Аналитическая геометрия. Контрольная работа 3 Аналитическая геометрия тема аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии
![]()
|
Задача №2. Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач, входящих в это задание. 1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ![]() ![]() ![]() Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точки ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда уравнение плоскости ![]() ![]() ![]() Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде ![]() ![]() ![]() 2) Найти нормальный вектор плоскости ![]() Решение. Нормальный вектор ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 3 Для плоскости ![]() ![]() ![]() Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Найти косинус угла между плоскостями ![]() ![]() Решение. Угол ![]() ![]() ![]() ![]() Для плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4) Составить уравнение плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку ![]() ![]() Подставим в уравнение (3.8) координаты точки ![]() ![]() Условие параллельности плоскостей ![]() ![]() ![]() Так как плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5) Найти расстояние от точки ![]() ![]() ![]() Решение. Расстояние ![]() ![]() ![]() ![]() Для плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки ![]() ![]() Решение. Уравнения прямой, проходящей через точки ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() 7) Найти направляющий вектор прямой ![]() Решение. Направляющий вектор ![]() Если прямая задана каноническими уравнениями ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4 Для рассматриваемой прямой ![]() ![]() Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору ![]() ![]() ![]() ![]() 8) Найти косинус угла между прямыми ![]() ![]() Решение. Угол ![]() ![]() ![]() ![]() Для прямой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 9) Составить канонические уравнения прямой ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид ![]() ![]() В канонические уравнения прямой ![]() ![]() ![]() Условие параллельности прямых ![]() ![]() ![]() Так как прямые ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 10) Найти угол между прямой ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 5 Угол ![]() ![]() ![]() ![]() Для плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 11) Составить уравнение плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид ![]() Подставим в указанное уравнение координаты точки ![]() ![]() Условие перпендикулярности плоскости ![]() ![]() ![]() Так как искомая плоскость ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 12) Составить канонические уравнения прямой ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид ![]() Подставим в эти уравнения координаты точки ![]() ![]() Условие перпендикулярности прямой ![]() ![]() ![]() Так как прямая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 13) Найти координаты точки пересечения прямой ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Координаты точки ![]() ![]() ![]() ![]() Запишем параметрические уравнения прямой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача №3. К кривым второго порядка относятся эллипс (рис.6), гипербола (рис. 7 и 8), парабола (рис. 9-12). Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых. Эллипс ![]() ![]() Рис. 6 Гипербола ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 7 Рис. 8 Парабола ![]() ![]() ![]() Рис. 9 ![]() Рис. 10 Парабола ![]() ![]() ![]() Рис. 11 ![]() Рис. 12 Приведем примеры решения задачи №3. Пример 1. Привести уравнение кривой второго порядка ![]() Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата. Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при ![]() ![]() ![]() Выделим полный квадрат: ![]() ![]() ![]() ![]() Выполним параллельный перенос осей координат по формулам ![]() ![]() ![]() В нашем примере ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 13 Пример 2. Привести уравнение кривой второго порядка ![]() Решение. Как и в предыдущем примере, сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты: ![]() В скобках выделим полный квадрат: ![]() ![]() ![]() Выполним замену переменных ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 14 Задача №4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением ![]() Требуется: найти точки, лежащие на кривой, давая ![]() ![]() ![]() ![]() построить полученные точки; построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Решение. Сначала построим таблицу значений ![]() ![]()
Построим эти точки в полярной системе координат. Полярная система координат состоит из начала координат ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 15 Построим все точки, определенные в таблице и соединим их плавной линией ![]() Рис. 16 Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами перехода от декартовой к полярной системе координат. Если полюс совпадает с началом координат прямоугольной декартовой системы координат, полярная ось – с осью абсцисс, то между прямоугольными декартовыми координатами ![]() ![]() ![]() ![]() Откуда ![]() ![]() Рис. 17 Итак, в уравнении исходной кривой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача №5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1) ![]() 2) ![]() Решение. Для того, чтобы решить неравенство ![]() ![]() ![]() ![]() 1) Построим прямые ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 18 2) Построим линию, определяемую уравнением ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 19 |