Конспект лекций по курсу Электронные промышленные устройства Смоленск 2006 2
 Скачать 1.23 Mb.
|
|
Режекторные фильтры (полосно-заграждающие). Режекторные фильтры не пропускают (задерживают) сигналы, лежащие в некоторой полосе частот, и пропускают сигналы с другими частотами. Изобразим амплитудно-частотную характеристику для идеального (нереализуемого) фильтра (рис. 1.8, а) и одну из типичных реальных харак- теристик (рис. 1.8, б). Рис. 1.8. АЧХ режекторных фильтров Всепропускающие фильтры (фазовые корректоры). Эти фильтры пропускают сигналы любой частоты. Построим соответствующую амплитудно-частотную характери- стику (рис. 1.9). Такие фильтры используются в электронных системах для того, чтобы 10 изменить с той или иной целью фазочастотную характеристику всей системы. Рис. 1.9. АЧХ фазового корректора Исходя из приведенного выше математического описания фильтров (см. (1), (2)), нетрудно сделать вывод, что ход амплитудно-частотной характеристики на достаточном удалении от полосы пропускания прямо определяется порядком фильтра. Этот факт хо- рошо иллюстрируют амплитудно-частотные характеристики, выполненные в логарифми- ческом масштабе. Рассмотрим указанные характеристики для некоторых фильтров раз- личного порядка, имеющих одинаковые коэффициенты усиления на нулевой частоте, равные 100 (рис. 1.10). Рис. 1.10. ЛАЧХ ФНЧ различных порядков Из математического описания следует, что на достаточном расстоянии от полосы пропускания наклон характеристики равен -20n дБ/дек, где n — порядок фильтра. На- клон -20 дБ/дек означает, что увеличение частоты в 10 раз приводит к уменьшению ко- эффициента усиления в 10 раз, а наклон -40 дБ/дек означает, что увеличение частоты в 10 раз приводит к уменьшению коэффициента усиления в 100 раз. Из изложенного следует, что если необходимо обеспечить более быстрое измене- ние коэффициента усиления на удалении от полосы пропускания, то следует увеличить порядок фильтра (но при этом схема фильтра усложняется). 1.3. Классификация фильтров по особенностям полиномов, входящих в передаточные функции Рассмотрим эту классификацию на примере фильтров нижних частот. Свойства 11 фильтров сильно зависят от того, какими полиномами описываются их передаточные функции, или, другими словами, от того, как расположены нули и полюсы на комплекс- ной плоскости. Указанные особенности математического описания определяют ход ам- плитудно-частотных характеристик в полосе пропускания и в переходной полисе. Ход характеристик на удалении от полосы пропускания, как уже отмечалось, определяется порядком фильтра. На практике широко используются фильтры, отличающиеся характерными особен- ностями полиномов передаточных функций. Это фильтры Баттерворта, Чебышёва, Бес- селя (Томсона). Для фильтров Баттерворта характерно то, что полюсы лежат на полуокружности в левой половине s-плоскости. Полюсы фильтра Чебышёва расположены на части эллип- са. Полюсы фильтра Бесселя расположены на окружности, центр которой находится на дейсвительной оси в правой полуплоскости. Сказанное иллюстрируется на рис. 1.11. Ха- рактер расположения полюсов определяет следующие особенности этих фильтров. Фильтры Баттерворта характеризуются наиболее плоской амплитудно-частотной характеристикой в полосе пропускания. Это их достоинство. Но в переходной полосе указанные характеристики спадают плавно, недостаточно резко. Фильтры Чебышёва отличаются резким спадом амплитудно-частотных характери- стик в переходной полосе, но в полосе пропускания эти характеристики не являются плоскими. Рис. 1.11. Расположение полюсов (нормированных по частоте среза) на комплексной плоскости для фильтров НЧ на основе различных полиномов Фильтры Бесселя характеризуются очень пологими участками амплитудно- частотных характеристик в переходной полосе, еще более пологими, чем у фильтров Баттерворта. Их фазочастотные характеристики достаточно близки к идеальным, соот- 12 ветствующим постоянному времени замедления, поэтому такие фильтры мало искажают форму входного сигнала, содержащего несколько гармоник. Изобразим амплитудно-частотные характеристики фильтров указанных типов в различных масштабах (рис. 1.12, 1.13). Предположим, что все фильтры имеют одинако- вый порядок и близкие коэффициенты усиления в полосе пропускания. Для того чтобы характеристики были особенно наглядными, воспользуемся линейным масштабом. а) б) Рис. 1.12. АЧХ (а) и переходные (б) характеристики фильтров на основе различных полиномов а) б) Рис. 1.13. АЧХ различных фильтров в линейном (а) и логарифмическом (б) масштабах: 1 — фильтр Бесселя, 2 — фильтр Баттерворта, 3 — фильтр Чебышева Полезно выполнить сравнение типов фильтров и по их переходным характеристи- кам (т. е. во временной области). На рис. 1.12, б показаны типичные переходные харак- теристики фильтров, т. е. временные диаграммы выходных напряжений при подаче на вход скачка напряжения. Из рисунка следует, что во временной области фильтр Бесселя имеет наилучшие свойства, фильтр Чебышёва — наихудшие свойства, а фильтр Бат- терворта по своим свойствам занимает промежуточное положение. 1.4. Подробная информация по типам фильтров Идеальная форма АЧХ фильтров всех четырех типов показана на рис. 1.5-1.8, а. Однако такая идеальная (прямоугольная) форма АЧХ не может быть физически 13 реализована. Поэтому в теории аналоговых фильтров разработан ряд методов аппрок- симации прямоугольных АЧХ. Функции, реализующие эти методы, будут рассмотрены ниже. Кроме того, рассчитав ФНЧ, можно несложными преобразованиями изменить его частоту среза, превратить его в ФВЧ, полосовой либо режекторный фильтр с заданными параметрами. Поэтому расчет аналогового фильтра начинается с расчета так на- зываемого фильтра-прототипа, представляющего собой ФНЧ с частотой среза, равной 1 рад/с. Далее применяются функции преобразования частоты среза и преоб- разования типов фильтров, которые также будут рассмотрены ниже. 1.4.1. Фильтр Баттерворта Функция передачи фильтра-прототипа Баттерворта (Butterworth filter) не имеет ну- лей, а ее полюсы равномерно расположены на s-плоскости в левой половине окружно- сти единичного радиуса (см. рис. 1.11). Благодаря такому размещению полюсов формула для АЧХ фильтра Баттерворта оказывается очень простой: ( ) ( ) n n С U u F F 2 2 1 1 ; 1 1 + = + = ω ω ω (3), где ω С — частота среза (для фильтра-прототипа она равна 1 рад/с), n — порядок фильтра, а С j U ω ω ⋅ = — нормированная комплексная частота. Несложно показать, что для того, чтобы модуль коэффициента передачи для звена 2-го порядка вычислялся согласно (3), нормированная комплексная передаточная функ- ция ФНЧ должна быть следующей: ( ) 1 2 1 2 + ⋅ + = U U U F (4). Отметим, что здесь и далее для других типов фильтров, нормированная переда- точная функция ФНЧ может рассматриваться и как передаточная функция ФНЧ- прототипа F(s) с частотой среза s C =j ω C =1 рад/c. Коэффициент передачи на нулевой частоте равен 1, а на частоте среза независимо от порядка фильтра составляет 2 1 ≈ 0,707, что соответствует затуханию на -3 дБ. При ω→∞ АЧХ стремится к нулю. АЧХ фильтра Баттерворта (см. рис. 1.14, б) является максимально плоской при ω =0 и ω→∞ . Это означает, что в данных точках равны нулю 2n-1 производных АЧХ по частоте. В целом АЧХ монотонно спадает от единицы до нуля при изменении частоты от ну- 14 ля до бесконечности. На рис. 1.11 показано расположение полюсов фильтра Баттерворта 5-го порядка на комплексной плоскости, а нас рис. 1.14, б — АЧХ. а) Идеальный ФНЧ б) ФНЧ Баттерворта в) ФНЧ Чебышева г) ФНЧ Чебышева инверсный д) ФНЧ Эллиптический д) ФНЧ Бесселя Рис. 1.14. Нормированные АЧХ фильтров нижних частот 5-го порядка 1.4.2. Фильтр Чебышева первого рода Функция передачи фильтра Чебышева первого рода (Chebyshev type I filter) также не имеет нулей, а ее полюсы расположены в левой половине эллипса на s-плоскости (см. рис. 1.11, а). АЧХ фильтра Чебышева первого рода описывается следующим образом: ( ) ( ) ( ) U T U F T F n С n 2 2 2 2 1 1 ; 1 1 ε ω ω ε ω + = + = (5). Здесь ω С — частота среза (для фильтра-прототипа она равна 1 рад/с), Т n (U) — полином Чебышева n -го порядка, n — порядок фильтра, ε — параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания, ω С — частота среза, С j U ω ω ⋅ = — нормированная комплексная частота. Полином Чебышева Т n (х) при х<1 колеблется в диапазоне -1... +1, а при х >1 не- ограниченно возрастает по абсолютной величине. Поэтому АЧХ фильтра Чебышева первого рода в полосе пропускания (при | ω |< ω С ) колеблется между значениями 2 1 1 ε + и 1, а вне полосы пропускания (при | ω |> ω С ) монотонно затухает до нуля (см. 15 рис. 1.14, в). Коэффициент передачи на нулевой частоте равен 1 при нечетном порядке фильтра и 2 1 1 ε + — при четном. На частоте среза коэффициент передачи фильтра равен 2 1 1 ε + , то есть уровню пульсаций АЧХ в полосе пропускания. При ω→∞ АЧХ стремит- ся к нулю. По сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка фильтр Чебышева обеспе- чивает более крутой спад АЧХ в области перехода от полосы пропускания к полосе за- держивания. Значение параметра ε и уровень пульсаций R p (в децибелах) связаны следующим образом: ( ) ( ) дБ R P 2 2 1 lg 10 1 lg 20 ε ε + ⋅ = + ⋅ = , 1 10 10 − = P R ε . При ω→∞ АЧХ фильтра Чебышева первого рода является максимально плоской. О синтезе Чебышевских звеньев ФНЧ. Как видно из (5), полюсы коэффициента передачи чебышевского ФНЧ являются корнями уравнения: ( ) 0 1 2 2 = + U T n ε Метод его решения довольно громоздок и с ним читатель можно ознакомиться в литературе. Практические расчеты выполняют так. Прежде всего вычисляют параметр: + + ⋅ = ⋅ = 1 1 1 1 1 1 2 ε ε ε n arsh n a . Затем находят полюсы передаточной функции фильтра Баттерворта того же по- рядка и с той же частотой среза. Чтобы перейти к полюсам передаточной функции че- бышевского фильтра, абсциссу каждого полюса фильтра Баттерворта умножают на sh(а), а ординату — на ch(a). В то время как полюсы фильтра Баттерворта располагаются на единичной окруж- ности, полюсы фильтра с чебышевской характеристикой лежат на эллипсе, уравнение которого в плоскости s н = σ н + j ω н имеет вид: 1 2 2 = + cha sha н н ω σ . Получив координаты полюсов, можно записать выражение передаточной функции чебышевского ФНЧ: Найдем передаточную функцию чебышевского ФНЧ 2-го порядка с параметром 16 ε =1. Здесь ( ) 4407 0 2 1 ln 2 1 = + ⋅ = a . Соответствующий фильтр Баттерворта имеет передаточную функцию с двумя по- люсами (см. (4)): U Б1 = 0.707(–1 + j), U Б2 = 0.707(–1 – j). Абсциссы полюсов передаточной функции чебышевского фильтра будут равны — 0.707 ⋅sh(a) = –0.322; ординаты полюсов составят ±0.707⋅ch(a)= ±0.777. U Ч1 = –0.322+0.777j, U Ч2 = –0.322–0.777j. Передаточная функция нормированного чебышевского ФНЧ 2-го порядка с уровнем пульсаций 3 дБ ( ε =1): ( ) 70711 0 64359 0 70711 0 2 + ⋅ + = U U U F (6). Из этого примера видно, что переход от максимально-плоской к чебышевской ха- рактеристике осуществляется путем приближения полюсов к мнимой оси; перемещение их по вертикали незначительно. С физической точки зрения это означает, что колеба- тельная система, образующая чебышевский фильтр, должна обладать меньшим затуха- нием. На рис. 1.11 показано расположение на комплексной плоскости полюсов фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка с уровнем пульсаций 0,5 дБ, а на рис. 1.14, в — его АЧХ и ФЧХ. 1.4.3. Фильтр Чебышева второго рода Функция передачи фильтра Чебышева второго рода (Chebyshev type II filter), в от- личие от предыдущих случаев, имеет и нули, и полю- сы (рис. 1.15). Она связана с функцией передачи фильтра Чебышева первого рода следующим обра- зом: ( ) − = s H s H 1 1 1 2 . Здесь H 1 (s) и H 2 (s) — функции передачи фильт- ров-прототипов Чебышева первого и второго рода со- ответственно. Полюсы функции передачи фильтров- прототипов Чебышева первого и второго рода (s 1i , s 2i ,…s Ni и s 1 , s 2 , s N соответственно) связаны друг с другом соотношением: Рис. 1.15. Расположение полюсов и нулей инверсного фильтра Чебышева 17 1 1 1 s s i = ; 2 2 1 s s i = ; N Ni s s 1 = . По этой причине фильтры Чебышева второго рода называют еще инверсными фильтрами Чебышева (inverse Chebyshev filter). АЧХ фильтра Чебышева второго рода описывается следующим образом: ( ) ( ) ε ε ε ω ω ε ω 1 ; 1 1 1 ; 1 1 2 2 2 2 = + = + = i n i C n i U T U K T j K (7). Здесь ω С — частота среза, Т n (х) — полином Чебышева n-го порядка, n — порядок фильтра, ε i — параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе задержива- ния. В результате указанного выше преобразования функции передачи АЧХ фильтра Чебышева второго рода ведет себя следующим образом: в полосе пропускания она мо- нотонно затухает, а в полосе задерживания колеблется между нулем и значением 2 1 1 i ε + (рис. 1.14, г). ВНИМАНИЕ Частотой среза фильтра Чебышева второго рода считается не конец полосы про- пускания, а начало полосы задерживания. Коэффициент передачи фильтра на нулевой частоте равен 1, на частоте среза — заданному уровню пульсаций в полосе задерживания. При ω→∞ коэффициент переда- чи равен нулю при нечетном порядке фильтра, и уровню пульсаций — при четном. Значение параметра ε и уровень пульсаций R S , (в децибелах) связаны следующим образом: ( ) ( ) 1 10 ; 1 lg 10 1 lg 20 10 2 2 − = + ⋅ = + ⋅ = S R i i i S дБ R ε ε ε . При ω =0 АЧХ фильтра Чебышева второго рода является максимально плоской. На рис. 1.14, г показана АЧХ фильтра Чебышева второго рода 5-го порядка с уров- нем пульсаций в полосе задерживания 20 дБ, на рис. 1.15 — расположение нулей и по- люсов на комплексной плоскости. 1.4.4. Эллиптический фильтр Эллиптические фильтры (фильтры Кауэра; английские термины — elliptic filter, Cauer filter) в некотором смысле объединяют в себе свойства фильтров Чебышева пер- вого и второго рода, поскольку АЧХ эллиптического фильтра имеет пульсации заданной величины как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания (рис. 1.14, д). За счет этого удается обеспечить максимально возможную (при фиксированном порядке фильт- 18 ра) крутизну ската АЧХ, то есть переходной зоны между полосами пропускания и задер- живания. Функция передачи эллиптического фильтра имеет как полюсы, так и нули. Нули, как и в случае фильтра Чебышева второго рода, являются чисто мнимыми и образуют ком- плексно-сопряженные пары (рис. 1.16). Количество нулей функции передачи равно мак- симальному четному числу, не превосходящему порядка фильтра. АЧХ эллиптического фильтра описывается сле- дующей формулой: ( ) + = L R j K C n , 1 1 2 2 ω ω ε ω (8). Здесь ω С — частота среза, n — порядок фильтра, R n (...) — эллиптическая функция Якоби n -го порядка, ε и L — параметры, определяющие величину пульсаций в полосах пропускания и задерживания. Теория эллиптических функций очень сложна и здесь не рассматривается. Заметим только, что при вычислении полюсов передаточной функции необходимо обращаться к эллиптическим интегралам, для вычисления которых в программах синтеза фильтров используются численные методы. На рис. 1.14, д приведена АЧХ эллиптического фильтра 5-го порядка с уровнем пульсаций в полосе пропускания 0,5 дБ и в полосе задерживания 20 дБ, а на рис. 1.16 — — расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости. |