Конспект подготовил Александр Васильев фивт мфти 2016
 Скачать 0.49 Mb.
|
|
1 , . . . , f n — n различных символов. Выберем алфавит A = {f 1 , . . . , f n , f − 1 1 , . . . , Теперь пусть F n — множество всех слов в алфавите A (включая пустое слово, в которые не входят подслова вида f − 1 i f i и f i f − 1 i Пример. При n = 1 эти слова будут иметь вид Λ, f 1 f 1 . . . f 1 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ k и f − 1 1 . . . f − 1 1 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ k Пример. При n = 2 f 1 f 2 f 2 f − 1 1 ∈ F n , а f 1 f 2 f − 1 2 ∉ F n Введём операцию если w 1 , w 2 ∈ F n , то есть их конкатенация в которой осуществим сокращения взаимнообратных букв на стыке слов, тогда Пример. (f 1 f 2 f 3 ) ⋅ ( f − 1 3 f − 1 2 f 1 ) Теорема 3.1. (F n , ⋅) — свободная группа со свободными образующими f 1 , . . . , f n Доказательство. Для начала, покажем, что (F n , ⋅) — группа. Нейтральный элемент — Λ: Λ ⋅ w = w ⋅ Λ = w 2. Если w = f ε 1 i 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ f ε k i k , то w − 1 = f − ε k i k ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ f − ε 1 i 1 ∈ F n , а w ⋅ w − 1 = Λ = w − 1 ⋅ w 3. Пусть a, b, c ∈ F n . Пусть при перемножении a ⋅ b сокращается p ⋅ p − 1 , а при перемножении b ⋅ c — q ⋅ q − 1 27 28 ФИВТ МФТИ Пусть в слове b подслова и q не пересекаются, и между ними есть хотя бы один символ. Тогда b = p − 1 b ′ q , a = a ′ p , c = q − 1 c ′ , и тут используется просто конкатенация. Значит, ab = a ′ p ⋅ p − 1 b ′ q = a ′ b ′ q , b ⋅ c = p − 1 b ′ c ′ , (a ⋅ b) ⋅ c = a ′ b ′ q ⋅ q − 1 c ′ = a ′ b ′ c ′ = a ′ p ⋅ p − 1 b ′ c ′ = a ⋅ (b ⋅ Пусть теперь и q пересекаются или b = p − 1 q , тогда b = rb ′ s , p − 1 = rb ′ , q = возможно, пусто. В этом случае a = a ′ b ′− 1 r − 1 , c = s − 1 b ′− 1 c ′ . Тогда a ⋅ b = a ′ b ′− 1 r − 1 ⋅ rb ′ s = a ′ s , b ⋅ c = rc ′ ; (a ⋅ b) ⋅ c = a ′ s ⋅ s − 1 b ′− 1 c ′ = a ′ ⋅ b ′− 1 c ′ , а a ⋅ (b ⋅ c) = a ′ b ′− 1 r − 1 ⋅ rc ′ = a ′ b ′− 1 ⋅ c ′ . Если b ′ ≠ Λ , дальше сокращений не будет, т. к. a ′ b ′− 1 , b ′− 1 c ′ ∈ F n как фрагменты слов без сокращений, и тогда оба слова есть a ′ b ′− 1 c ′ . Если же b ′ = Λ , оба слова равны Теперь докажем свободность. Ясно, что F n = ⟨ f 1 , . . . , f n ⟩ . Далее, если g 1 , . . . , g определим ϕ ∶ F n → G , ϕ(Λ) = e, ϕ(f ε 1 i 1 . . . f ε k i k ) = g ε 1 i 1 . . . g ε k i k . Тогда, если w 1 , w 2 ∈ F n , имеем ϕ(w 1 ) ⋅ ϕ(w 2 ) = w 1 ( g 1 , . . . , g n ) ⋅ w 2 ( g 1 , . . . , g n ) здесь скобки обозначают подстановку вместо f 1 , . . . , f n ). Тогда ϕ — требуемый гомоморфизм i ). ∎ Замечание. Аналогичным образом строится и свободная группа с множеством свободных образующих произвольной мощности. Утверждение 3.1. Пусть F n и G n — две свободные группы с n свободными образующими каждая. Тогда и существует изоморфизм, переводящий свободные образующие в свободные образующие). Доказательство. Пусть f 1 , . . . , f n — свободные образующие в F n , g 1 , . . . , g в группе G. Тогда существуют гомоморфизмы ϕ ∶ F n → G n ипритом. Их композиция — гомоморфизм ϕ ○ ψ ∶ G n → G n , при этом ϕ ○ ψ(g i ) = g i , а тогда ϕ ○ ψ = т. к. G n = ⟨ g 1 , . . . , g n ⟩ ). Аналогично ○ ϕ = id F n ⇒ ϕ , ψ — изоморфизмы. ∎ Замечание. F 1 = ⟨ f 1 ⟩ ≅ Утверждение 3.2. Для n ⩾ 2 F n — не абелева. Доказательство. Существует G такая, что ∃g 1 , g 2 ∈ G∶ g 1 g 2 ≠ g 2 g 1 . С другой стороны, существует ϕ ∶ F n → G , ϕ(f 1 ) и ϕ(f 2 ) = g 2 , а значит ϕ(f 1 f 2 ) = g 1 g 2 ≠ g 2 g 1 = ϕ(f 2 f 1 ) , тогда f 1 f 2 ≠ f 2 f 1 , те не абелева. ∎ Упражнение. Пусть G = SL 2 (Z[x]), тогда ⟨( 1 x 0 1 ) , ( 1 0 x 1 )⟩ < G. 3.2 Соотношения Определение Пусть G = ⟨g 1 , . . . , g n ⟩ — группа, F n = ⟨ f 1 , . . . , f n ⟩ своб — свободная группа, а w 1 , . . . , w k ∈ F n . Обозначим через w i ( g 1 , . . . , g слово, полученное заменой f на g и f − 1 i на g − 1 i . Пусть K = ⟨w 1 , . . . , w норм, ϕ ∶ F n → G — Теория групп 29 гомоморфизм, ϕ(f i ) = g i . Тогда G задана образующими g 1 , . . . , g с соотношениями, если Ker ϕ = K. Обозначение = ⟨g 1 , . . . , g n ∣ w 1 ( g 1 , . . . , g n ) = e, . . . , w k ( g 1 , . . . , g n ) Замечание. G = Im ϕ ≅ F n / K . Наоборот, если G = F n / K , g i = f i K , то = ⟨g 1 , . . . , g n ∣ w 1 ( g 1 , . . . , g n ) = e, . . . , w k ( g 1 , . . . , g n ) = e⟩. Замечание. Вопрос о том, тривиальна ли G (или равны ли в G два элемента), алгоритмически не разрешим. Теорема универсальное свойство группы, заданной образующими и соотношениями. Пусть G = ⟨g 1 , . . . , g n ∣ w i ( g 1 , . . . , g n ) = e⟩. Пусть H — группа, . . . , h n ∈ H и w i ( h 1 , . . . , h n ) = e. Тогда существует гомоморфизм θ ∶ G → H, θ(g i ) = h i Доказательство. Пусть ϕ ∶ F n → G , ϕ(f i ) = g i ; ψ ∶ F n → H , ψ(f i ) = h i . Пусть = Ker ϕ = ⟨w 1 , . . . , w норм, пусть L = Ker ψ. Тогда K, L ◁ F n . Более того i ∈ L ⇒ L > ⟨w 1 , . . . , w k ⟩ норм = K. Значит, Im ψ ≅ F n / L ≅ (F n / K)/(L/K) ≅ G/G 1 , где G 1 ◁ G , по второй теореме об изоморфизме, и при этом изоморфизме элементы g соответствуют элементам. Значит, канонический эпиморфизм π ∶ G → G/G 1 ≅ Im ψ — это требуемый гомоморфизм. ∎ Пример. G = ⟨a, b ∣ a 2 = b 2 = ( ab) 2 = e⟩ . Пусть g ∈ G. Тогда g = a i 1 b j 1 a i 2 , i k , j k ∈ Z. Можно считать, что i k , j k ∈ { 0, 1} . Значит, g = aba . . . или g = baba . . . Наконец, abab = e, длина произведения, можно считать, меньше четырёх: abab = e = baba = b(abab)b − 1 . Итак, элементы нашей группы — только e, a, b, ab, ba, aba, bab . Далее, aba = (abab)b − 1 = b − 1 = b и bab = a, ab = (abab)b − 1 a − 1 = ba . Итого = {e, a, b, не факт, что они различны. Почему не меньше Рассмотрим = Z 2 × Z 2 , a ′ = ( 1, 0) , b ′ = ( 0, 1) . Тогда a ′ 2 = b ′ 2 = ( a ′ b ′ ) 2 = e — все соотношения выполнены. По универсальному свойству существует ϕ ∶ G → H, ϕ(a) = a ′ , ϕ(b) = b ′ , при этом Im ϕ = ⟨ϕ(a), ϕ(b)⟩ = ⟨a ′ , b ′ ⟩ = H . Итак, ∣ Im ϕ∣ = 4 ⇒ ∣G∣ ⩾ Значит, ∣G∣ = 4 ⇒ ϕ — изоморфизм. Итак, G ≅ Z 2 × Z 2 Замечание. Можно было бы построить группу H иначе H = {e, a, b, ab} и вычислить таблицу умножения например, a ⋅ ab = b, ab ⋅ a = aba = b. Пример. Рассмотрим группу кватернионов ⟨ a, b ∣ a 4 = e, a 2 = b 2 , значит тоже, что и a 2 b − 2 = e ). В этом случае можем любой элемент записать как h = a i 1 b j 1 , i k ∈ { 0, 1, и j k ∈ { 0, ибо a 2 = b 2 ). Итак, g = a i 1 ba i 2 b . . . . Если элементов b хотя бы два, можно воспользоваться ba = a − 1 b = a 3 b . Отсюда ba k b = a 3k b 2 = a 3k+2 . Итого, g = a или g = a i 1 ba i 2 = a j b . Итак, ∣Q 8 ∣ ⩽ 8 30 ФИВТ МФТИ Рассмотрим группу M 2×2 (C) и её элементы A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 − 1 0 ) . Тогда − E = B 2 , A 4 = E , BA = ( 0 −i − i 0 ) = A − 1 B . Значит, существует гомоморфизм ∶ Q 8 → M 2×2 (C), для которого ϕ(a) = A, ϕ(b) = B и, следовательно, ∣Q 8 ∣ ⩾ ∣ Im ϕ∣ ⩾ 8 : Im ϕ > ⟨A⟩, Im ϕ ∋ B ∉ Итаки Глава Конечно порождённые абелевы группы Во время работы с абелевыми группами мы считаем, что операция — это, а вместо a пишем Мы уже встречали следующие абелевы группы. Циклические Z или и изоморфные им. Z l × Z n 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × Z n k — также конечно порождена (она порождена k +l элементами вида (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , Наша цель — доказать, что все конечно порождённые абелевы группы изоморфны таким. Замечание. Если GCD(n, k) = 1, то Z n × Z k ≅ Z nk . Действительно, элемент, 1) ∈ Z n × Z k имеет порядок nk ⇒ Z n × Z k = ⟨( 1, 1)⟩ ≅ Z nk . Значит, наше представление не единственно. Замечание. Условие конечно порождённости существенно. Например, группа) не представима в выписанном виде. Более того, она неразложима в нетривиальное прямое произведение, т. кв ней нет двух нетривиальных подгрупп, пересекающихся по Конечно порождённые абелевы группы без кручения Определение Пусть A — абелева группа. Её периодической частью (или кручением) называется (A) = {a ∈ A ∣ ord a < Группа A называется абелевой группой без кручения, если T (A) = Утверждение 4.1. Если A — абелева группа, то T (A) < Доказательство. 0 ∈ T (A) ⇒ T (A) ≠ ∅ . Если a, b ∈ T (A), то ∃n, k ∈ N∶ na = kb = 0 . Тогда n ⋅ (−a) = −na = 0 ⇒ −a ∈ T (A) и nk(a + b) = nka + nkb = k ⋅ 0 + n ⋅ 0 = 0 ⇒ a + b ∈ T (A) . Значит, T (A) < A. ∎ 31 32 ФИВТ МФТИ Замечание. Периодическая часть неабелевой группы необязательно подгруппа. Скажем, в все осевые симметрии имеют порядок 2, но их произведение может быть поворотом бесконечного порядка. Пусть A — конечно порождённая абелева группа без кручения. Определение Пусть a 1 , . . . , a n ∈ A . Система элементов a 1 , . . . , a называется независимой, если, . . . , k n ∈ Z n ∑ i=1 k i a i = 0 ⇒ k 1 = ⋅ ⋅ ⋅ = k Эта система называется базисом группы A, если она независима и ⟨a 1 , . . . , a n ⟩ = A Замечание. Если a 1 , . . . , a n — базис в A, то ∀b ∈ A ∃!k 1 , . . . , k n ∈ Z∶ b = ∑ n i=1 k i a Лемма 4.1. Пусть A = ⟨a 1 , . . . , a n ⟩ , и b 1 , . . . , b k ∈ A, k > n. Тогда система b 1 , . . . , b k — зависима. Доказательство. Поскольку b i ∈ ⟨ a 1 , . . . , a n ⟩ , (b 1 , . . . , b k ) = ( a 1 , . . . , a n ) S , где ∈ M n×k [Z] ⊆ M n×k [Q]. Так как k > n, столбцы S линейно зависимы над, те. существует 0 ≠ x ′ ∈ M k×1 [Q] такой, что Sx ′ = 0 . Домножив на произведение знаменателей элементов из x ′ , получим x ∈ M k×1 [Z]. Значит, . . . , b k ) x = (a 1 , . . . , a n ) Sx = 0 . Т. к. x ≠ 0, (b 1 , . . . , b k ) — зависимы. ∎ Теорема 4.1. Пусть A — конечно порождённая абелева группа без кручения, тогда весть базис. Более того, любые два базиса в A равномощны. Доказательство. Предположим противное. Тогда любая порождающая группу система зависима. Из всех конечных порождающих систем выберем систему из наименьшего числа элементов a 1 , . . . , a n . Пусть s 1 , . . . , s n — коэффициенты зависимости ∑ n i=1 s i a i = 0 , не все s i — нули. Из всех таких систем a 1 , . . . , a n , s 1 , . . . , s выберем такую, в которой 0 ≠ минимален. Можно считать, что иначе домножим s на −1). 2. Если s 1 = 1 , то a 1 + ∑ n i=2 s i a i = 0 ⇒ a 1 = − ∑ n i=2 s i a i ⇒ A = ⟨a 2 , . . . , a n ⟩ , противоречие. Пусть s 1 ∤ s при некотором i ⩾ 2. Тогда s i = qs 1 + r , q ∈ Z, r ∈ N и 0 < r < s 1 . Значит, 0 = ∑ n j=1 s j a j = s 1 a 1 + ( qs 1 + r)a i + ∑ 2⩽j⩽n,j≠i s j a j = s 1 ( a 1 + qa i ) + ra i + ∑ 2⩽j⩽n,j≠i s j a j . Заметим, что A = ⟨a 1 + qa i , a 2 , . . . , a n ⟩ , т. к ( a 1 + qa i ) − qa i . Для новой системы порождающих есть зависимость, в которой встречается коэффициент 0 ≠ ∣r∣ < ∣s 1 ∣ — противоречие с выбором системы. Итак, s 1 > 1 , s 1 ∣ s i . Тогда 0 = ∑ n i=1 s i a i = s 1 (∑ n i=1 s i s 1 a i ) ⇒ ∑ n i=1 s i s 1 a i ∈ T (A) ⇒ ∑ n i=1 s i s 1 a i = 0 ⇒ a 1 = − ∑ n i=2 s i s 1 a i . Противоречие. Осталось показать, что любые два базиса равномощны. Пусть (a 1 , . . . , a и, . . . , b базисы в A. Тогда каждая из этих систем порождает A и, по лемме ⩽ n ⩽ k ⇒ k = n ∎ Теория групп 33 Замечание. Пусть a 1 , . . . , a и b 1 , . . . , b n — два базиса в A. Тогда (a 1 , . . . , a n ) = ( b 1 , . . . , b и (b 1 , . . . , b n ) = ( a 1 , . . . , a n ) T , S, T ∈ M n×n [Z]. Значит, (a 1 , . . . , a n ) = ( a 1 , . . . , a n ) T S . Т. к. выражение через базис единственно, T S = E ⇒ det T ⋅ det S = 1 , а поскольку их определители также целочисленны, det S = det T = Наоборот, если a 1 , . . . , a n — базис, S ∈ M n×n [Z], det S = ±1, то (a 1 , . . . , a тоже базис, т. к. S − 1 ∈ M n×n [Z] по формуле Крамера. Замечание. В условиях нашей теоремы если a 1 , . . . , a n — базис в A, то = ⟨a 1 , . . . , a n ⟩ = ⟨ a 1 ⟩ × ⋅ ⋅ ⋅ × ⟨ a n ⟩ ≅ Z × ⋅ ⋅ ⋅ × Z = Определение Пусть A = ⟨a 1 , . . . , a k ⟩ — абелева группа. A называется свободной абелевой группой со свободными порождающими a 1 , . . . , a k , если для любой абелевой группы B и элементов b 1 , . . . , b существует гомоморфизм ∶ A → такой, что ϕ(a i ) = b i , i = 1, . . . , k. Замечание. Две свободные абелевы группы с одними тем же количеством порождающих изоморфны — аналогично обычным. Замечание. В качестве свободной абелевой группы с k порождающими можно взять = ⟨a 1 , . . . , a k ∣ [ a i , a j ] = e, 1 ⩽ i < j ⩽ k⟩ = F k /⟨[ f i , f j ] ∣ 1 ⩽ i < j ⩽ k⟩ норм = F k / F ′ k Теорема 4.2. Свободная абелева группа с k свободными порождающими это с точностью до изоморфизма). Доказательство. Пусть A = Z k , положим a i = ( 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) . Тогда A = ⟨ a 1 , . . . , a k ⟩ , т. к. (x 1 , . . . , x k ) = ∑ k i=1 x i a i . Кроме того, для любой абелевой группы B и для любых b 1 , . . . , b можно определить ϕ((x 1 , . . . , x k )) = ∑ k i=1 x i b i . Тогда ∶ A → B — гомоморфизм, и ϕ(a i ) = b Строение конечно порождённых абелевых групп Следствие. Пусть A = ⟨a 1 , . . . , a k ⟩ — конечно порождённая абелева группа. Тогда существует B ◁ Z k такая, что A ≅ Z k / B. Доказательство. Пусть c 1 , . . . , c k — свободные порождающие группы Z k . Тогда существует гомоморфизм ϕ ∶ такой, что ϕ(c i ) = a i . Значит, Im ϕ = ⟨ ϕ(c 1 ) , . . . , ϕ(c k )⟩ = A . Если B = Ker ϕ, то A ≅ по основной теореме о гомоморфизмах. ∎ Итак, для описания конечно порождённых абелевых групп полезно исследовать подгруппы в Теорема 4.3. Пусть A — свободная абелева группа, B < A. Тогда B — также свободная абелева группа причём в A и B существуют базисы a 1 , . . . , a и b 1 , . . . , b такие, что k ⩾ l, b i = m i a i , m i ∈ N, и m 1 ∣ m 2 ∣ ⋅ ⋅ ⋅ ∣ m l Доказательство. Пусть A ≅ Z k . Индукция по k. 34 ФИВТ МФТИ База Если k = 1, то A ≅ Z, а B ≅ nZ, n ∈ Z + . Тогда можно положить и если n > 0) или l = 0 (если n = 0). Переход Пусть k > 1. Если B = 0, то утверждение верно (при l = 0). Пусть теперь B ≠ 0. Для любого базиса a 1 , . . . , a в A и для любого b ∈ B ∖ {0} существуют целые n такие, что b = ∑ k i=1 n i a i . Выберем базис (a 1 , . . . , a в A итак, что и n 1 — наименьшее возможное. Пусть n 1 ∤ n при некотором i ⩾ 2. Тогда n i = qn 1 + r , q ∈ Z, 0 < r ⩽ Тогда b 1 = n 1 a 1 + n i a i + ∑ j⩾2,j≠i n j a j = n 1 ( a 1 + qa i ) + ra i + ∑ j⩾2,j≠i n j Значит, в базисе (a 1 + qa i , a 2 , . . . , a разложение содержит коэффициент r < n 1 — противоречие с выбором. Значит, n 1 ∣ n i , i ⩾ 2. Положим a ′ 1 = ∑ n i=1 n i n 1 a i = a 1 + ∑ i⩾2 n i n 1 a i . Тогда (a ′ 1 , a 2 , . . . , a k ) — базис в A, причём Дальше будем считать, что a ′ 1 = a 1 2. Пусть b ∈ B, b = ∑ k i=1 d i a i . Предположим, что n 1 ∤ d 1 , d 1 = qn 1 + r , o < r < Значит, b − qb 1 = ∑ k i=1 ( d i − qn i ) a i = ra 1 |