Конспект подготовил Александр Васильев фивт мфти 2016

• Название: Конспект подготовил Александр Васильев фивт мфти 2016
• Дата: 16.10.2021
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: group_theory.pdf
• Тип: Конспект; #248914
• страница: 1 из 5

Теория групп
И. И. Богданов
Конспект подготовил Александр Васильев
ФИВТ МФТИ
2016

2
ФИВТ МФТИ
Оглавление
1
Группы и подгруппы 1.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 1.2 Примеры групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 1.3 Смежные классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 1.4 Нормальные подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 1.5 Сопряжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 1.6 Гомоморфизмы групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 1.7 Действие группы на множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Свойства групп 2.1 группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 2.2 Лемма Бернсайда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 2.3 Прямое произведение групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 2.4 Коммутант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 2.5 Разрешимые группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 2.6 Простые группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 2.7 Теоремы Силова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24 Задание групп 3.1 Свободные группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 3.2 Соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28 Конечно порождённые абелевы группы 4.1 Конечно порождённые абелевы группы без кручения . . . . . . .
31 4.2 Строение конечно порождённых абелевых групп . . . . . . . . . .
33 Кольца и поля 5.1 Базовые понятия теории колец . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 5.2 Поле разложения многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

Глава Группы и подгруппы
1.1
Основные понятия
Определение 1.1. Группа это непустое множество G с бинарной операцией, обладающей следующими свойствами Ассоциативность a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
• Существование нейтрального элемента ∃e ∈ G∶ ∀a ∈ G ae = ea = a
• Существование обратного элемента ∀a ∈ g ∃a
−
1
∈
G∶ aa
−
1
=
a
−
1
a = Обозначение — (G, ⋅), если операция очевидна — просто G. Группа называется абелевой, если операция ⋅ коммутативна (a ⋅ b = b ⋅ a).
Замечание.
Нейтральный и обратные элементы единственны.
Определение 1.2. Подгруппа H < G
— это непустое подмножество H ⊆ замкнутое относительно операций ∀a, b ∈ H a ⋅ b ∈ H, ∀a ∈ H Замечание. H
— также группа, стой же операцией (ограниченной на Определение 1.3. Порядок группы число её элементов ∣G∣. Порядок элемента группы g ∈ G — это наименьшее n ∈ N такое, что g и ∞, если такого нет. Обозначение ∣g∣ или ord Определение Если M ⊂ G, то подгруппа, порождённая M — это пересечение всех подгрупп, содержащих M. Также ⟨M⟩ = {a
1
. . . a n
∣
a i
∈
M ∨ a
−
1
i
∈
M }
. Обозначение ⟨M⟩. Если существует g ∈ G такой, что ⟨g⟩ = G, то группа циклическая.
Пример. ⟨G⟩ = G
, ⟨∅⟩ = Замечание. ord g = Определение 1.5.
Биекция ϕ ∶ G → H, сохраняющая операцию (ϕ(g
1
g
2
) =
ϕ(g
1
)
ϕ(g
2
)
), называется изоморфизмом групп G и H. Если он существует, то
G
и H изоморфны (G ≅ H).
3

4
ФИВТ МФТИ
1.2
Примеры групп. (Z, +), (Z
n
, +)
— единственные (с точностью до изоморфизма) циклические группы. Подгруппа циклической группы — также циклическая. (F, +), (F
∗
, ⋅)
, где F — поле. (V, +), где V — линейное пространство. S
n
— группа перестановок n элементов (те. биекций {1, . . . , n} → {1, . . . , относительно композиции. Перестановку можно записать в виде таблицы,
или же в виде произведение независимых циклов (цикл π = (a
1
. . . a k
)
— это перестановка такая, что π(a i
) =
a для i = 1, . . . , k − 1 и π(a k
) =
a
1
, остальные элементы неподвижны. Кроме того, S
n порождается множеством всех транспозиций. Знак перестановки σ ∈ S
n есть (−1)
σ
=
sgn σ = (−1)
N (σ)
, где (σ)
— число инверсий в σ (совпадает поч тности с количеством транс- позиций в любом разложении σ).
5. GL
n
(
F )
— группа невырожденных матриц над F относительно умножения, где V — линейное пространство над F , — обратимые преобразования относительно композиции. GL(V ) ≅ GL
dim V
(
F )
7. Подгруппы этих групп, в частности A
n
<
S
n
— подгруппа всех чётных перестановок SL
n
(
F ) < GL
n
(
F )
— подгруппа всех матриц с единичным определителем подгруппа всех ортогональных матриц C
n
< C
∗
: C
n
= {
z ∈ C ∣ z n
=
1}
, C
n
≅ Смежные классы
Определение Пусть H < G, g ∈ G. Левый смежный класс элемента g по H — это gH, правый — Hg, где AB = {ab ∣ a ∈ A, b ∈ B} для A, B ⊂ G (вместо одного элемента подразумевается множество из этого элемента. G/H множество всех левых смежных классов по H, H/G — правых.
Замечание.
Для любых a, b ∈ G aH ∩bH ≠ ∅ ⇔ b
−
1
a ∈ H ⇔ aH = bH ⇔ b ∈ Значит, левые (правые) смежные классы — разбиение Утверждение 1.1. Пусть H < G. Тогда G/H равномощно H/G.
Доказательство.
Построим биекцию ϕ ∶ G/H → H/G: ϕ(gH) = Hg
−
1
. Заметим, что ϕ(gH) = Hg
−
1
=
H
−
1
g
−
1
= (
gH)
−
1
, а тогда ϕ корректно определено и является отображением изв. Биективность следует из существования Теория групп
5
Замечание.
Отображение gH ↦ Hg не всегда корректно определено.
Определение Если H < G, то индексом H в G называется ∣G ∶ H∣ =
∣
G/H∣ = Теорема Лагранжа. Для конечной группы ∣G∣ = ∣H∣ ⋅ ∣G ∶ Следствие. ∣H∣ делит ∣G∣, и для любого g ∈ G ∣g∣ делит Нормальные подгруппы
Определение Пусть H < G. H называется нормальной подгруппой в ◁ G), если ∀g ∈ G gH = Hg.
Замечание.
Эквивалентно: H = Примеры. G ◁ G.
2. {e} ◁ G.
3. Если G — абелева, то все подгруппы нормальны. A
n
◁
S
n
. Действительно, если σ ∈ A
n
, то σA
n
=
A
n
=
A
n
σ
. Иначе, σA
n
=
S
n
∖
A
n
=
A
n
σ
5. ⟨(1 2)⟩ /◁ S
3
. ⟨(1 2)⟩ = {id, (1 2)}. (1 3)⟨(1 2)⟩ = {(1 3), (1 2 3)}, но ⟨(1 2)⟩(1 3) =
{(
1 3), (1 3 Утверждение 1.2. Пусть H < G, ∣G ∶ H∣ = 2. Тогда H ◁ Доказательство. разбивается на левые смежные классы по H, один из них — H = eH, а значит другой — G ∖ H. Аналогично, правые смежные классы H и G ∖ H. Значит, если g ∈ H, то gH = Hg = H. Если же g ∈ G ∖ H, то gH = G ∖ H = Утверждение 1.3. Пусть H
1
, H
2
◁
G. Тогда Доказательство. H
1
∩
H
2
<
G
— тривиально. Проверим, что для произвольного верно g
−
1
(
H
1
∩
H
2
)
g = H
1
∩
H
2
. ∀h ∈ H
1
∩
H
2
g
−
1
hg ∈ H
1
∧
g
−
1
hg ∈ H
2
⇒
g
−
1
hg ∈ H
1
∩
H
2
. Мы показали, что ∀g ∈ G g
−
1
(
H
1
∩
H
2
)
g ⊆ H
1
∩
H
2
. Этого достаточно. ∎
Замечание.
Если H < G и ∀g ∈ G g
−
1
Hg ⊆ H
, то ∀g ∈ G g
−
1
Hg = Утверждение 1.4. Пусть H ◁ G, K < G. Тогда HK = {hk ∶ h ∈ H, k ∈ K} <
G. Если K ◁ G, то и HK ◁ G.
Доказательство.
Покажем, что HK = KH. Действительно, HK = ⋃
k∈K
Hk =
⋃
k∈K
kH = KH
. Теперь покажем, что HK < G: (HK)(HK) = H(KH)K =
HHKK = HK
; (HK)
−
1
=
K
−
1
H
−
1
=
KH = Если же K ◁ G, то ∀g ∈ G gHK = HgK = HKg ⇒ HK ◁ G.
∎

6
ФИВТ МФТИ
1.5
Сопряжение
Определение Пусть G — группа, g, x ∈ G. Тогда элементом, сопряжён- ным к g при помощи x, называется g x
=
x
−
1
gx
Пример.
Две матрицы одного преобразования в различных базисах сопряжены в GL
n
(
F )
, их сопрягает матрица перехода.
Утверждение 1.5.
1. g xy
= (
g x
)
y
2. (g
1
g
2
)
x
=
g x
1
g x
2 3. (g
−
1
)
x
= (
g Доказательство. g xy
=
y
−
1
x
−
1
gxy = y
−
1
g x
y = (g x
)
y
2. g x
1
g x
2
=
x
−
1
g
1
xx
−
1
g
2
x = x
−
1
g
1
g
2
x = (g
1
g
2
)
x
3. g x
(
g
−
1
)
x
= (
gg
−
1
)
x
=
e x
=
e ⇒ (g x
)
−
1
= (Утверждение 1.6. Отношение сопряжённости — это отношение эквива- лентности.
Доказательство.
1. Рефлексивность g = g e
2. Симметричность g x
сопряжён кто. Транзитивность g
2
=
g x
1
, g
3
=
g y
2
, то g
3
= (
g x
1
)
y
=
g Определение Класс элемента g относительно этого отношения — класс сопряжённости этого элемента g. Обозначение Утверждение 1.7. Пусть H < G. Тогда H ◁ G ⇔ H есть объединение нескольких классов сопряжённости.
Доказательство. H ◁ G ⇔ ∀g ∈ G H = g
−
1
Hg вместе с любым элементом h ∈ H
, h
G
⊆
H ⇒ H = Наоборот, если H = ⋃
α∈A
g
G
α
, то g
−
1
Hg = ⋃
α∈A
(
g
G
α
)
g
= ⋃
α∈A
g
G
α
=
H
∎
Упражнение.
Пусть g
1
, g
2
∈
G
. Тогда g
G
1
⋅
g
G
2
— объединение нескольких классов сопряжённости, ноне обязательно одного.
1.6
Гомоморфизмы групп
Определение Пусть G, H — группы. Отображение ϕ ∶ G → H называется гомоморфизмом групп, если ∀g
1
, g
2
∈
G ϕ(g
1
g
2
) =
ϕ(g
1
)
ϕ(g
2
)
. Образ гомоморфизма — это Im ϕ = ϕ(G) = {ϕ(g) ∣ g ∈ G}. Ядро гомоморфизма Ker ϕ =
ϕ
−
1
(
e
H
)
. Гомоморфизм называется эпиморфизмом, если Im ϕ = H, и мономор- физмом
, если ϕ — инъекция

Теория групп
7
Утверждение 1.8. Пусть ϕ ∶ G → H — гомоморфизм. Тогда. ϕ(e
G
) =
e
H
2. ϕ(g
−
1
) Доказательство. ϕ(e) = ϕ(e
2
) =
ϕ(e)ϕ(e) ⇒ e = ϕ(e)
2. ϕ(g
−
1
)
ϕ(g) = ϕ(g
−
1
g) = ϕ(e) = Утверждение 1.9. Гомоморфизм ϕ ∶ G → H является мономорфизмом
⇔
Ker ϕ = Доказательство. ϕ(e) = e ⇒ e ∈ Ker ϕ
. Если ϕ — мономорфизм, то ∀e ≠ g ∈ G ϕ(g) ≠
ϕ(e) ⇒ Ker ϕ = {e}
. Если ∃g
1
≠
g
2
∶
ϕ(g
1
) =
ϕ(g
2
) ⇒
ϕ(g
−
1 1
g
2
) =
ϕ(g
1
)
−
1
ϕ(g
2
) =
e ⇒
e ≠ g
−
1 1
g
2
∈
Ker Примеры. ϕ ∶ G → H, ϕ(g) = e.
2. ϕ ∶ Z → Z
n
, ϕ(a) = a (mod n); Ker ϕ = nZ.
3. ϕ ∶ GL
n
(
F ) → F
∗
, ϕ(A) = det A; Ker ϕ = SL
n
4. Изоморфизм является гомоморфизмом. В частности, существуют изомор- физмы группы на себя (автоморфизмы. Например, если x ∈ G, то ϕ
x
∶
g ↦ g x
— автоморфизм.
Утверждение 1.10. Пусть ϕ ∶ G → H — гомоморфизм групп. Тогда Im ϕ <
H, Ker ϕ ◁ G.
Доказательство.
Если h
1
, h
2
∈
Im ϕ
, то h i
=
ϕ(g i
)
. g i
∈
G ⇒ h
1
h
2
=
ϕ(g
1
g
2
) ∈
Im ϕ
, h
−
1 1
=
ϕ(g
−
1 1
) ∈
Im ϕ
. Значит, Im ϕ < Если g
1
, g
2
∈
Ker ϕ
, то ϕ(g
1
g
2
) =
ϕ(g
1
)
ϕ(g
2
) =
e
, ϕ(g
−
1 1
) =
e ⇒ g
1
g
2
, g
−
1 1
∈
Ker ϕ ⇒ Ker ϕ < G
. Кроме того, ϕ(x
−
1
⋅
Ker ϕ ⋅ x) = ϕ(x)
−
1
⋅
ϕ(Ker ϕ) ⋅ ϕ(x) =
ϕ(x)
−
1
ϕ(x) = e ⇒ ∀x ∈ G x
−
1
Ker ϕ ⋅ x ⊆ Ker ϕ ⇒ Ker ϕ ◁ G
∎
Замечание.
Если K < H, то ϕ ∶ K → H, ϕ(k) = k — это гомоморфизм, Im ϕ Пусть K ◁ G. Рассмотрим G/K — множество левых смежных классов по. Если aK, bK ∈ G/K, тов силу нормальности).
Теорема 1.2. (G/K, ⋅) — группа.
Доказательство.
Ассоциативность следует из ассоциативности в G. Нейтральный элемент — это K = eK, обратный к aK — Определение Полученная группа — факторгруппа группы G по нормальной подгруппе K.

8
ФИВТ МФТИ
Теорема 1.3. Отображение π ∶ G → G/K, π(g) = gK, является эпиморфиз- мом, Ker π = Доказательство. π(g
1
g
2
) =
g
1
g
2
K = g
1
K ⋅ g
2
K = π(g
1
)
π(g
2
) ⇒
π
— гомоморфизм. Любой gK ∈ G/K есть π(g) ⇒ π — эпиморфизм. g ∈ Ker π ⇔ π(g) = gK =
K ⇔ g ∈ K
. Итак, Ker π = Определение 1.13. π
— естественный эпиморфизм G → Теорема основная теорема о гомоморфизмах групп. Пусть ϕ ∶ G →
H — гомоморфизм групп, Ker ϕ = K. Тогда K ◁ G и Im ϕ ≅ Наоборот, если K ◁G, то существует эпиморфизм групп π ∶ G → G/K, Ker ϕ =
K.
Доказательство.
Осталось доказать изоморфность образу Im ϕ ≅ Определим ψ ∶ G/K → Im ϕ так ψ(aK) = ϕ(aK) = ϕ(a)ϕ(K) = ϕ(a). Если) ∈ Im ϕ
, то ϕ(a) = ψ(aK) ⇒ ψ — сюрьекция. Если ψ(aK) = ψ(bK), то ϕ(a) =
ϕ(b) ⇒ ϕ(a
−
1
b) = e ⇒ a
−
1
b ∈ Ker ϕ = K ⇒ b ∈ aK ⇒ bK = aK
. Итак, ψ —
инъекция.
Теперь покажем что ψ сохраняет операции ψ(aK) ⋅ ψ(bK) = ϕ(a)ϕ(b) =
ϕ(ab) = ψ(abK) = ψ(aK ⋅ bK)
. Значит, ψ — изоморфизм.
∎
Замечание.
Если h ∈ Im ϕ, то ψ
−
1
(
h) = Примеры. ϕ ∶ Z → Z
n
, ϕ(a) = a mod n. Ker ϕ = nZ, Im ϕ = Z
n
⇒ Z
n
≅ Z/nZ.
2. det ∶ GL
n
(
F ) → F
∗
. Im det = F
∗
; Ker det = SL
n
(
F ) ⇒ GL
n
(
F )/SL
n
(
F ) ≅ Упражнение. Теорема первая теорема об изоморфизме. Пусть H◁G, K < G. Тогда. HK = KH < G.
2. K ∩ H ◁ K.
3. HK/H ≅ K/(H ∩ K).
Доказательство.
Первый пункт уже доказан. Второй и третий следуют из рассмотрения естественного эпиморфизма: π ∶ G → G/H. Тогда и π
K
∶=
π∣
K
— гомоморфизмы групп. Im π
HK
=
π(HK) = π(H)π(K) =
π(K) = Im π
K
. Ker π
HK
=
H
, Ker π
K
=
K ∩ H
. Тогда HK/H ≅ Im π
HK
=
Im π
K
≅
K/(H ∩ K)
∎
Замечание.
Явный вид изоморфизма k(H ∩K) ∈ K/(H ∩ K) ↔ kH ∈ Замечание. K ∩ H ◁ K
, поскольку K ∩ H = Ker π
K
Пример.
Пусть G = S
4
, H = V
4
= {
id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}
. Нетрудно поверить, что называется четверной группой Клейна). Положим = S
3
<
S
4
. H ∩ K = {id}. Это значит, что ∀h i
∈
H, k i
∈
K h
1
k
1
=
h
2
k
2
⇒
H ∋
h
−
1 2
h
1
=
k
2
k
−
1 1
∈
K ⇒ h
1
=
h
2
, k
1
=
k
2
. Значит, ∣HK∣ = ∣H∣ ⋅ ∣K∣ = 24 ⇒ HK = Применяя первую теорему об изоморфизме, имеем S
4
/
V
4
=
HK/H ≅ K/H ∩ K =
S
3
/{
id} ≅ S
3

Теория групп
9
Теорема Вторая теорема об изоморфизме, или теорема о соответствии. Пусть G — группа, H ◁ G, обозначим G ∶= G/H. Тогда. Для подгруппы K < G такой, что H < K, обозначим K ∶= K/H. Тогда < G.
2. Соответствие K ↔ K — биекция между подгруппами в G, содержащими, и подгруппами в ¯
G.
3. Если H < K < G, то K ◁ G ⇔ K ◁ G, ив этом случае G/K ≅ G/K.
Доказательство.
Рассмотрим естественный эпиморфизм π ∶ G → G/H (π(g) =
gH
). Тогда π(K) = KH/H = K/H = K. Наоборот, если L < G, то H < π
−
1
(
L) < если a, b ∈ π
−
1
(
L)
, то ab, a
−
1
∈
π
−
1
(
L)
). При этом, π(π
−
1
(
L)) = L
, ибо π — сю- рьекция; кроме того, для любой такой K < G
π
−
1
(
π(K)) = π
−
1
(
K) = ⋃
kH∈K
kH = ⋃
k∈K
kH = Итак, π осуществляет требуемую биекцию K → Если K ◁ G, то g
−
1
Kg = K ⇒ π(g)
−
1
π(K)π(g) = для любого g ∈ Поскольку π — сюрьекция, π(K) = K ◁ Пусть K ◁ G. Тогда существует естественный эпиморфизм π
′
∶
G → Рассмотрим π
′
○
π ∶ G → G/K
. Это — эпиморфизм, при этом Ker(π
′
○
π) =
π
−
1
(
π
′−
1
(
e)) = π
−
1
(
K) = K
. Значит, G/K = Im(π
′
○
π) ≅ G/ Ker(π
′
○
π) = по основной теореме о гомоморфизмах (и K = Ker(π
′
○
π) ◁ G
).
∎
Пример.
Пусть m, n ∈ N. Тогда Z ▷ nZ ▷ mnZ (и Z ▷ mnZ). Значит, Z/nZ =
Z
n
, Z/mnZ = Z
mn
, а n(Z/mnZ) = nZ
mn
. Следовательно, Z
mn
/
nZ
mn
= (Z/mnZ)/(nZ/mnZ) ≅
Z/nZ = Z
n
. Как применить пункты 1 и 2? Все подгруппы Z имеют вид kZ, k ∈ Тогда все подгруппы Z
n
= Z/nZ есть подгруппы вида kZ/nZ, где nZ < kZ те. Значит, подгруппы в Z
n
— это подгруппы вида (n/k)Z
n
, где k ∣ n, те, где l ∣ Действие группы на множество
Определение Пусть G — группа, Ω — множество. Говорим, что определено действие группы G на множестве Ω, если определено отображение × Ω → те. для любых g ∈ G, ω ∈ Ω определён g(ω) ∈ Ω), удовлетворяющее следующим свойствам. (gh)(ω) = g(h(ω))
2. e(ω) = Определение 1.15. Действие группы на множество Ω — это гомоморфизм, где S(Ω) — группа всех биекций множества Ω в себя.
Утверждение 1.11. Данные определения эквивалентны

10
ФИВТ МФТИ
Доказательство.
Пусть задано действие G на Ω по определению 1.14. Положим для g ∈ G I
g
∶
Ω → Ω
, I
g
(
ω) = g(ω)
. Тогда I
gh
(
ω) = (gh)(ω) = g(h(ω)) =
I
g
○
I
h
(
ω)
, те. Кроме того, I
g
○
I
g
−1
=
I
e
=
I
g
−1
I
g
, причём I
e
=
id
. Те. I
g
−1
— это обратное отображение ка значит I
g
— биекция. Итак, g ↦ это требуемый гомоморфизм.
Наоборот, пусть g ↦ I
g
— гомоморфизм G → S(Ω), то положим g(ω) = Тогда (gh)(ω) = I
gh
(
ω) = I
g
○
I
h
(
ω) = g(h(ω))
, те. первое свойство доказано.
Кроме того, I
e
=
id
, те Определение Пусть ϕ ∶ G → S(Ω) — действие группы на множестве.
Тогда ядром этого действия называется Ker ϕ = {g ∈ G ∣ ∀ω ∈ Ω g(ω) = Действие называется точным (или эффективным, если Ker ϕ = {e}, те. если мономорфизм.
Примеры.
1. G = GL(V ) действует на V : ϕ ∈ GL(V ), v ∈ V , то ϕ(v) = ϕ(v) (точно. S
n действует на {1, . . . , n} тривиальным образом (точно. Если G действует на Ω, то можно определить действие G на Ω
2
: g((ω
1
, ω
2
)) =
(
g(ω
1
)
, g(ω
2
))
4. Рассмотрим группу O
2
— всех преобразований плоскости, ив рассмотрим правильный угольник D
n с центром в O Тогда можно определить группу диэдра D
n
= {
ϕ ∈ O
2
∣
ϕ(D
n
) =
D