|
|
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ. Конспект подготовлен студентами, не проходил проф. Редактуру и может содержать ошибки. Следите за обновлениями на vk. Comteachinmsu
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ •
СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
уравнение Колмогорова - для производных по s, т.е. эти уравнения будут уравне- ниями 1 порядка относительно этих производных.
Сама теорема звучит так: если переходные плотности принадлежат классу C
1
, то справедливы два уравнения, одно из которых выражает
∂p ij
∂t
, а другое выражает
∂p ij
∂s
Мы хотим выразить
∂p ij
∂t
:
∂p ij
∂t
= lim
47→0
p ij
(s,t+4)−p ij
(s,t)
4
Мы находимся в ситуации, когда у нас есть три момента времени s, t, t + 4, к которым мы должны применить марковское свойство:
lim
47→0
p ij
(s,t+4)−p ij
(s,t)
4
= lim
47→0
P
N
k=1
p ik
(s,t)p kj
(t,t+4)−p ij
(s,t)
4
Здесь у нас присутствует переходная плостность за малое время 4. Мы долж- ны воспользоваться дифференцируемостью наших переходных плотностей, кото- рая значит, что мы за малый промежуток времени не можем с большой условной вероятностью перейти от одного состояния к другому:
p kj
(t, t+4)
ведет себя по-разному при 4 7→ 0. Поэтому при вычислении этой суммы мы разобьем ее на две:
lim
47→0
p ij
(s,t+4)−p ij
(s,t)
4
= lim
47→0
P
N
k=1
p ik
(s,t)p kj
(t,t+4)−p ij
(s,t)
4
=
= lim
47→0
[
P
k6=i p
ik
(s,t)p kj
(t,t+4)
4
+
P
k6=i p
ij
(s,t)[p kj
(t,t+4)−p ij
(s,t)]
4
] =
=
P
k6=j p
ik
(s, t)
∂p kj
∂t
|
t=1
+ p ij
(s, t)
∂p ij
∂t
|
t=1
У нас получилось уравнение, в котором производные матрицы ˆπ по времени вы- ражаются через элементы самой матрицы и некоторые производные, которые об- разуют матрицу A
kj и тогда можем записать:
∂p ij
(s,t)
∂t
=
P
N
k=1
p ik
A
kj
(t)
Соотношение, которое мы получили, называется прямым уравнением Колмогорова.
Для однородных цепей Маркова с конечным числом состояний и с дискретным временем условие однородности состоит в том, что матрица ˆπ всегда одинакова. В
данном же случае мы должны сказать, что наша матрица A
ij зависит только от t и для однородной цепи Маркова она будет постоянной.
28
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU Теперь приступим к выводу обратного уравнения Колмогорова: ∂p ij (s,t) ∂s = lim 47→0 p ij (s,t+4)−p ij (s,t) 4 У нас снова есть три момента времени s, s + 4, t. В данном случае мы будем пере- ходить сначала от s к t, а потом от t к s + 4: lim 47→0 p ij (s,t+4)−p ij (s,t) 4 = lim 47→0 p ij (s,t+4)− P N k=1 (p ik (s,s+4)p kj (s+4,t)) 4 По аналогии с прямым уравнением Колмогорова, получаем: ∂p ij (s,t) ∂s = − P N k=1 A ik (t)p kj (s, t) Эти два уравнения позволяют восстановить матрицу ˆπ по известной матрице A. Если матрица A постоянна, т.е. наша марковская цепь однородна, то решение урав- нения Колмогорова достаточно понятное. При решении мы должны сказать, что если t 7→ s, то матрица ˆπ 7→ E, т.е. p ij (s, t) 7→ δ ij . Соответственно, смысл матрицы A состоит в том, что она показывает, какова матрица перехода за бесконечно малое время. Элементы матрицы A удовлетворяют следующим требованиям: • P N k=1 A ik = 0 • A ii ≤ 0 • A ij ≥ 0 В случае однородной цепи Маркова матрица A = const и можно выписать матри- цу ˆπ(s, t) = e A(t−s) . Точно также выглядит матрица Коши для систем уравнений с постоянными коэффициентами. Напишем теперь аналогичную формулу для переменной матрицы A. В качестве примере рассмотрим уравнение y 0 =ay . Если a = const, то его решение y = y 0 e at , где y 0 = 1 - начальное условие. Если же a - переменная, то y = y 0 e R t s a(t 0 )dt 0 Вернемся теперь к нашему изначальному вопросу. Если мы запишем формулу для переменных матриц по аналогии, то это будет неверно: ˆ π(s, t) = e ˆ A(t−s) 29 МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ •
СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Эту проблему решил итальянский математик Вольтерр:
ˆ
π(s, t) = e
ˆ
A(t−s)
= lim
4t7→0
(E + A4t i
)
n
, где A = const, 4t i
=
t−s n
В случае, когда A = A(t), получаем:
lim
4t7→0
[Π
N
i=1
(E + A(t i
)
t−s n
)] = Π
t
0=st
(E+A(t
0)dt
0)
- мультипликативный интеграл Воль- терра.
30
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU Лекция 7 Марковские цепи с непрерывным набором состояний Пусть у нас есть смесь, состоящая из двух веществ - 1 и 2. И между этими ве- ществами идет двусторонняя химическая реакция, т.е. мы можем с определенной вероятностью переходить из состояния 1 в состояние 2 и из состояния 2 в состояние 1. Эта задача аналогична задаче для марковской цепи с двумя состояниями. Пусть p 1 (t) - вероятность того, что мы находимся в состоянии 1, а p 2 (t) - в состоянии 2. Запишем уравнения на абсолютные вероятности: dp 1 dt = −αp 1 + βp 2 dp 2 dt = αp 1 − βp 2 Это уравнения с постоянными коэффициентами. Запишем их решения: p 1 (t) = e −(α+β)t + β α+β (1 − e −(α+β)t ) p 2 (t) = α α+β (1 − e −(α+β)t ) В начальный момент времени p 1 (t) 7→ β α+β , а p 2 (t) 7→ α α+β - равновесное состоя- ние. Если бы нам захотелось рассматривать марковские цепи с бесконечным числом состояний, то нам пришлось бы потребовать, чтобы все конечные суммы преврати- лись в ряды, чтобы они были абсолютно сходящимися. Для доказательства эрго- дичности необходимо предусмотреть, чтобы со временем наше решение не уходило в бесконечность. Теперь мы сделаем новый шаг вперед и откажемся от дискретного набора состоя- ний. Вместо этого мы будем считать, что состояния фиксируются какой-то коорди- натой x. Когда мы решали аналогичную задачу для случайных величин, мы столкнулись с тем, что если у нас есть дискретная случайная величина ξ, принимающая значения x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . , которые мы можем характеризовать вероятностями p 1 , p 2 , . . . , p n , . . . Но как только мы захотим, чтобы x пробегал некоторое континуальное множество, то мы не сможем задать наше распределение вероятностей как p 1 , p 2 , . . . , p n , . . . В таком случае нам необходимо либо задать меру на прямой, либо задать плотность вероятности. 31 МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU Мы будем рассматривать конечномерные распределения вероятности - возьмем на- бор моментов t 1 , t 2 , ... . Таким образом мы из бесконечномерного объекта сделаем набор конечномерных объектов. И плотность вероятности будет зависеть от этого набора моментов p n (t 1 , x 1 ; t 2 , x 2 ; ...; t n , x n ) Первое соображение состоит в том, что функция p n (t 1 , x 1 ; t 2 , x 2 ; ...; t n , x n ) облада- ет свойствами симметрии: при перестановке пар аргументов она не меняется. Если для нашего процесса выполнено марковское свойство, то эта функция вы- рождается в функции меньшего числа аргументов: p n (t 1 , x 1 ; t 2 , x 2 ; ...; t n , x n ) = p n−1 (t 1 , x 1 ; t 2 , x 2 ; ...; t n−1 , x n−1 )q(t n , x n |t n−1 , x n−1 ) , где q(t n , x n |t n−1 , x n−1 ) - переходная функция. Эту цепочку можно продолжать. Тогда в итоге мы получим выражение вида: p 1 (t 1 , x 1 )q(t, x|τ, y) Очевидно, что все многомерные функции должны быть связаны отношениями со- гласования. R R p n−1 (t 1 , x 1 ; t 2 , x 2 ; ...; t k−1 , x k−1 ; t k+1 , x k+1 ; ...; t n−1 , x n−1 )dx k = = p n (t 1 , x 1 ; t 2 , x 2 ; ...; t n , x n ) - свойство маргинальных функций распределения. Уравнение Колмогорова-Чепмена Рассуждения, которые приводят к искомому уравнению, состоят в следующем: возьмем трехмерную функцию p 3 (t 0 , x 0 ; τ, y; t, x) = p 1 (t 0 , x 0 )q(τ, y|t 0 , x 0 )q(t, x|τ, y) . С другой стороны, рассмотрим двумерную величину: p 2 (t 0 , x 0 ; t, x) = p 1 (t 0 , x 0 )q(t, x|t 0 , x 0 ) Теперь проинтегрируем p 3 по y. У нас должно быть выполнено условие согласо- вания, в результате котогоро мы получим следующее соотношение: q(t, x|t 0 , x 0 ) = R +∞ −∞ q(τ, y|t 0 , x 0 )q(t, x|τ, y)dy Это соотношение является уравнением Колмогорова-Чепмена. Оно является ана- логом того, что называется суммированием через промежуточные состояния или 32 МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ •
СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
того соотношения для промежуточного состояния, которое мы выписывали в рам- ках прошлой лекции для марковских цепей с непрерывным временем и конечным набором элементов. Теперь мы написали такое уравнение для переходной плотно- сти.
Дифференцирование корреляционного тензора однородного изотропного поля скорости
Теперь приступим к процедуре дифференцирования корреляционного тензора од- нородного изотропного поля скорости.
Мы рассматривали однородный изотропный зеркально-симметричный тензор:
< v i
(
x)v j
(y) >= A(r)δ
ij
+ B(r)
r i
r j
r
2
, где r = x − y.
И в той ситуации, когда поле скорости несжимаемо, т.е. divv = 0, возникает связь между функциями A(r) и B(r).
Как известно, divv =
∂v i
∂x i
. Идея состоит в следующем:
∂
∂x i
< v i
(
x)v j
(y) >
Мы хотим переставить интегрирование и дифференцирование. Тогда получим сле- дующее:
∂
∂x i
< v i
(
x)v j
(y) >=<
∂v i
(
x)
∂x i
, v j
(y) >
Т.к.
∂v i
(
x)
∂x i
= 0
, то <
∂v i
(
x)
∂x i
, v j
(y) >= 0
- это выполнение условий бездивергентно- сти.
С другой стороны, мы можем получить следующее:
∂A(r)
∂x i
δ
ij
+
∂B(r)
∂x i
r i
r j
∂r
2
+ B
δ
ii r
j r
2
+ B
δ
ij r
i r
2
+ Br i
r j
∂
∂x i
(
1
r
) =
= A
0
∂r
∂x i
δ
ij
+ B
0
∂r
∂x i
r i
r j
r
2
+ B
3r j
r
2
+ B
r j
r
2
− B
r i
r j
r
2
∂r
∂x i
∂
√
(x i
−y k
)
2
∂x i
=
2r i
2r
=
r i
r
С учетом этого, получаем:
33
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ •
СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
∂A(r)
∂x i
δ
ij
+
∂B(r)
∂x i
r i
r j
∂r
2
+ B
δ
ii r
j r
2
+ B
δ
ij r
i r
2
+ Br i
r j
∂
∂x i
(
1
r
) =
= A
0
∂r
∂x i
δ
ij
+ B
0
∂r
∂x i
r i
r j
r
2
+ B
3r j
r
2
+ B
r j
r
2
− B
r i
r j
r
2
∂r
∂x i
= A
0
r j
r
+ B
0
r j
r
+ B
3
r r
j r
+ B
1
r r
j r
− B
r j
r
= 0
В итоге получим:
A
0
+ B
0
+
3B
r
= 0
- это и есть условие бездивергентности.
34
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU Лекция 8 Уравнение Эйнштейна-Фоккера-Планка В рамках прошлой лекции мы остановились на уравнениях Колмогорова-Чепмена, которые связывают переходные плотности в три момента времени: q(t, x|t 0 , x 0 ) = R +∞ −∞ q(τ, y|t 0 , x 0 )q(t, x|τ, y)dy Смысл этого уравнения состоит в том, что для того, чтобы перейти из точки t 0 , x 0 в точку t, x мы можем сначала перейти в из начальной точки в промежуточную точку τ, y, из которой уже перейти в конечную точку. Это аналог формулы полной вероятности. Переходная плотность определяется разностью времен t − t 0 и если есть однород- ность по времени, то мы можем ввести аналог однородной марковской цепи, для которой будет определена переходная плотность: q(x|t − t 0 , x 0 ) = R +∞ −∞ q(x|t − τ, y)q(y|τ − t 0 , x 0 )dy Проблема состоит в том, что решать данные уравнения достаточно затруднитель- но. В пространстве состояний мы можем ввести не только меру, но и расстояние между точками. Есть естественная гипотеза о том, что за малое время наша точка далеко уйти не может, поэтому переходная плотность при t 0 7→ t должна концен- трироваться вблизи начальной величины. Для того, чтобы это сделать, мы должны понять, что мы примерно хотим полу- чить. Понятно, что мы хотим получить прямое и обратное уравнения Колмогорова. Мы встанем на точку зрения, состоящую в том, что мы хотим рассматривать та- кие процессы, в которых уравнение Смолуховского порождает уравнения второго порядка - такие процессы называются диффузионными. В контексте физики есть аналог прямого уравнения Колмогорова - это уравнение Эйнштейна-Фоккера-Планка. Для вывода этого уравнения из уравнения Смолухов- ского мы должны предположить, не ограничивая общности, что все наши функции дважды дифференцируемы по всем аргументам. Из уравнения Смолуховского мы должны выделить производные по времени и пространственные производные. По этому поводу Фоккер придумал следующее: q(t, x|t 0 , x 0 ) = R +∞ −∞ q(t, x|τ, y)q(τ, y|t 0 , x 0 )dy 35 МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU R +∞ −∞ ϕ(x)q(t, x|t 0 , x 0 )dx = R +∞ −∞ ϕ(x)dx R +∞ −∞ q(t, x|τ, y)q(τ, y|t 0 , x 0 )dy R +∞ −∞ ϕ(x)q(t + 4, x|t 0 , x 0 )dx = R +∞ −∞ ϕ(x)dx R +∞ −∞ q(t + 4, x|t, y)q(t, y|t 0 , x 0 )dy и будем считать, что 4 7→ 0 и стремиться выделить из этого временные и про- странственные производные. R +∞ −∞ ϕ(x)q(t + 4, x|t 0 , x 0 )dx = R +∞ −∞ R +∞ −∞ ϕ(x)q(t + 4, x|t, y)q(t, y|t 0 , x 0 )dxdy , где q(t + 4, x|t, y) - переходная плотность за малое время. Теперь положим ϕ(x) = ϕ(y) + ϕ 0 (y)(x − y) + 1 2 ϕ 00 (y)(x − y) 2 + O R +∞ −∞ ϕ(x) q(t+4,x|t 0 ,x 0 )−q(t,x|t 0 ,x 0 ) 4 dx = = R +∞ −∞ dyq(t, y|t 0 , y 0 )[ϕ 0 (y) R +∞ −∞ (x−y)q(t+4|t,x) 4 dx + 1 2 ϕ 00 (y) R +∞ −∞ (x−y) 2 q(t+4|t,x) 4 dx] Теперь мы сформулируем требование, при котором при 4 7→ 0 интеграл при ϕ 0 (y) стремился к конечному пределу, который называется A, а интеграл при ϕ 00 (y) - к B. В итоге мы получим такое уравнение: ∂q ∂t = − ∂ ∂x (Aq) + 1 2 ∂ 2 ∂x 2 (Bq) Мы предполагаем, что нам известны A и B и мы хотим найти функцию q из этого уравнения. Мы будем предполагать, что: • q ≥ 0 • R +∞ −∞ q(t, x|t 0 , x 0 )dx = 1 • при t 7→ t 0 : q(t, x|t 0 , x 0 ) = δ(x − x 0 ) Т.е. совсем избавиться от обобщенных функций не удается и начальное условие тут будет δ-функцией - также строится понятие фундаментального решения для урав- нения теплопроводности. Мы обсудили прямое уравнение Колмогорова, в котором рассматривалась после- довательность времен t 0 , t, t + 4 . При рассмотрении обратного уравнения у нас есть набор s, s + 4, t. Соответственно, мы должны будем записать уравнение Смо- луховского иначе: q(t, x|s, x 0 ) = R +∞ −∞ q(t, x|s + 4, y)q(s + 4, y|s, x 0 )dy 36 МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU Смещение q(s+4, y|s, x 0 ) мало, переходная вероятность заметна только если y −x 0 мало. Теперь выпишем обратное уравнение Колмогорова: − ∂q ∂t 0 = A ∂q ∂x + 3 2 ∂ 2 ∂x 2 q Мы можем выписать уравнение, которое получается для абсолютных вероятностей, - для этого необходимо прямое уравнение Колмогорова домножить на начальное условие и тогда мы получим: ∂p ∂t = − ∂ ∂x (Ap) + 1 2 ∂ 2 ∂x 2 (Bp) Именно такое уравнение и получалось у Эйнштейна, Фоккера и Планка. Понятно, как сформулировать представление о том, что наша система однород- на во времени: функции A и B - функции времени, а для однородной во времени системы эти функции становятся постоянными по времени. Коэффициент 1 2 ∂ 2 ∂x 2 (Bp) называется коэффициентом диффузии, а ∂ ∂x (Ap) - снос. Теперь понятно, как из этого получить винеровский процесс: нужно положить A = 0 , B = 2 - получим стандартный винеровский процесс на прямой. Как мы уже говорили, винеровский процесс связан с фундаментальным решением урав- нения теплопроводности. Теперь мы можем сказать, что винеровский процесс яв- ляется диффузионным процессом и уравнение теплопроводности - это уравнение Эйнштейна-Фоккера-Планка для винеровского процесса. Марковские процессы с непрерывным временем и континуальным числом состо- яний обнаруживают очень заментое сходство с уравнениями параболического типа. Понятно, что если эту конструкцию перенести на множество состояний в трехмер- ном пространстве, то будут возникать уравнения такого типа: ∂p ∂t = (v∇p) + 4(νp) Дальше возникает уравнение Каца-Фейнмана, с помощью которого можно связать решение уравнений параболического типа с марковскими процессами. 37 МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА |
|
|
Скачать 1.05 Mb.