме, в котором находится диэлектрик, в e раз (e – диэлектрическая проницаемость среды), а модуль вектора , переходя через границу диэлектриков, скачкообразно изменяется. Поэтому для характеристики электростатического поля, кроме вектора напряженности , введен вектор электрического смещения , модуль которого не изменяется при переходе из одной диэлектрической среды в другую.

Вектор электрического смещения по определению: .

Используя то, что в вакууме , теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля может быть переформулирована следующим образом:

,

то есть поток вектора смещения электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов.

В случае, если электрические заряды распределены внутри объёма V, ограни-ченного замкнутой поверхностьюS, с некоторой объемной плотностью , теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля может быть переформулирована сдедующим образом:

.

Тема 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал

Если в электростатическом поле, создаваемом точечным зарядом q, перемещается другой пробный заряд q₀ из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 7), то при этом совершается работа сил электростатического поля.

Элементарная работаdA силы на элементарном перемещении равна:

.

Из рисунка 7 видно, что .

Тогда ().


Рис. 7
Работа А при перемещении заряда q₀ вдоль траектории от точки 1 до точки 2:
,

то есть работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 в электростатическом поле не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной (1) и конечной (2) точек, то есть электростатическое поле точечного заряда является потенциальным.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q₀из точки 1 в точку 2, выражается следующим образом:

,

где φ₁ и φ₂ – потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2.

Потенциал электростатического поля определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной С, то есть для поля точечного зарядаq:

.

Тогда , .
Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой , совершаемой силами поля, при перемещении пробного точечного положительного заряда q₀из точки 1 в точку 2 :

.

Если считать, что при удалении на бесконечность потенциал электростатического поля обращается в нуль (φ_∞=0), то потенциал φ₁ в данной точке поля можно определить следующим образом:

,

то есть потенциал j в данной точке поля равен работе сил электростатического поля при перемещении точечного положительного единичного заряда из данной точки поля на бесконечность.

Циркуляцией вектора напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру L называется интеграл

.

Для того, чтобы найти циркуляцию вектора напряженности по произвольному замкнутому контуру L, необходимо выбрать направление обхода контура, разбить этот контурL на элементы , для каждого элемента рассчитать величину (a – угол между векторами и ), а затем все эти величины сложить, что приводит к искомому интегралу.

Однако для электростатического поля циркуляция вектора напряженности по произвольному замкнутому контуру L может быть легко получена из формулы работы, совершаемой силами электростатического поля при перемещении пробного заряда q₀по произвольному замкнутому контуру L.
С одной стороны, эта работа равна:

,

а с учетом того, что эта работа равна:

.

С другой стороны, эта работа может быть определена с помощью формулы:

,

из которой следует, что для произвольного замкнутого контура эта работа равна нулю, так как . Тогда и циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L тоже равна нулю, то есть:

.

Величина , где a – угол между векторами и может быть записана в виде скалярного произведения векторов и , то есть, как , а полученное соотношение для циркуляции вектора примет вид:

.

Полученное соотношение является признаком потенциального силового поля. Обращение в нуль циркуляции вектора означает, что силовые линии электростатического поля не являются замкнутыми, они начинаются и заканчиваются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность, что также является свойством потенциального силового поля.

Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

Напряженность и потенциал φ электростатического поля связаны между собой следующим образом:

= – grad φ или , где

– единичные векторы координатных осей Ох, Оy, Оz, соответственно.

Знак минус в приведенной формуле означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону максимального убывания потенциала j .

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля используются эквипотенциальные поверхности, то есть поверхности, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.


Рис. 8
Например, для поля, созданного точечным зарядом q, потенциал j определяется выражением: , а эквипотенциальными поверхностями являются концентрические сферы (рис. 8). Из этого рисунка видно, что в случае точечного заряда силовые линии поля (штриховые линии) нормальны к эквипотенциальным поверхностям.

Это свойство нормального взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей поля является общим для любых случаев электростатического поля. То есть, зная расположение силовый линий электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно построить силовые линии электростатического поля.