Конспект лекций по курсу Электронные промышленные устройства Смоленск 2006 2
 Скачать 1.23 Mb.
|
|
1.4.5. Фильтр Бесселя В отличие от фильтров предыдущих типов, фильтры Бесселя (Bessel filter) не ап- проксимируют прямоугольную АЧХ — их АЧХ (рис. 1.14, е) по форме близка к гауссовой кривой (точнее, стремится к ней с ростом порядка фильтра). Практическая ценность фильтров Бесселя определяется тем, что для них зависимость группового времени за- держки от частоты является максимально гладкой в точке ω =0 и групповая задержка очень мало меняется в полосе пропускания. Функция передачи фильтра Бесселя имеет только полюсы, лежащие на окружности с центром в положительной области вещественной оси (рис. 1.11). Сама функция пере- дачи имеет следующий вид: ( ) ∑ = ⋅ = n k k k s d d s H 0 0 (9). Коэффициенты полинома знаменателя рассчитываются по следующей формуле: ( ) ( ) ! ! 2 ! 2 k n k k n d k n k − ⋅ ⋅ − = − . Рис. 1.16. Полюсы и нули эллиптического фильтра 19 Для нормированного ФНЧ Бесселя 2-го порядка несложно получить: ( ) 3 3 3 2 + ⋅ + = U U U F (10). На рис. 1.11 показано расположение на комплексной плоскости нулей и полюсов фильтра Бесселя 5-го порядка, а на рис. 1.14, е — его АЧХ. 1.4.6. Преобразования фильтров-прототипов Как показывают соотношения (4), (6), (10), общий вид передаточных характеристик нормированных ФНЧ 2-го порядка Батерворта, Чебышева и Бесселя: c U b U a U F + ⋅ + = 2 ) ( (11), где а, b, c — действительные коэффициенты, имеющие определенные значения для каждого типа фильтра. Следующий этап после расчета фильтра-прототипа — его преобразование с целью получения фильтра заданного вида с требуемыми частотами среза. Существует 4 типа преобразований ФНЧ-прототипа: • изменение частоты среза ФНЧ (low-pass); • преобразование ФНЧ в ФВЧ (high-pass); • преобразование ФНЧ в полосовой фильтр (band-pass); • преобразование ФНЧ в режекторный фильтр (band-stop). Все эти функции могут преобразовывать фильтры, заданные двумя способами — в виде коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи либо в пространстве состояний. Различаются эти два варианта по числу входных и выходных параметров. Изменение частоты среза ФНЧ Изменение частоты среза ФНЧ-прототипа сводится к простому масштабированию частотной оси и выполняется путем следующей замены переменной s в выражении для функции передачи: C C F s s s π ω 2 = ← , где F C — требуемая частота среза ФНЧ. Преобразование ФНЧ в ФВЧ Преобразование ФНЧ-прототипа в ФВЧ требует инверсии частотной оси и выпол- няется путем следующей замены переменной s в выражении для функции передачи: 20 s F s s C C π ω 2 = ← где ω С — требуемая частота среза ФВЧ. Рассмотрим преобразование звена НЧ фильтра 2-го порядка в ФВЧ для нормиро- ванной частоты U. В этом случае в нормированную характеристику ФНЧ (11) необходи- мо подставить вместо U — 1/U: 1 1 ) ( 2 2 2 + ⋅ + ⋅ ⋅ = + + = U b U c U a c U b U a U F ВЧ (12). Преобразование ФНЧ в полосовой фильтр Преобразование ФНЧ-прототипа в полосовой фильтр требует более сложной трансформации частотной оси, чем в предыдущих случаях. Так, нулевая и бесконечная частоты должны преобразовываться в бесконечное значение на частотной оси ФНЧ- прототипа (там, где его коэффициент передачи стремится к нулю). Частоты, соответст- вующие краям требуемой полосы пропускания, должны после преобразования давать значения ±1, равные частоте среза ФНЧ-прототипа. Наконец, преобразование должно выполняться с помощью дробно-рациональной функции, чтобы сохранить дробно- рациональную структуру функции передачи. Перечисленным требованиям удовлетворяет следующая замена переменной s : C C s s Q s ω ω 1 2 + ⋅ ← , где 2 1 ω ω ω = C , 1 2 ω ω ω − = C Q , ω 1 и ω 2 — соответственно нижняя и верхняя гра- ницы (круговые частоты) полосы пропускания фильтра. В терминологии программы MC8 C C F ⋅ ⋅ = π ω 2 PB F Q C = , где F C — центральная частота полосы пропускания в Гц, PB = F 2 -F 1 — полоса пропускания фильтра в Гц. ВНИМАНИЕ Обратите внимание на то, что средняя частота полосы пропускания — это среднее геометрическое, а не среднее арифметическое частот среза: 2 1 ω ω ω = C Следует обратить внимание на то, что характеристики фильтра несимметричны — они сжаты слева и растянуты справа. Если проанализировать формулу замены пере- менной, использованную для преобразования ФНЧ в полосовой фильтр, окажется, что частоты, на которых коэффициент передачи имеет одинаковые значения, связаны соот- ношением 2 2 1 С ω ω ω = . Поэтому графики станут симметричными, если использовать ло- 21 гарифмический масштаб по оси частот. Асимметрия частотных характеристик проявляется тем сильнее, чем больше отно- шение граничных частот полосы пропускания фильтра. Рассмотрим преобразование звена НЧ фильтра 1-го порядка для нормированной частоты U в полосовой фильтр 2-го порядка. В этом случае в нормированную характе- ристику ФНЧ необходимо подставить вместо U — Q ⋅ (U 2 +1)/U : U U F НЧ + = 1 1 ) ( 1 ; 1 1 / 1 ) 1 ( 1 ) ( 2 2 + ⋅ + = + + ⋅ = U Q U Q U U U Q U F ПП ; Q U U Q U U F ПП + + ⋅ = 2 ) ( (13). Преобразование ФНЧ в режекторный фильтр Для преобразования ФНЧ-прототипа в режекторный фильтр трансформация час- тотной оси должна быть обратной по отношению к предыдущему случаю. Нулевая и бес- конечная частоты должны преобразовываться в нулевое значение на частотной оси ФНЧ-прототипа (там, где коэффициент передачи велик). Частоты, соответствующие кра- ям требуемой полосы задерживания, должны после преобразования давать значения ±1, равные частоте среза ФНЧ-прототипа. Кроме того, некоторое значение частоты в по- лосе задерживания должно преобразовываться в бесконечность (там, где коэффициент передачи ФНЧ-прототипа стремится к нулю). Наконец, преобразование должно выпол- няться с помощью дробно-рациональной функции, чтобы сохранить дробно- рациональную структуру функции передачи. Перечисленным требованиям удовлетворяет следующая замена переменной s: + ⋅ ← 1 2 C C s Q s s ω ω , где 2 1 ω ω ω = C , 1 2 ω ω ω − = C Q , ω 1 и ω 2 — соответственно нижняя и верхняя гра- ницы (круговые частоты) полосы задерживания фильтра. В терминологии программы MC8 C C F ⋅ ⋅ = π ω 2 PB F Q C = , где F C — центральная частота полосы пропускания в Гц, PB=F 2 -F 1 — полоса пропускания фильтра в Гц. Все сказанное выше применительно к полосовым фильтрам о связи средней часто- ты с частотами среза и об асимметрии характеристик справедливо и для ре-жекторных фильтров. 22 Рассмотрим преобразование звена НЧ фильтра 1-го порядка для нормированной частоты U в режекторный фильтр 2-го порядка. В этом случае в нормированную харак- теристику ФНЧ необходимо подставить вместо U — Q ⋅ U/(U 2 +1): U U F НЧ + = 1 1 ) ( 1 ; 1 / 1 1 ) 1 ( 1 ) ( 2 2 2 + + + = + + ⋅ = Q U U U U Q U U F ПЗ ; 1 / 1 ) ( 2 2 + + + = Q U U U U F ПЗ (14). 1.5. Особенности проектирования фильтров 1.5.1. Пассивные RLC-фильтры Простые RC-фильтры верхних или нижних частот обеспечивают пологие характе- ристики коэффициента передачи с наклоном 20 дБ/декада после точки, соответствую- щей значению коэффициента передачи –3 дБ. Можно построить полосовой фильтр, со- единяя каскадно фильтры верхних и нижних частот; при этом характеристики такого фильтра опять же имеют пологие «склоны» с наклоном 20 дБ/декада. Для многих целей такие фильтры вполне подходят, особенно в тех случаях, когда сигнал, который должен быть подавлен, далеко сдвинут по частоте относительно желательной полосы пропуска- ния. В качестве примеров можно указать шунтирование радиочастотных сигналов в схе- мах усиления звуковых частот, «блокирующие» конденсаторы для исключения постоян- ной составляющей и разделение модулирующей и несущей частот. Однако часто возникает необходимость в фильтрах с более плоским участком ха- рактеристики в полосе пропускания и более крутыми склонами. Такая потребность су- ществует всегда, когда надо отфильтровать сигнал от близкой по частоте помехи. Не- медленно возникает следующий очевидный вопрос: можно ли (соединяя каскадно оди- наковые фильтры, скажем, нижних частот), получить аппроксимацию идеальной харак- теристики фильтра нижних частот типа «кирпичная стена»? Простое каскадное соединение не дает результата без ухудшения общей характе- ристики, так как входное сопротивление каждого звена будет служить существенной на- грузкой для предыдущего звена. Но если поставить буферы между всеми звеньями (или сделать полное входное сопротивление каждого звена намного выше, чем у предыдуще- го) то, казалось бы, можно добиться желаемого эффекта. Тем не менее, ответ на по- ставленный вопрос будет отрицательным. Соединенные каскадно RС-фильтры действи- тельно дадут суммарную характеристику с крутым наклоном, но «излом» этой амплитуд- но-частотной характеристики не будет резким. Это можно сформулировать так: из мно- гих плавных перегибов не сделать одного крутого. Чтобы проиллюстрировать этот вы- вод, можно промоделировать с помощью, скажем MICROCAP-8, подобные фильтры, применяя в качестве развязывающего звена, например линейный ИНУН. Фильтры, построенные из конденсаторов и катушек индуктивности, могут иметь 23 очень хорошие характеристики. Примером этого может служить параллельный резо- нансный LC-контур. Введение в конструкцию катушек индуктивности дает возможность создать фильтр с любой желаемой близостью участка характеристики в полосе пропус- кания к горизонтальной прямой в сочетании с резкостью переходной области и крутиз- ной спада вне полосы пропускания. На рис. 1.17 приведен в качестве примера телефон- ный фильтр и его частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ, групповая задержка). Рис. 1.17. Телефонный фильтр и его характеристики Очевидно, что введение катушек индуктивности в схему дает некий магический эффект, который без них не может быть достигнут. По терминологии теории цепей, эта магия заключается в наличии «внеосевых полюсов». Тем не менее, сложность фильтра возрастает по мере ужесточения требований к горизонтальности и плавности амплитуд- но-частотной характеристики в полосе пропускания и к крутизне спада вне ее, приводя к увеличению числа элементов по сравнению с предыдущим фильтром. Переходная и фазочастотная характеристики, вообще говоря, также ухудшаются по мере приближения амплитудно-частотной характеристики к идеальной прямоугольной форме (кирпичной стене). Синтез фильтров из пассивных элементов (R, L, С) — хорошо исследованная об- ласть. Единственной проблемой является то, что катушки индуктивности как элемент схемы часто оставляют желать лучшего. Они нередко бывают дорогими и громоздкими, их характеристики далеки от идеала, поскольку имеют значительное последовательное сопротивление, вызывающее потери. Кроме того, имеются и другие недостатки, такие, как нелинейность характеристики Ψ (i) , распределенная межвитковая емкость обмотки и чувствительность к магнитным помехам. Следовательно, нужно найти способ построения фильтров без катушек индуктив- ности с характеристиками идеальных RLC-фильтров При использовании в качестве элемента схемы фильтра ОУ можно синтезиро- вать характеристику любого RLC-фильтра без применения катушек индуктивности. Такие 24 безиндуктивные фильтры известны под названием «активные фильтры» из-за наличия в их схеме активного элемента (усилителя). Активные фильтры можно использовать для реализации фильтров нижних и верх- них частот, полосовых и полосно-заграждающих фильтров. При этом можно выбирать тип фильтра в зависимости от наиболее важных заданных свойств характеристики, та- ких, как: максимальная равномерность усиления в полосе пропускания, крутизна пере- ходной области или независимость времени запаздывания от частоты (см. предыдущий подраздел). Кроме того, можно построить как «всепропускающие фильтры» с плоской амплитудно-частотной характеристикой, но нестандартной фазочастотной характеристи- кой (они также известны как «фазовые корректоры»), так и наоборот — фильтр с посто- янной групповой задержкой, но с произвольной амплитудно-частотной характеристикой. Конвертеры отрицательного полного составления и гираторы. Есть два инте- ресных схемных элемента, которые следует упомянуть: это — конвертер отрицательно- го полного сопротивления (КОС) и гиратор. Эти устройства могут имитировать свойства катушек индуктивности, хотя в них кроме ОУ используются только конденсаторы и рези- сторы. Раз это так, то мы можем делать безиндуктивные фильтры с идеальными свой- ствами RLC-фильтра — это является одним из способов реализации активных фильт- ров. КОС преобразует полное комплексное сопротивление в ему противоположное (т. е. с обратным знаком), в то время как гиратор преобразует полное сопротивление в об- ратное (т.е. емкость в индуктивность). Покажем, что изображенная на рис. 1.18 схема представляет собой конвертер отрицательного полно- го сопротивления (КОС), в частности что Z IN =–Z Пусть на вход этой схемы воздействует напряжение U IN . Вычислим входной ток I IN . Затем возьмем их от- ношение, чтобы найти Z IN =U IN /I IN R U U I OUT IN IN − = ; R Z Z U U OUT IN + ⋅ = ; ( ) ( ) R Z R R Z U Z U I OUT OUT IN + ⋅ + ⋅ − ⋅ = ; ( ) R Z U I OUT IN + − = ; IN IN IN I U Z = ; OUT OUT IN U R Z R Z Z U Z − + ⋅ + ⋅ = ; Z Z OUT − = . Покажем, что схема на рис. 1.19 есть гиратор, в частности, что Z IN = R 2 /Z . Её мож- но рассматривать как набор делителей напряжения, начиная справа: Рис. 1.18. Конвертер отрицательного сопротивления 25 ( ) Z Z R R Z R Z R R Z R R R Z IN ⋅ − − ⋅ − = + + − + ⋅ − + − = 2 Z R Z IN 2 = . Таким образом, схема с 2-мя КОС превращает конденсатор в «обратную» ка- тушку индуктивности: C j Z C ω 1 = ; 2 CR j Z IN ω = . Т.е. ток через конденсатор опережает приложенное напряжение, а его полное сопротивление имеет неправильную частотную зависимость (при возрастании частоты оно не растет, а убывает). Гиратор же, напротив, превращает конденсатор в чисто индуктивный элемент, индуктивность которого: 2 R C L ⋅ = . Существование гиратора делает интуитивно ясным тот факт, что можно построить безиндуктивный фильтр, имитирующий любой фильтр, использующий катушки индук- тивности: просто заменить каждую катушку «гиратированным» конденсатором. Такое применение гираторов вполне корректно, и ранее упомянутый телефонный фильтр по- строен именно таким способом. Кроме того, простая вставка гираторов в существующие RLC-схемы позволяет создавать много иных структур фильтров. На рис. 1.20. показана схема гиратора на ОУ на основе структуры 1.19. Рис. 1.20. Гиратор на основе двух ОУ и его частотные характеристики |