Конспект подготовил Александр Васильев фивт мфти 2016

• Название: Конспект подготовил Александр Васильев фивт мфти 2016
• Дата: 16.10.2021
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: group_theory.pdf
• Тип: Конспект; #248914
• страница: 5 из 5

+ ∑
k i=2
(
d i
−
qn i
)
a i
. Итак, в разложении элемента b − по базису (a
1
, . . . , a есть коэффициент с r < противоречит с выбором b
1
. Т. кто. Предположим, что n
1
∤
d при некотором i ⩾ 2. Положим b
′
1
=
b −
d
1
n
1
b
1
+
b
1
∈
B
,
b
′
1
=
n
1
a
1
+ ∑
k i=2
d i
a i
. Тогда выражается через (a
1
, . . . , a с одним из коэффициентов равным n
1
, применяя к нему старое рассуждение, получаем противоречие. Итак, n
1
∣
d i
, i = 1, . . . , k
. Это означает, что B < n
1
A
3. Заметим, что A = ⟨a
1
, . . . , a k
⟩ = ⟨
a
1
⟩⊕⟨
a
2
, . . . , a k
⟩
. Обозначим A
∗
= ⟨
a
2
, . . . , a и положим B
∗
=
B ∩ A
∗
, тогда B = ⟨b
1
⟩ ⊕
B
∗
. Действительно, ∀b ∈ B b =
∑
k i=1
d i
a и n
1
∣
d i
. Тогда b = d
1
a
1
+∑
k i=2
d i
a i
=
d
1
a
1
+
b
∗
, где d
1
a
1
=
d
1
n
1
b
1
, аи. Итак, ⟨b
1
⟩+
B
∗
=
B
. Кроме того, ⟨b
1
⟩∩
B
∗
⊆ ⟨
a
1
⟩∩
A
∗
=
0
. Значит, эта сумма — прямая. Применим предположение индукции к B
∗
<
A
∗
. Получим согласованные базисы (a
′
2
, . . . , в ив такие, что b i
=
m i
a
′
i
, m
2
∣ ⋅ ⋅ ⋅ ∣
m l
. Тогда A = ⟨a
1
⟩ ⊕ ⟨
a
′
2
, . . . , a
′
k
⟩ ⇒
(
a
1
, a
′
2
, . . . , a
′
k
)
— базис в A. B = ⟨b
1
⟩ ⊕ ⟨
b
2
, . . . , b l
⟩
, причём (b
2
, . . . , b l
)
— базис в B
∗
, а тогда (b
1
, . . . , b l
)
— базис в B. Осталось выяснить, что Это так, поскольку B < n
1
A коэффициенты разложения по базису a
1
, a
′
2
, . . . , a
′
k делятся нате. Следствие. Пусть C — конечно порождённая абелева группа. Тогда ≅ Z
t
× Z
m
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × Z
m где t ⩾ 0 и m i
— натуральные числа, m i
>
1, причём m
1
∣
m
2
∣ ⋅ ⋅ ⋅ ∣
m l

Теория групп
35
Доказательство.
Как мы знаем, C ≅ A/B, где A — свободная абелева группа и B < A. Выберем в A и B согласованные базисы (из теоремы. Тогда A =
⟨
a
1
⟩ × ⋅ ⋅ ⋅ × ⟨
a k
⟩
, и B = ⟨b
1
⟩ × ⋅ ⋅ ⋅ × ⟨
b l
⟩
, при этом ⟨b i
⟩ < ⟨
a i
⟩
. Значит ≅ ⟨a
1
⟩/⟨
b
1
⟩×⋅ ⋅ ⋅×⟨
a l
⟩/⟨
b l
⟩×⟨
a l+1
⟩×⋅ ⋅ ⋅×⟨
a k
⟩ ≅ Z/m
1
Z×⋅ ⋅ ⋅×Z/m l
Z×Z×⋅ ⋅ ⋅×Z ≅ Z
k−l
×Z
m
1
×⋅ ⋅ ⋅×Z
m Наконец, если m i
=
1
, то Z
m i
= и этот сомножитель можно выкинуть.
∎
Следствие. Пусть C — конечно порждённая абелева группа. Тогда ≅ Z
t
× Z
p
α1 1
× ⋅ ⋅ ⋅ × Z
p
αs где p
1
, . . . , p s
— простые (необязательно различные, а α
i
∈ N.
Доказательство.
Если m i
=
p
α
1 1
. . . p
α
d d
, то Z
m i
≅ Z
p
α1 1
× ⋅ ⋅ ⋅ × Z
p
αd d
. Осталось применить это к каждому сомножителю вида Z
m Следующая цель — доказать единственность такого разложения (точнее, единственность набора из t и системы (p
α
1 1
, . . . , p
α
s s
)
— с точностью до перестановки).
Утверждение 4.2. Пусть C — группа вида. Тогда T (C) = {0}
t
× Z
p
α1 1
×
⋅ ⋅ ⋅ × Z
p
αs и C/T (C) ≅ Z
t
Доказательство.
Пусть x ∈ C, x = (x
1
, . . . , x t
, y
1
, . . . , y s
)
. Если x i
≠
0
, то ord x = ∞
, ибо ∀n ∈ Z
+
nx i
≠
0
. Если x
1
= ⋅ ⋅ ⋅ =
x t
=
0
, то p
α
1 1
. . . p
α
s s
x = 0
. Итак (C)
охарактеризован.
Тогда C/T (C) ≅ (Z/{0})
t
× Z
α
1
p
1
/Z
α
1
p
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × Z
α
s p
s
/Z
α
s p
s
≅ Теорема 4.4. Пусть F — поле, а G < F
∗
, ∣F ∣ < ∞. Тогда G — циклическая.
В частности, если ∣F ∣ < ∞, то F
∗
— циклическая.
Доказательство.
Поскольку ∣G∣ < ∞, G — конечно порождённая абелева группа, где 1 < m
1
∣
m
2
∣ ⋅ ⋅ ⋅ ∣
m k
. Тогда ∀g ∈ G g m
k
=
1
, те. все элементы G — это корни уравнения x m
k
−
1 = 0 их не болеете Значит, k = 1 и G ≅ Z
m Единственность представления
Пусть
A = Z
t
× Z
p
α1 1
× ⋅ ⋅ ⋅ × Z
p
αs s
,
B = Z
u
× Z
q
β1 1
× ⋅ ⋅ ⋅ × Z
q
βr r
,
p i
, q i
— простые. Пусть A ≅ B, тогда хотим доказать, что t = u, r = s и наборы 1
, . . . , p
α
s и (q
β
1 1
, . . . , q
β
r совпадают с точностью до перестановки.
Следствие. T (A) ≅ T (B), t = u.
Доказательство.
Первое утверждение очевидно. Для второго Z
t
≅
A/T (A) ≅
B/T (B) ≅ Z
u
. Итак, в этой группе существует базис из t и u элементов ⇒ t В дальнейшем можно считать, что A = T (A), B = T (B) те Утверждение 4.3. Пусть A = Z
p
α1
× Z
p
α2
×
. . . Z
p
αk
× Z
p
γ2 2
× ⋅ ⋅ ⋅ × Z
p
γl l
, где p
2
, . . . , p отличны от p. Тогда (единственная) силовская подгруппа весть
36
ФИВТ МФТИ
Доказательство.
Ясно, что P
p
<
A
. ∣A∣ = p
α
1
+⋅⋅⋅+
α
k
⋅ ∏
l i=2
p
γ
i i
, а ∣P
p
∣ Значит, P
p
— силовская подгруппа. Наконец, P
p
◁
A ⇒ Следствие. Достаточно доказать совпадение наборов (p
α
i и (q
β
j для случая p
1
= ⋅ ⋅ ⋅ =
p s
=
q
1
= ⋅ ⋅ ⋅ =
q Утверждение 4.4. Пусть A = Z
p
α1
×
. . . Z
p
αs
, B = Z
p
β1
×
. . . Z
p
βr
. Тогда,
если A ≅ B, то наборы (α
1
, . . . , и (β
1
, . . . , совпадают (с точностью до перестановки).
Доказательство.
Индукция по ∣A∣. Если ∣A∣ = p, то A ≅ B ≅ Пусть ∣A∣ > p. Тогда рассмотрим pA = pZ
p
α1
× ⋅ ⋅ ⋅ ×
pZ
p
αs
≅ Z
p
α1−1
× ⋅ ⋅ ⋅ × и pB = pZ
p
β1−1
× ⋅ ⋅ ⋅ ×
pZ
p
βr −1
. Тогда, т. к. pA ≅ pB, ∣pA∣ = ∣pB∣. Но ∣pA∣ =
∣
A∣
p и =
∣
B∣
p r
. Итак, s = Кроме того, к pA и pB можно применить предположение индукции, получив,
что наборы (α
1
−
1, . . . , и (β
1
−
1, . . . , совпадают с точностью до перестановки и, возможно, выкидывания нулей из этих наборов (случай α
i
−
1 = соответствует тривиальному сомножителю Z
p
0
, который можно выкинуть. Но,
так как s = r, нулей в них одинаковое количество ⇒ он совпадают с точностью до перестановки, а значит, совпадают и наборы (α
1
, . . . , и (β
1
, . . . , Если pA = {0}, то α
1
= ⋅ ⋅ ⋅ =
α
s
=
β
1
= ⋅ ⋅ ⋅ =
β
r
=
1
, и утверждение также верно.
∎
Теорема 4.5. Пусть A — конечно порождённая абелева группа. Тогда = Z
t
× Z
p
α1 1
× ⋅ ⋅ ⋅ × Z
p
αs где t ⩾ 0, s ⩾ 0, p i
— простые числа, α
i
⩾
1. В любых таких представлениях группы A совпадают значения t, а также наборы (p
α
1 1
, . . . , p
α
s с точностью до перестановки).
Замечание.
Таких разложений может быть много. В группе Z
t существует много базисов, любой базис a
1
, . . . , a дат прямое разложение Z
t
= ⟨
a
1
⟩ × ⋅ ⋅ ⋅ × ⟨
a t
⟩
2. В группе Z
p
× Z
p можно выбрать любые два элемента a итак что a ∉ ⟨b⟩,
b ∉ тогда a, b ≠ 0). В таком случаете. По сути, Z
2
p
— это двумерное пространство над полем Z
p
, а (a, b) базис в нм. Пусть A = Z × Z
2
. Выберем a = (1, 1) и b = (0, 1). Тогда ⟨a⟩ ≅ Z, ⟨b⟩ ≅ Z
2
, и = ⟨a⟩ × ⟨b⟩
. (канонический выбор — это (1, 0), (0, 1)).
Упражнение.
Мы доказали, что любая конечно порождённая группа есть A ≅ Z
t
× Z
m
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × Z
m k
, где t ⩾ 0, k ⩾ 0, m и m
1
∣
m
2
∣ ⋅ ⋅ ⋅ ∣
m k
. Докажите,
что ив этом представлении все параметры восстанавливаются однозначно.
Замечание.
Ещё одно следствие из теоремы о существовании согласованных базисов. Пусть A = Z
k
, B — подгруппа в A, порождённая столбцами некоторой

Теория групп
37
матрицы M = (m ij
) ∈
M
k×n
(Z). Тогда в A и B существуют согласованные базисы, . . . , a и (b
1
, . . . , b такие, что b i
=
d i
a i
, d
1
∣
d
2
∣ ⋅ ⋅ ⋅ ∣
d Замена базиса в A соответствует умножению M на матрицу перехода S ∈
M
k×k
(Z), det S = ±1. Можно показать, что переход к (b
1
, . . . , b l
, 0, . . . , также можно осуществить с помощью матрицы перехода T ∈ M
n×n
(Z), det T = таким образом T = Diag(d
1
, d
2
, . . . , d l
, 0, . . . Полученная матрица называется смитовой нормальной формой матрицы В этом случае A/B = Z
d
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × Z
d l
× Z
k−l
, где d
1
, . . . , d определяются однозначно.
Таким образом, смитова нормальная форма матрицы M единственна.
Упражнение.
Восполните пробелы.
Упражнение. d миноры матрицы M порядка i).

Глава Кольца и поля
5.1
Базовые понятия теории колец
Определение Кольцо — это множество с двумя операциями (R, +, для которых выполняются следующие свойства. (R, +) — абелева группа. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
3. a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c и (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ Кольцо коммутативно, если ∀a, b ∈ R a ⋅ b = b ⋅ Кольцо — с единицей, если ∃1 ∈ R∶ ∀a ∈ R 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = Определение Кольцо с единицей называется алгеброй на полем F если F ⊆ R и ∀a ∈ R ∀f ∈ F af = fa. В этом случае R — линейное пространство над F . Размерность алгебры — размерность этого линейного пространства.
Примеры.
1. Любое поле F — алгебра над F (а также над простым подполем Q или Z
p
).
2. F [x] — алгебра над F .
3. M
m×m
(
F )
— некоммутативная алгебра над F (отождествляем элементы λ со скалярными матрицами Определение Пусть R, S — кольца. Отображение ϕ ∶ R → S, если, b ∈ R ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(ab) = Замечание. ϕ
— гомоморфизм абелевых групп (R, +) и (S, +). В частности) = и ϕ(−a) = Определение Пусть ϕ ∶ R → S — гомоморфизм колец. Образ Im ϕ =
ϕ(R)
, его ядро Ker ϕ = Замечание. Im ϕ
— подкольцо в Определение Пусть ∅ ≠ I ⊆ R. I называется идеалом кольца R (запись ◁ R
), если I — подгруппа в (R, +) и ∀a ∈ R aI ⊆ I ⊇ Ia.
38

Теория групп
39
Утверждение 5.1. Пусть ϕ ∶ R → S — гомоморфизм колец, тогда Ker ϕ ◁
R.
Доказательство.
Т. к. ϕ — гомоморфизм колец, то ϕ — гомоморфизм аддитивных групп этих колец, те. Пусть теперь b ∈ Ker ϕ, a ∈ Тогда ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(a) ⋅ 0 = 0, те. Аналогично Пусть R — кольцо, I ◁ R. Тогда (R/I, +) — группа. Определим на R/I умножение+ I.
Замечание.
Произведение множеств a + I и b + I — необязательно+ Упражнение. (a + I)(b + I) ⊆ ab + Проверим корректность умножения. Пусть b + I = b
′
+
I
(⇔ b − b
′
∈
I
). Значит − b
′
) =
ab − ab
′
∈
I ⇒ ab + I = ab
′
+
I
. Итак, от выбора представителя b в b + произведение не зависит. Аналогично оно не зависит от выбора представителя в a + Теорема 5.1. Пусть I ◁ R. Тогда (R/I, +, ⋅) — кольцо. При этом существует канонический эпиморфизм колец π ∶ R → R/I, π(a) = a + I.
Доказательство.
Все аксиомы кольца проверяются рутинным образом. Например, дистрибутивность + I) ⋅ ((b + I) + (c + I)) = (a + I) ⋅ ((b + c) + I) = a(b + c) + I = (ab + ac) + I =
= (
ab + I) + (ac + I) = (a + I) ⋅ (b + I) + (a + I) ⋅ (c + Аналогично, проверка того, что π — эпиморфизм, рутинна.
∎
Определение Кольцо (R/I, +, ⋅), описанное выше, называется фактор- кольцом по идеалу Теорема основная теорема о гомоморфизмах колец. Пусть ϕ ∶ R →
S — гомоморфизм колец. Тогда Ker ϕ ◁ R, Im ϕ — подкольцо в S и при этом ϕ ≅ R/Ker Доказательство. ϕ
— это также гомоморфизм аддитивных групп, поэтому ϕ ≅ R/Ker как абелевы группы. Этот изоморфизм задаётся ψ ∶ Im ϕ →
R/Ker ϕ
, ψ(x) = Теперь осталось проверить, что ψ сохраняет умножение. Пусть x = ϕ(a),
y = ϕ(b)
. Тогда xy = ϕ(ab) ⇒ ψ(x) = a+I, ψ(y) = b+I и ψ(xy) = ab+I = (что и требовалось.
∎
Замечание.
Существуют аналоги первой и второй теоремы об изоморфиз- мах.
Определение Пусть R — кольцо, I ◁ R. Тогда I называется максимальным идеалом, если. I ≠ R.

40
ФИВТ МФТИ
2. Если J ◁ R и I ⊂ J, то J = I или J = Утверждение 5.2. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, I максимальный идеал в R. Тогда R/I — поле.
Доказательство. R/I
— кольцо, при этом R ≠ I ⇒ R/I состоит более чем из одного элемента. Заметим 1 ≠ I (иначе I ⊇ RI ⊇ R ⋅ 1 = R). Значит, 1 + I ≠ I единица кольца Осталось проверить любой a+I ∈ R/I ∖{I} обратим. Пусть J = I +aR. Тогда ◁ R
, I ⊆ J и a ∈ J ∖ I. Значит, J ≠ I ⇒ J = R. Значит, 1 ∈ J, те. Тогда + I) ⋅ (b + I) = ab + I = ab + x + I = 1 + Значит, a + I обратим.
∎
Замечание.
Для коммутативных колец без единицы утверждение также вер- но.
Замечание.
Для некоммутативных колец утверждение неверно более того, ненулевые элементы факторкольца необязательно обратимы. Например, в нет нетривиальных идеалов ⇒ 0 ◁ M
n×n
(
F )
— максимален!
Определение Пусть a
1
, . . . , a n
∈
R
. Тогда идеал, порождённый этими элементами это, . . . a n
) =
⋂
I◁R,a Идеал называется главным, если он порождён одним элементом.
Замечание.
Если R — коммутативное кольцо с единицей, то, . . . , a n
) =
a
1
R + ⋅ ⋅ ⋅ + a n
R.
Упражнение.
Опишите (a
1
, . . . , a в некоммутативном кольце (с едини- цей).
Теорема 5.3. Пусть F — поле, R = F [x], I ◁ R. Тогда. I — главный те максимален ⇔ f неприводим (над F ).
Доказательство.
Если I = 0, то I = (0). Пусть I ≠ 0 и пусть f — ненулевой многочлен наименьшей степени, лежащий в I. Тогда (f) ⊆ I. Пусть g ∈ I, тогда g = qf + r
, где q, r ∈ R, deg r < deg f. Заметим, что r = g − qf ∈ I ⇒ r = 0 (иначе,
это противоречит выбору f). Значит, g = qf ∈ (f) ⇒ I ⊆ (f). Итак, (f) = Если f — приводим, то f = f
1
f
2
, 0 < deg f i
<
deg f ⇒ f
1
, f
2
∉
I
. Значит, (f
1
) и R ≠ (f
1
) ≠
I ⇒ не максимален. Наоборот, пусть f неприводим, J ◁ R, I ⊆ Тогда J = (g), g ∈ R. Так как f ∈ J, g ∣ f, те или g = αf, α ∈ В первом случае J = (g) = (1) = R, во втором — J = (g) = (f) = I. Итак, I
максимален.
∎
Следствие. Если f ∈ F [x] неприводим, тополе Теория групп Поле разложения многочлена
Определение Пусть R ⊆ S — коммутативные кольца, s ∈ S. Тогда подкольцо в s, порождённое R и s, те. пересечение всех подколец в, содержащих R и s; при этом = {
n
∑
i=0
r i
s i
∣
r i
∈
R} Пусть F ⊆ K и F — поле, a ∈ K. Тогда F (a) — подполе в K, порождённое F и a
, те это пересечение всех подполей в K, что F ⊆ F , a ∈ K
′
. Если = F (a)
, то K называется расширением поля F элементом Утверждение 5.3. Пусть F — поле, f ∈ F [x] — неприводимый многочлен.
Тогда существует расширение K = F (a), где a — корень многочлена f . Более того, все такие расширения изоморфны, и они изоморфны F [x]/(f ). При этом, K = F (a) = F [a].
Доказательство.
Положим K = F [x]/(f) — поле. Для любого b ∈ F отождествим) с b.
Упражнение.
Все элементы b + (f) различны.
Пусть a = x + (f). Тогда f(a) = f(x) + (f) = (f) ⇒ a — корень многочлена f в. Кроме того, разумеется, K = F [a] = F (a). Итак, одно расширение построено = F Пусть L = F (c) — произвольное расширение поля F элементом таким, что f (c) = 0
. Построим гомоморфизм ϕ ∶ F [x] → L, ϕ(g) = g(c). Тогда Im ϕ ≅
F [x]/Ker ϕ
, при этом f ∈ Ker ϕ ⇒ (f) ⊆ Ker ϕ, и (f) — максимален. Значит ϕ = F или Ker ϕ = (f). Первый случай невозможен, ибо ϕ(1) = 1 ≠ 0, те. Итак, Ker ϕ = (f) ⇒ Im ϕ ≅ F [x]/(f) = K. Значит, Im ϕ — подполе в содержащее F = ϕ(F ) и c = ϕ(x). Значит, Im ϕ ⊇ F (c) = L ⇒ Im ϕ = L ≅ K (при этом изоморфизме элементу c соответствует x + (Следствие. Пусть f ∈ F [x], deg f > 0. Тогда существует поле K ⊇ такое, что многочлен f раскладывается над K на линейные множители.
Доказательство.
Индукция по deg f, база при deg f = 1 тривиальна K =
F
. Пусть теперь deg f > 1, для многочленов меньших степеней это верно и f
1
— неприводимый делитель многочлена f. Тогда существует расширение L =
F [a]
, где a — корень f
1
. Значит, над полем L многочлен f раскладывается как f (x) = (x − a)g(x)
. Осталось применить предположение индукции к полю L и многочлену Определение Пусть f ∈ F [x], deg f > 0. Полем разложения многочлена над F называется поле K ⊇ F такое, что. Над K f раскладывается на линейные множители. K порождено корнями f и исходным полем.
Упражнение.
Поле разложения многочлена f существует и единственно с точностью до изоморфизма

42
ФИВТ МФТИ
Упражнение.
Пусть p — простое число, тогда любое поле из p элементов есть поле разложения x p
−
x над Z
p
. Кроме того, это поле разложения действительно содержит ровно p элементов