|
|
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ. Конспект подготовлен студентами, не проходил проф. Редактуру и может содержать ошибки. Следите за обновлениями на vk. Comteachinmsu
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ •
СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
другую меру, связанную с процессом ξ. Тогда u(t, x) = M
x
{u
0
(ξ
t,x
)}
- среднее, выче- сленное по этой вероятностой мере. Это одна возможная точка зрения на структуру формулы Каца-Фейнмана.
Другая точка зрения состоит в том, что M
x
- интеграл по тому подпространству пространства C, которое состоит из траекторий, которые в момент t проходят через точку x. На этом пространстве есть мера, которая задана этим случайным процес- сом, и это просто интеграл Лебега по этой мере.
Теперь нам нужно убедиться, что формула Каца-Фейнмана действительно является решением интересующей нас задачи. Для этого мы должны проверить выполнение начального условия, затухания на бесконечности и выполнения уравнения.
В силу уравнений Фредгольма процесс ξ(s, x) = x − R
t s
vdσ + aεW
t−s не может уй- ти неконтролируемо далеко - в принципе этот процесс может принимать большие значения, но с очень маленькой вероятностью. И, соответственно, это обеспечивает затухание на бесконечности.
При t 7→ 0 : ξ(s, t) 7→ x и, соответственно, наше решение обращается в u
0
Теперь убедимся в том, что эта конструкция удовлетворяет уравнению теплопро- водности. Мы имеем дело с марковскими процессами и используем марковское свой- ство. Нам необходимо вычислить 4u. Для этого необходимо знать, чему равняется u(t + 4t, x) − u(t, x)
. Учитывая марковское свойство, можно переписать формулу
Каца-Фейнмана так:
u(t + 4t, x) = M
4
u(t, ξ
4t
)
ξ = x −
R
4t vdσ + aw
4t
Решим теперь уравнение Ито:
ξ
t,x
= x − v4t + aw
4t u(t, x − v4t + aw
4t
) = u(t, x) +
∂u
∂x
(−v4t + aw
4t
) +
1 2
∂
2
u
∂x
2
(a
2
w
2 4t
)
u(t + 4t, x) = u +
∂u
∂x
(−v4t) +
a
2 2
4t
∂
2
u
∂x
2 4u
4t
= −v
∂u
∂x
+
a
2
a
∂
2
u
∂x
2
при 4t 7→ 0:
∂u
∂t
+ v
∂u
∂x
= ε
∂
2
u
∂x
2 49
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU Таким образом, мы проверили, что формула Каца-Фейнмана удовлетворяет наше- му уравнению и является его решением. Когда мы рассматриваем меру винеровского процесса, у нас возникают интегра- лы такого типа: R +∞ −∞ e −ax 2 dx - интеграл Пуассона. Он является абсолютно сходящимся. Вместо этого интеграла и в оптике, и в квантовой механике систематически возни- кают R +∞ −∞ cos 2 (x)dx и R +∞ −∞ sin 2 (x)dx - интегралы Френеля. Они сходятся, но только условно. Формула Каца-Фейнмана справедлива как для случайного, так и для детермини- рованного полей скорости. Применим ее теперь для случайного поля v и попробуем вывести уравнение среднего поля. Для этого нам необходимо наделить наше поле случайное v определенными свойствами. Для проведения наших выкладок примем такую модель: пусть у нас есть ось вре- мени t, которая разбита на конечные участки длины 4 - модель с обновлениями. Мы будем считать, что поле скорости на разных участках независимо. В такой си- туации формула Каца-Фейнмана позволяет вывести уравнение для среднего поля. При конструировании этой модели мы пожертвовали однородностью времени - на оси времени есть выделенные моменты. А дифференциальные уравнения получа- ются тогда, когда время однородно. Выход из этой ситуации такой: мы получаем наши уравнения и делаем в них пре- дельный переход при 4 7→ 0 и, в результате, мы снова восстановим дифференци- альные уравнения - это называется коррелированной моделью или моделью с белым шумом. 50 МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU Лекция 12 Формула Каца-Фейнмана В рамках этой лекции мы посмотрим, как для короткокоррелированного прибли- жения выводится уравнение среднего поля. Мы должны стартовать с уравненияИто: ξ i = x i − R v i dσ + √ 2εw i Теперь нам нужно написать решение уравнения Ито с помощью метода последова- тельных приближений: ξ i = x i − v i 4 + √ 2εw 4 + ∂v i ∂x j (4ξ j ) = x i − v i 4 + √ 2εw 4 + ∂v i ∂x j (−v j 4 + √ 2εw j )4 u(t + 4t, x) = M u(t, ξ 4 ) u(t, ξ 4 ) = u(t, x) + ∂u ∂x i 4ξ i + 1 2 ∂ 2 u ∂x i ∂x k 4ξ i 4ξ k = = u(t, x) + ∂u ∂x i [−v i 4 + √ 2εw i4 + ∂v i ∂x j (−v j 4 + √ 2εw j ) + 1 2 ∂ 2 u ∂x i ∂x k (−v i 4 + √ 2εw i4 + + ∂v i ∂x j (−v j 4 + √ 2εw j ))] Таким образом мы вычислим то, что стоит под знаком винеровского интеграла и в итоге получим некоторое выражение для u(t, ξ 4 ) Дальше мы рассмотрим да момента времени n4 и (n + 1)4. Нам нужно взять среднее по винеровскому процессу и среднее по полю скорости. Сначала мы вычис- лим все средние по винеровскому процессу. После этого мы сделаем осреднение по всему тому, что происходило до момента времени n4, за которым будет следовать осреднение по промежутку (n4, (n + 1)4). В итоге у нас получится такое выражение: ∂θ ∂t = ε T 4θ , где θ =< u >, а ε T = ε + 2 4>
3
Теперь подумаем, как можно вывести уравнение среднего поля для вектора. В ка- честве примера поговорим о магнитном поле:
∂
H
∂t
= rot[
v
H] + ε4
H
- уравнение индукции.
∂
H
∂t
+ (
v∇)
H = (
H∇)v + ε4
H
51
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU Возникает желание вывести для этого уравнения формулу Каца-Фейнмана. Для этого нужно перейти в лагранжеву систему отсчета, которая должна включать не только адвекцию, но и диффузию. В итоге мы придем к такому уравнению: dH dt = ( H∇)v dH i dt = A ik H k , где A ik = || ∂v i ∂x k || Мы хотели бы написать решение этой системы уравнений и подставить его в фор- мулу Каца-Фейнмана. Введем понятие мультипликативного интеграла Вольтерра, который устроен следующим образом: Π(E + A(t i )4t i ) 7→ Π t t 0 =0 ( ˆ E + ˆ A(t 0 )dt 0 ) Формула Каца-Фейнмана для уравнения индукции имеет такой вид: H(t, x) = M x (Π t t 0 =0 ( ˆ E + ˆ A(t 0 )dt 0 ) H 0 (ξ t,x )) Запишем уравнение среднего магнитного поля в простейшем виде: ∂ B ∂t = rot[α B] + β4 B , где β = 2
>τ
3
, α =
τ
3
Как оказалось, наличие величины α 6= 0 нарушает принцип максимума: предполо- жим, что α, β = const. Тогда это уравнение становится уравнением с постоянными коэффициентами. Мы ищем решения, которые устроены так:
B = b(t)e ikx
, b(t) = e
γt
b.
Тогда мы получим следующее:
∂b
∂t
= [ik, αb] − βk
2
b.
Из этого уравнения можно покомпонентно выписать:
γb x
= −ikαb y
− βk
2
b x
γb y
= −ikαb x
− βk
2
b y
γb z
= −βk
2
b z
В итоге все свелось к алгебраической системе на собственный вектор b с собствен- ным значением γ. Мы ожидаем, что у этой задачи есть положительное собственное
52
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU значение. Из системы уравнений видно, что у нас возникают две группы уравнений. Рас- смотрим первую из них, состоящую из уравнения γb z = −βk 2 b z : (γ + βk 2 )b z = 0 Соответственно, собственный вектор будет таким 0 0 1 , γ = −βk 2 Т.к. α, β > 0, то данный случай для нас не интересен. Рассмотрим вторую группу уравнений. Выпишем эти уравнения в такой форме: ( (γ + βk 2 )b x + ikαb y = 0 −ikαb x + (γ + βk 2 )b y = 0 Из этой системы получаем, что γ = kα − βk 2 53 МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
|
|
|
Скачать 1.05 Mb.