Конспект подготовил Александр Васильев фивт мфти 2016
 Скачать 0.49 Mb.
|
|
n } . Тогда D n действует на) Плоскость R 2 (b) Вершины угольника) Стороны угольника) Множество точке n-угольника Определение Пусть G действует на Ω, ω ∈ Ω Тогда орбитой элемента ω называется G(ω) = {g(ω) ∣ g ∈ G}. Два элемента ω 1 , ω 2 ∈ Ω эквивалентны относительно действия, если Утверждение 1.12. Определённое отношение является отношением эквивалентности, его классы — это орбиты действия. Доказательство. ω 1 = e(ω 1 ) , те. отношение рефлексивно. Если то ω 2 = g(ω 1 ) ⇒ g − 1 ( ω 2 ) = g − 1 ( g(ω 1 )) = e(ω 1 ) = ω 1 ⇒ ω 1 ∈ G(ω 2 ) — отношение симметрично. Если ω 2 = g 1 ( ω 1 ) , ω 3 = g 2 ( ω 2 ) , то ω 3 = g 2 ( g 1 ( ω 1 )) = ( g 2 ○ g 1 )( ω 1 ) — транзитивность. Наконец, {ω ′ ∣ ω ′ ∈ G(ω)} = Следствие. Ω разбивается на орбиты действия. Определение Действие называется транзитивным, если у него одна орбита, те ω ′ = g(ω) Пример. У действия GL(V ) на V две орбиты {0} и V ∖ {0}. Теория групп 11 Определение Пусть G действует на Ω, ω ∈ Ω. Тогда St(ω) = {g ∈ G ∣ g(ω) = называется стабилизатором (стационарной подгруппой) элемента ω Утверждение 1.13. St(ω) < G Доказательство. Если g, h ∈ St(ω), то (gh)(ω) = g(h(ω)) = ω ⇒ gh ∈ St(ω). g − 1 ( ω) = g − 1 ( g(ω)) = e(ω) = ω ⇒ Утверждение 1.14. Пусть G действует на Ω, ω ∈ Ω, ω ′ ∈ G(ω); пусть. Тогда {g ∈ G ∣ ω ′ = g(ω)} = g ′ St(ω) = Доказательство. ω ′ = g(ω) ⇔ g ′− 1 ( ω ′ ) = ( g ′− 1 g)(ω) ⇔ ω = (g ′− 1 g)(ω) ⇔ g ′− 1 g ∈ St(ω) ⇔ g ∈ g ′ St(ω) . Наоборот, ω ′ = g(ω) ⇔ ω = g − 1 ( ω ′ ) ⇔ g − 1 ∈ g ′− 1 St(ω ′ ) ⇔ g ∈ Следствие. St(ω) = g ′− 1 St(ω ′ ) g ′ , те. стабилизаторы двух элементов одной орбиты сопряжены. Следствие. ∣G(ω)∣ = ∣G ∶ St(ω)∣ (если G(ω) — конечна, то ∣G(ω)∣ = ∣ G∣ ∣ St(ω)∣ ). Доказательство. Сопоставим любому множество {g ∈ G ∣ ω ′ = g(ω)} . Это множество — левый смежный класс по St(ω). Ясно, что разным элементам в G(ω) соответствуют разные смежные классы и любому смежному классу соответствует ω ′ ∈ G(ω) . Итак, мы придумали биекцию между G(ω) и G/St(ω) ∎ Теорема формула орбит. Пусть группа G действует на множество = Ω 1 ⊔ ⋅ ⋅ ⋅ ⊔ Ω k , где Ω i — орбиты действия, пусть ω i ∈ Ω i . Тогда = k ∑ i=1 ∣ Ω i ∣ = k ∑ i=1 ∣ G ∶ Примеры действия группы Действие на себя левыми сдвигами = G , ∀g, ω ∈ G g(ω) = g ⋅ ω. Орбиты – вся G (те. действие транзитив- но, ядро тривиально (g ≠ e ⇒ gω ≠ ω; такое действие называется свободным) = e . Это значит, что верна теорема Кэли: Теорема 1.8 (Кэли). Пусть G — группа. Тогда весть подгруппа H ≅ G. Доказательство. Действие левыми сдвигами определяет гомоморфизм ϕ ∶ G → S(Ω) = S(G) , причём Ker ϕ = {e}. Значит, ϕ — мономорфизм, G ≅ Im ϕ Действие на смежные классы сдвигами Пусть H < G. Тогда G действует левыми сдвигами на Ω = G/H: ∀g, x ∈ G g(xH) = gxH (g 1 ( g 2 ( xH)) = g 1 g 2 xH = (g 1 g 2 )( xH ). Орбита — G/H. Стабилизатор xH это {g ∣ gxH = xH}. Но gxH = xH ⇔ gx ∈ xH ⇔ g ∈ xHx − 1 . Значит, ядро 12 ФИВТ МФТИ действия есть = ⋂ x∈G xHx − 1 = Утверждение 1.15. K — наибольшая по включению подгруппа в H, которая нормальна в Доказательство. K ◁ G , т. к. это — ядро действия. Наоборот, если K ′ ◁ G , K ′ < H , то ∀x ∈ G K ′ = xK ′ x − 1 < xHx − 1 ⇒ K ′ < ⋂ x∈G xHx − 1 = K ∎ Упражнение. Пусть H < G, ∣G ∶ H∣ = n. Тогда существует L ◁ G такая, что ∶ L∣ ∣ Аналогичные действия правыми сдвигами определяются так g(ω) = ωg − 1 g(h(ω)) = ωh − 1 g − 1 = ω(gh) − 1 = ( gh)(ω) , e(ω) = Действие сопряжением на себя = G , g(ω) = ω g −1 . Проверка g(h(ω)) = (ω h −1 ) g −1 = ω h −1 g −1 = ω ( gh) −1 = ( gh)(ω) , e(ω) = ω . Орбита G(ω) = ω G — класс сопряжённости, стабилизатор gωg − 1 = ω ⇔ gω = ωg , те централизатор элемента ω, обозначается. Разумеется, C G ( ω) — наибольшая по включению подгруппа, все элементы которой перестановочны с ω. Ядро действия есть) = {g ∈ G ∣ ∀ω ∈ G gω = ωg} = Это множество называется центром группы. Замечание. Z(G) ◁ Утверждение 1.16. Если G — конечная группа, ω ∈ G, то ∣ω G ∣ Доказательство = ∣ G(ω)∣ Однако, ω ∈ C G ( ω) ⇒ ⟨ω⟩ < C G ( ω) ⇒ ∣ω∣ = ∣⟨ω⟩∣ ∣ ∣C G ( ω)∣ . Значит, ∣ω G ∣ Равенство достигается, если тривиален (степени Определение 1.20. Автоморфизм группы G — это изоморфизм G → Множество всех автоморфизмов G обозначается Aut(G), это — группа относительно композиции. Автоморфизм ϕ ∈ Aut(G) называется внутренним, если ∃h ∈ G∶ ∀g ∈ G ϕ(g) = g h . Множество всех внутренних автоморфизмов обозначается через Утверждение 1.17. Inn(G) < Aut(G). Более того, Inn(G) ≅ G/Z(G). Доказательство. Рассмотрим действие G на себя сопряжениями. Этого- моморфизм I ∶ G → S(G), образ элемента g ∈ G обозначим I g . Тогда ∀g ∈ G I g ∈ Aut(G) : I g ( xy) = (xy) g −1 = x g −1 y кроме того, I g — биекция). Значит, I ∶ G → Aut(G) < S(G), Inn(G) = Im I < Aut(G), Im I ≅ G/Ker I Упражнение. Inn(G) ◁ Aut(G) Теория групп 13 Действие сопряжением на подгруппы множество подгрупп G, g(H) = H g −1 = gHg − 1 < G . Орбита подгруппы все подгруппы, сопряжённые с H. Стабилизатор H St(H) = {g ∈ G ∣ gH = Hg} = N G ( H) — нормализатор подгруппы H. N G ( H) — наибольшая (по включению) подгруппа в G, в которой H нормальная. Замечание. Количество подгрупп, сопряжённых сесть Глава Свойства групп 2.1 p-группы Определение Пусть p — простое число. Группа G называется p-группой, если ∣G∣ = p n , n ∈ N ∖ {0}. Пример. Если ∣G∣ = p, то по теореме Лагранжа порядок e ≠ g ∈ G равен те. Значит, G циклическая и абелева. Теорема 2.1. Пусть G — группа. Тогда Z(G) ≠ {e}. Доказательство. Рассмотрим действие G на себя сопряжением. Орбиты классы сопряжённости, если g ∈ Z(G), то g G = { g} , иначе g ∉ Z(G) ⇒ 1 < ∣ g G ∣ = ∣ G ∶ C G ( g)∣ = p k . k зависит от g, но k ⩾ 1. Выберем представителей g для каждого класса сопряжённости, i ∈ {1, . . . , n}, тогда по формуле орбит n = ∣ G∣ = n ∑ i=1 ∣ g G i ∣ = ∣ Z(G)∣ + ∑ ∣ g G i ∣> 1 ∣ G ∶ C G ( g Второе слагаемое — сумма нетривиальных степеней p, но тогда p ∣ ∣Z(G)∣ ⇒ ∣ Z(G)∣ > Теорема 2.2. Пусть G — не абелева группа. Тогда G/Z(G) — не цикличе- ская. Замечание. Z(G) ◁ G можем рассматривать факторгруппу. Условие неа- белевости важно, так как иначе G = Z(G), и тогда G/Z(G) тривиальна, а потому циклична. Доказательство. Пусть это неверно. Положим Z = Z(G), и G/Z = ⟨aZ⟩, a ∈ G все левые смежные классы имеют вид a k ⋅ Z , k ∈ Z, т. к. G/Z циклична. Рассмотрим произвольные g, h ∈ G: g = a k x , h = a l y , k, l ∈ Z, x, y ∈ Z. Но тогда gh = a k xa l y = a l ya k x = hg , ведь x и y коммутируют со всеми элементами. Значит, G абелева, противоречие. ∎ Следствие. Если ∣G∣ = p 2 , где p — простое, то G — абелева. Доказательство. G — группа ⇒ Z(G) ≠ {e}, те или ∣Z(G)∣ = Во втором случаете абелева. Если же ∣Z(G)∣ = p, то ∣G/Z(G)∣ = p ⇒ G/Z(G) — циклическая, тогда G всё равно должна быть абелевой Теория групп 15 Пример. Рассмотрим в подгруппу UT 3 (Z p ) унитреугольных матриц, т. к. матриц вида a b 0 1 c 0 0 это действительно подгруппа. ∣UT 3 (Z p )∣ = p 3 , иона не абелева, т. к 1 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⋅ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⋅ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Упражнение. Какой у центр ∣Z(UT 3 (Z p ))∣ ∈ { p, Лемма Бернсайда Теорема 2.3. Пусть конечная группа G действует на Ω транзитивно. Определим для g ∈ G F (g) = ∣{ω ∈ Ω ∣ g(ω) = ω}∣. Тогда (g) = ∣G∣ Доказательство. Занумеруем G = {g и Ω = {ω i } k 1 , обозначим, j) если g i ( w j ) = w j 0, иначе , тогда F (g i ) = k ∑ j=1 ( i, j), ∑ g∈G F (g) = ∑ i,j ( i, Заметим, что n ∑ i=1 ( i, j) = ∣ St(w j )∣ = ∣ G∣ ∣ G(w а тогда сумма всех (i, j) — это ∣ Ω∣ = Если G действует на Ω, то можем определить действие на Ω 2 : g((ω 1 , ω 2 )) = ( g(ω 1 ) , Определение Действие G на Ω называется транзитивным, если действие G на Ω 2 транзитивно. Упражнение. Если действие 2-транзитивно, то ∑ g∈G F (G) 2 = 2∣G∣ 16 ФИВТ МФТИ Следствие (Лемма Бернсайда). Пусть конечная группа G действует наконечное, обозначим за Ω/G множество орбит этого действия. Тогда = 1 ∣ G∣ ∑ g∈G F (g). Доказательство. Пусть Ω/G = {Ω i } k i=1 , тогда тем же действием G действует на Ω i транзитивно. Обозначим F i ( g) = ∣{w ∈ Ω i ∣ g(w) = w}∣ . Тогда по теореме) = ∣G∣ , при этом F (G) = ∑ k i=1 F i ( G) , а тогда (g) = k ∑ i=1 ∑ g∈G F i ( g) = k ⋅ ∣G∣ = ∣Ω/G∣ ⋅ ∣G∣. ∎ Пример. Пусть p — нечётное простое число, k ∈ N. Нужно найти количество ожерелий из p бусин, которые могут иметь k разных цветов, повороты и перевороты отождествляются. Если бы они не отождествлялись, ответом было бы k p . Обозначим множество фиксированных ожерелий за Ω, на него действует группа диэдра D p , тогда искомое число — ∣Ω/D p ∣ . Орбита — одно ожерелье с точностью до поворотов и переворотов. По лемме Бернсайда, достаточно найти (для любого g ∈ D p 1. g = e, F (g) = ∣Ω∣ = k p 2. g — осевая симметрия, F (g) = k ( p+1)/2 3. g — нетривиальный поворот. Тогда он сохранит элемент только если все бусины имеют один цвет, т. к. p — простое, те Итого, ∣Ω/D p ∣ = 1 2p ( k p + k ( p+1)/2 ⋅ p + k(p − Прямое произведение групп Определение Пусть G 1 , G 2 — группы. Их (внешним) прямым произведением называется множество G = G 1 × G 2 = {( g 1 , g 2 ) ∣ g 1 ∈ G 1 , с операцией (g 1 , g 2 ) ⋅ ( g ′ 1 , g ′ 2 ) = ( g 1 g ′ 1 , Утверждение 2.1. Если G 1 , G 2 — группы, то G 1 × G 2 — группа. Доказательство. Ассоциативность следует из ассоциативности иней- тральным будет (e 1 , а обратным к (g 1 , g 2 ) — (g − 1 1 , g − 1 Утверждение 2.2. Для групп G 1 , G 2 , верно. G 1 ≅ G 1 × { e} ◁ G 1 × G 2 2. G 1 × G 2 ≅ G 2 × G 1 3. (G 1 × G 2 ) × G 3 ≅ G 1 × (Доказательство Теория групп 1. Очевидно, G 1 × { e} < G 1 × G 2 . При этом, g ′ 2 ) − 1 ( g 1 , e)(g ′ 1 , g ′ 2 ) = ( g ′− 1 1 g 1 g ′ 1 , e) ∈ G 1 × { e} ⇒ G 1 × { e} ◁ Изоморфизм же осуществляется отображением ϕ ∶ g ↦ (g, e). 2. Изоморфизм осуществляется отображением (g 1 , g 2 ) ↦ ( g 2 , g 1 ) 3. Изоморфизм — ((g 1 , g 2 ) , g 3 ) ↦ ( g 1 , (g 2 , g 3 )) ∎ Замечание. Таким образом можно определить G 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × G k . Более того, аналогично можно определить и прямое произведение бесконечного числа групп, где I — произвольное множество индексов. Теорема 2.4. Пусть A, B ◁ G, AB = G, A ∩ B = {e}. Тогда G ≅ A × B. Доказательство. Покажем, что ∀a ∈ A, b ∈ B ab = ba. Действительно, рассмотрим и из их нормальности, а тогда aba − 1 b − 1 ∈ A ∩ B = {e} , те Построим отображение ϕ ∶ A × B → G: ϕ ∶ (a, b) ↦ ab. Тогда ϕ((a 1 , b 1 ) ⋅ ( a 2 , b 2 )) = ϕ((a 1 a 2 , b 1 b 2 )) = a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1 b 1 a 2 b 2 = ϕ((a 1 , b 1 )) ⋅ ϕ((a 2 , b 2 )) гомоморфизм. Т. к. AB = G, Im ϕ = AB = G. Наконец, если (a, b) ∈ Ker ϕ, то ab = e ⇒ a = b − 1 ∈ A ∩ B = {e} ⇒ a = b = e ⇒ Ker ϕ = {(e, e)} . Значит, ϕ — изоморфизм. ∎ Определение В ситуации, описанной в теореме, G является внутренним прямым произведением и Замечание. G/A = AB/A ≅ B/B ∩ A = B/{e} ≅ по первой теореме об изоморфизме. Аналогично, G/B = Утверждение 2.3. Пусть G = A × B — прямое произведение групп A и Пусть A 1 ◁ A, B 1 ◁ B. Тогда A 1 × B 1 ◁ A × B, причём (A × B)/(A 1 × B 1 ) = ( A/A 1 ) × ( B/B 1 ) Доказательство. Пусть A = A/A 1 , B = B/B 1 , и пусть π A ∶ A → A , π B ∶ B → B — соответствующие канонические эпиморфизмы. Рассмотрим π = π A × π B ∶ A × B → A × B , π(a, b) = (π A ( a), π B ( b)) . Нетрудно видеть, что π — эпиморфизм групп. Ker π = Ker π A × Ker π B = A 1 × B 1 . Итаки В заключение, рассмотрим более общую ситуацию. Пусть A ◁ G, B < G, причём AB = G, A ∩ B = {e}. В этом случае, G называется полупрямым произведением и B: G = A ⋋ Примеры. S n = A n ⋋ ⟨( 1, 2)⟩ , n ⩾ 2. (но S n ≇ A n × ⟨( 1, при n ⩾ 3, ибо Z(S n ) = { e} ). 2. Как описать полупрямые произведения групп Пусть G = A⋋B, ∀b ∈ B bAb − 1 = A . Значит, группа B действует сопряжением нате. возникает гомоморфизм 18 ФИВТ МФТИ ψ ∶ B → Aut A : [ψ(b)](a) = bab − 1 = a b −1 . Задание групп A, B и гомоморфизма однозначно задаёт G. Действительно, для любого g ∈ G существует единственное разложение g = ab, a ∈ A, b ∈ B. Умножение задаётся так, b 1 )( a 2 , b 2 ) = a 1 b 1 a 2 b 2 = a 1 ( b 1 a 2 b − 1 1 ) b 1 b 2 = a 1 ® ∈ A [ ψ(b 1 )]( a 2 ) ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ ∈ A b 1 b 2 ° ∈ B Упражнение. Пусть A, B — группы, ψ ∶ B → Aut A — гомоморфизм. Тогда можно определить группу так G = A × B, (a 1 , b 1 )( a 2 , b 2 ) = ( a 1 ⋅ [ ψ(b 1 )]( a 2 ) , b 1 b 2 ) 2.4 Коммутант Определение Пусть G — группа, x, y ∈ G. Коммутатором этих элементов называется [x, y] = Утверждение 2.4. Для любых x, y ∈ G верно. xy = yx ⇔ [x, y] = e 2. xy = [x, y]yx 3. [x, y] − 1 = [ y, x] 4. [x, y] g = [ x g , y Доказательство. Следует из следующего свойства. [x, y] ⋅ yx = xyx − 1 y − 1 yx = xy 3. [x, y] − 1 = yxy − 1 x − 1 = [ y, x] 4. Следует из того, что сопряжение — автоморфизм. ∎ Замечание. Если ϕ ∶ G → A — гомоморфизм в абелеву группу A, то ϕ([x, y]) = [ ϕ(x), ϕ(y)] = Определение Пусть G — группа, тогда G ′ = ⟨{[ x, y] ∣ x, y ∈ называется коммутантом группы Более общо если K, H < G, то их взаимным коммутантом называется подгруппа. Таким образом, G ′ = [ G, Замечание. {[x, y] ∣ x, y ∈ необязательно является подгруппой в G. Упражнение. Привести соответствующий пример. Утверждение 2.5. Пусть ϕ ∶ G → H — гомоморфизм групп. Тогда ϕ(G ′ ) < H ′ . Более того, если ϕ — эпиморфизм, то ϕ(G ′ ) = H ′ Доказательство. Для любых x, y ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] ∈ H ′ . Значит, ϕ({[x, y] ∣ x, y ∈ G}) ⊆ H ′ ⇒ ϕ(G ′ ) = ⟨{ ϕ([x, y]) ∣ x, y ∈ G}⟩ ⊆ H ′ . Если же ϕ — эпиморфизм, то ∀a, b ∈ H ∃x, y ∈ G∶ ϕ(x) = a, ϕ(y) = b. Тогда [a, b] = ϕ([x, y]) ∈ ϕ(G ′ ) ⇒ H ′ ⊆ ϕ(G ′ ) ⇒ ϕ(G ′ ) = H ′ ∎ Теория групп 19 Следствие. K ◁ G ⇒ K ′ ◁ G. Доказательство. Пусть g ∈ G, I g ∈ Aut G , I g ( x) = x g −1 . Тогда, т. кто, те автоморфизм группы K. Значит, I g ( K ′ ) = K ′ , те. Определение 2.7. G ′′ = ( G ′ ) ′ , по индукции, G ( n) = ( G ( n−1) ) ′ . Подгруппа G ( n) называется м коммутантом группы Следствие. G ′ ◁ G; более того, G ( n) ◁ G. Доказательство. Индукция по n. При n = 0, G◁G. Шаг индукции — предыдущее следствие. ∎ Теорема 2.5. Для группы G верно. G/G ′ — абелева группа. Если G ′ < K < G, то K ◁ G. 3. Если K ◁ G, причём G/K — абелева, то G ′ < K. Замечание. Это значит, что G ′ — наименьшая по включению нормальная подгруппа, факторгруппа по которой Абелева. Доказательство. 1. Пусть π ∶ G → G/G ′ — канонический эпиморфизм, тогда ∀x, y ∈ G [π(x), π(y)] = π([x, y]) = e ⇒ и π(y) коммутируют. Поскольку π — эпиморфизм, то абелева. Рассмотрим π(K) = K/G ′ < G/G ′ . Поскольку G/G ′ — абелева, то K/G ′ ◁ G/G ′ , и по второй теореме об изоморфизме K ◁ G. 3. Пусть G/K — абелева. Рассмотрим канонический эпиморфизм π ′ ∶ G → G/K . Тогда π ′ ([ x, y]) = [π ′ ( x), π ′ ( y)] = e ⇒ [x, y] ∈ Ker для произвольных. Значит, G ′ < K ∎ Замечание. Наоборот, если G |