К\/Р №3 алгебра. Контрольная работа 3 по линейной алгебре
 Скачать 190.51 Kb.
|
|
Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 1 1. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором орто- нормированном базисе системой линейных уравнений x 1 + 3x 2 − x 3 − 3x 4 + 4x 5 = 0; x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0; x 1 + 2x 2 + x 3 − 5x 5 = 0. Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U . 2. Написать уравнение конуса, проходящего через прямые y = x, z = 0; y = −x, z = 0 и точку (1, 2, 3), для которого ось Oz является осью симметрии. 3. Определить тип линии, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат по общему уравнению линии 4x 2 + 16xy + 16y 2 − 8x − 22y − 5 = 0. 4. Дана квадратичная форма 5x 2 1 − 2x 2 2 − 2x 2 3 + x 2 4 − 4x 1 x 2 − 6x 1 x 3 − 4x 1 x 4 − 4x 2 x 3 + 6x 2 x 4 − 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 2 1. Найти острый угол между образующими конуса x 2 + y 2 − z 2 = 0, по которым его пересекает плоскость 5x + 10y − 11z = 0. 2. Определить тип линии 4x 2 + 24xy + 11y 2 + 64x + 42y + 51 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма x 2 1 − x 2 2 + x 2 3 − 10x 1 x 2 − 10x 1 x 3 + 2x 1 x 4 − 8x 2 x 3 + 2x 2 x 4 − 4x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Подпространство U порождается векторами a 1 = (2, 0, 1, 3), a 2 = (−1, 2, 1, 4), a 3 = (5, 1, 2, 0). Найти базис ортогонального дополнения U ⊥ Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 3 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и пересека- ющей однополостный гиперболоид x 2 25 + y 2 16 − z 2 9 = 1 по паре прямых. Найти эти прямые. 2. Вычислить длину отрезка асимптоты гиперболы x 2 16 − y 2 9 = 1, заклю- ченного между ее центром и директрисой. 3. Дана квадратичная форма 3x 2 1 − 2x 2 2 + 3x 2 3 − 4x 1 x 2 − 2x 1 x 3 + 2x 1 x 4 − 4x 2 x 3 + 2x 2 x 4 + 6x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Пространство U порождается векторами a 1 = (2, 1, 1, −1), a 2 = (1, 1, 3, 0), a 3 = (1, 2, 8, 1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составля- ющую вектора b = (5, 2, −2, 2) на U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 4 1. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении гипер- болы x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1, z = 0 вокруг ее действительной оси. 2. Дана парабола y = 3 4 x 2 . Написать уравнение другой параболы, имею- щей с данной параболой общую фокальную хорду (хорду, проходящую через фокус параболы и перпендикулярную к ее оси). 3. Дана квадратичная форма 6x 2 1 − 3x 2 3 − 3x 2 4 − 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 − 2x 1 x 4 + 6x 2 x 3 + 4x 2 x 4 + 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дополнить векторы e 1 = (1, 1, −1, −1, 2) и e 2 = (2, 1, 3, 4, 2) до ортого- нального базиса пространства R 5 Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 5 1. По какой линии пересекаются гиперболический параболоид x 2 25 − y 2 16 = 2z и плоскость 4x + 5y − 20 = 0? 2. Определить тип линии 3x 2 + 10xy + 3y 2 − 2x − 14y − 13 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма x 2 1 − 5x 2 2 − 5x 2 3 − 4x 2 4 + 4x 1 x 2 + 4x 1 x 3 − 8x 1 x 4 + 4x 2 x 3 − 8x 2 x 4 + 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дополнить векторы e 1 = (1, −1, −1, 1, 2) и e 2 = (2, 7, 3, 4, 2) до ортого- нального базиса пространства R 5 Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 6 1. Найти угол ϕ между прямолинейными образующими однополостного гиперболоида x 2 +y 2 − z 2 4 = 1, проходящими через точку (1, 4, 8), беря на этих образующих лучи, направленные от данной точки к горловому эллипсу. 2. Определить тип линии 4xy + 3y 2 + 16x + 12y − 36 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма 4x 2 1 + x 2 2 − 4x 2 3 − 4x 2 4 + 6x 1 x 2 + 4x 1 x 3 − 6x 1 x 4 − 10x 2 x 3 + 2x 2 x 4 + 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дано линейное подпространство U , порожденное векторами a 1 = (−1, 0, 0, −1), a 2 = (−1, 0, 0, −4), a 3 = (−1, 0, 0, −3) . Найти ортогональный базис U и базис ор- тогонального дополнения U ⊥ Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 7 1. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении гипер- болы x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1, z = 0 вокруг ее мнимой оси. 2. Определить тип линии 5x 2 − 2xy + 5y 2 − 4x + 20y + 20 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма 2x 2 1 − 5x 2 2 + 2x 2 4 − 8x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 2x 1 x 4 − 2x 2 x 3 − 2x 2 x 4 + 4x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дано линейное подпространство U , порожденное векторами a 1 = (−2, 2, −1, 0), a 2 = (−3, 0, −4, 0), a 3 = (−1, 0, −1, 0). Найти ортогональный базис U , базис ортогонального дополнения U ⊥ , а также ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x = (−1, 1, −5, 1) на U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 8 1. Составить уравнение цилиндра, описанного около сферы x 2 +y 2 +z 2 = 1, зная направляющий вектор (1, 2, 3) образующих цилиндра. 2. Определить тип линии 8x 2 + 4xy + 5y 2 + 16x + 4y − 28 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма 2x 2 1 − x 2 2 − 3x 2 3 + 2x 2 4 − 4x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 6x 1 x 4 − 8x 2 x 3 − 2x 2 x 4 + 6x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором орто- нормированном базисе системой линейных уравнений x 1 + 3x 2 − x 3 − 3x 4 + 4x 5 = 0; x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0; x 1 + 2x 2 + x 3 − 5x 5 = 0. Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 9 1. Доказать, что уравнение z 2 = xy определяет конус с вершиной в начале координат. 2. Определить тип линии 7x 2 + 6xy − y 2 + 28x + 12y + 28 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма 2x 2 1 − 2x 2 2 + 3x 2 3 + x 2 4 − 6x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 4x 1 x 4 − 2x 2 x 3 − 10x 2 x 4 − 10x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Подпространство U порождается векторами a 1 = (2, 0, 1, 3), a 2 = (−1, 2, 1, 4), a 3 = (5, 1, 2, 0). Найти базис ортогонального дополнения U ⊥ Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 10 1. По какой линии пересекаются гиперболический параболоид x 2 − 4y 2 = 2z и плоскость 2x − 12y − z + 16 = 0? 2. Проверить, что прямая 3x − 2y − 24 = 0 касается кривой x 2 48 + y 2 36 = 1 и определить координаты точки касания. 3. Дана квадратичная форма 3x 2 1 − 3x 2 2 − 2x 2 3 − 3x 2 4 + 2x 1 x 2 − 2x 1 x 3 − 4x 1 x 4 + 2x 2 x 3 + 4x 2 x 4 + 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Пространство U порождается векторами a 1 = (2, 1, 1, −1), a 2 = (1, 1, 3, 0), a 3 = (1, 2, 8, 1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составля- ющую вектора b = (5, 2, −2, 2) на U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 11 1. Убедившись, что точка A(−2, 0, 1) лежит на гиперболическом параболо- иде x 2 4 − y 2 9 = z, определить острый угол, образованный его прямолинейными образующими, проходящими через A. 2. Проверить, что прямая 3x − y − 12 = 0 касается кривой x 2 20 − y 2 36 = 1 и определить координаты точки касания. 3. Дана квадратичная форма 4x 2 1 + x 2 2 + 2x 2 3 − 5x 2 4 + 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 − 2x 1 x 4 − 2x 2 x 3 + 2x 2 x 4 − 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дополнить векторы e 1 = (1, 1, −1, −1, 2) и e 2 = (2, 1, 3, 4, 2) до ортого- нального базиса пространства R 5 Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 12 1. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, направ- ляющая которого дана уравнениями x 2 − 2z + 1 = 0, y − z + 1 = 0. 2. Проверить, что прямая 3x − 16y + 24 = 0 касается кривой xy = −3 и определить координаты точки касания. 3. Дана квадратичная форма 5x 2 1 − 5x 2 2 − 5x 2 3 + 2x 2 4 − 8x 1 x 2 − 4x 1 x 3 − 10x 1 x 4 +2x 2 x 3 −6x 2 x 4 +2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дополнить векторы e 1 = (1, −1, −1, 1, 2) и e 2 = (2, 7, 3, 4, 2) до ортого- нального базиса пространства R 5 Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 13 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 2x 2 + 9y 2 + 2z 2 − 4xy + 4yz − 1 = 0. 2. Составить уравнения касательных к эллипсу x 2 30 + y 2 24 = 1, параллельных прямой 2x − y − 1 = 0. 3. Дана квадратичная форма 2x 2 1 − 5x 2 2 + 3x 2 3 − x 2 4 + 2x 1 x 2 − 4x 1 x 3 + 6x 1 x 4 − 6x 2 x 3 − 4x 2 x 4 − 10x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дано линейное подпространство U , порожденное векторами a 1 = (−1, 0, 0, −1), a 2 = (−1, 0, 0, −4), a 3 = (−1, 0, 0, −3) . Найти ортогональный базис U и базис ор- тогонального дополнения U ⊥ Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 14 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 2x 2 + 9y 2 + 2z 2 − 4xy + 4yz − 1 = 0. 2. Составить уравнения касательных к эллипсу x 2 30 + y 2 24 = 1, перпендику- лярных к прямой 2x − y − 1 = 0. 3. Дана квадратичная форма 4x 2 1 − 2x 2 2 − 4x 2 3 − 2x 2 4 − 4x 1 x 2 − 2x 1 x 3 + 2x 1 x 4 + 2x 2 x 3 − 6x 2 x 4 − 4x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дано линейное подпространство U , порожденное векторами a 1 = (−2, 2, −1, 0), a 2 = (−3, 0, −4, 0), a 3 = (−1, 0, −1, 0). Найти ортогональный базис U , базис ортогонального дополнения U ⊥ , а также ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x = (−1, 1, −5, 1) на U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 15 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 4y 2 − 3z 2 + 4xy − 4xz + 8yz = 0. 2. Составить уравнения касательных к эллипсу x 2 30 + y 2 24 = 1, образующих с прямой x + 3y + 3 = 0 угол 45 0 3. Дана квадратичная форма x 2 1 + 3x 2 2 − x 2 3 + x 2 4 + 2x 1 x 2 − 10x 1 x 3 + 2x 1 x 4 − 10x 2 x 3 − 4x 2 x 4 − 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором орто- нормированном базисе системой линейных уравнений x 1 + 3x 2 − x 3 − 3x 4 + 4x 5 = 0; x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0; x 1 + 2x 2 + x 3 − 5x 5 = 0. Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 16 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x 2 + y 2 + 4z 2 − 2xy + 4xz − 4yz − 2x + 2y + 2z = 0. 2. Составить уравнения касательных к гиперболе x 2 25 − y 2 16 = 1, параллель- ных прямой 4x − 3y = 0. 3. Дана квадратичная форма 2x 2 1 − 4x 2 2 − x 2 3 − 3x 2 4 + 6x 1 x 2 − 6x 1 x 3 + 2x 1 x 4 − 4x 2 x 3 − 2x 2 x 4 − 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Подпространство U порождается векторами a 1 = (2, 0, 1, 3), a 2 = (−1, 2, 1, 4), a 3 = (5, 1, 2, 0). Найти базис ортогонального дополнения U ⊥ Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 17 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x 2 + y 2 + z 2 − xy + xz + yz + 3x + 3y − 3z = 0. 2. Составить уравнения касательных к гиперболе x 2 25 − y 2 16 = 1, параллель- ных прямой x = 1. 3. Дана квадратичная форма 3x 2 1 + 3x 2 2 + 3x 2 3 + x 2 4 − 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 6x 1 x 4 − 10x 2 x 3 + 2x 2 x 4 + 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Пространство U порождается векторами a 1 = (2, 1, 1, −1), a 2 = (1, 1, 3, 0), a 3 = (1, 2, 8, 1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составля- ющую вектора b = (5, 2, −2, 2) на U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 18 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x 2 − 3z 2 − 4yz − 4y + 2z + 5 = 0. 2. Составить уравнения касательных к гиперболе x 2 25 − y 2 16 = 1, параллель- ных прямой x = 1. 3. Дана квадратичная форма 8x 2 1 + 8x 2 2 + 4x 2 3 + 2x 2 4 − 10x 1 x 2 + x 1 x 3 − 20x 1 x 4 −x 2 x 3 −10x 2 x 4 +2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дополнить векторы e 1 = (1, 1, −1, −1, 2) и e 2 = (2, 1, 3, 4, 2) до ортого- нального базиса пространства R 5 Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 19 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x 2 + y 2 + z 2 − 2xy − 4x + 4y + 3 = 0. 2. Составить уравнения касательных к гиперболе x 2 25 − y 2 16 = 1, параллель- ных прямой x − 2y + 1 = 0. 3. Дана квадратичная форма 5x 2 1 − 2x 2 2 − 2x 2 3 + x 2 4 − 4x 1 x 2 − 6x 1 x 3 − 4x 1 x 4 − 4x 2 x 3 + 6x 2 x 4 − 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дополнить векторы e 1 = (1, −1, −1, 1, 2) и e 2 = (2, 7, 3, 4, 2) до ортого- нального базиса пространства R 5 Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 20 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: y 2 + 2xz + 2x + 2z + 1 = 0. 2. Составить уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями коорди- нат, если он проходит через точку A(−3, 2) и касается прямой 4x−6y−25 = 0. 3. Дана квадратичная форма x 2 1 − x 2 2 + x 2 3 − 10x 1 x 2 − 10x 1 x 3 + 2x 1 x 4 − 8x 2 x 3 + 2x 2 x 4 − 4x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дано линейное подпространство U , порожденное векторами a 1 = (−1, 0, 0, −1), a 2 = (−1, 0, 0, −4), a 3 = (−1, 0, 0, −3) . Найти ортогональный базис U и базис ор- тогонального дополнения U ⊥ Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 21 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x 2 + 2y 2 + 5z 2 + 4yz + 20y + 20z − 10 = 0. 2. Составить уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями коорди- нат, если он касается прямых x + y − 5 = 0 и x + 4y − 10 = 0. 3. Дана квадратичная форма 3x 2 1 − 2x 2 2 + 3x 2 3 − 4x 1 x 2 − 2x 1 x 3 + 2x 1 x 4 − 4x 2 x 3 + 2x 2 x 4 + 6x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дано линейное подпространство U , порожденное векторами a 1 = (−2, 2, −1, 0), a 2 = (−3, 0, −4, 0), a 3 = (−1, 0, −1, 0). Найти ортогональный базис U , базис ортогонального дополнения U ⊥ , а также ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x = (−1, 1, −5, 1) на U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 22 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: −x 2 + 5y 2 + 5z 2 + 8yz + 2x + 12y + 24z + 36 = 0. 2. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями коор- динат, если она проходит через точку A(4, −2 √ 2) и касается прямой 3x + y + 8 = 0. 3. Дана квадратичная форма 6x 2 1 − 3x 2 3 − 3x 2 4 − 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 − 2x 1 x 4 + 6x 2 x 3 + 4x 2 x 4 + 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором орто- нормированном базисе системой линейных уравнений x 1 + 3x 2 − x 3 − 3x 4 + 4x 5 = 0; x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0; x 1 + 2x 2 + x 3 − 5x 5 = 0. Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 23 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 2x 2 + 5y 2 + 5z 2 + 6yz + 4x + 16y + 16z + 10 = 0. 2. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями коор- динат, если она касается прямых x = 1 и 5x − 2y + 3 = 0. 3. Дана квадратичная форма x 2 1 − 5x 2 2 − 5x 2 3 − 4x 2 4 + 4x 1 x 2 + 4x 1 x 3 − 8x 1 x 4 + 4x 2 x 3 − 8x 2 x 4 + 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Подпространство U порождается векторами a 1 = (2, 0, 1, 3), a 2 = (−1, 2, 1, 4), a 3 = (5, 1, 2, 0). Найти базис ортогонального дополнения U ⊥ Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 24 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 2x 2 + 5y 2 + 5z 2 − 4xy + 6yz + 4x + 16y + 16z + 10 = 0. 2. Составить уравнение гиперболы с асимптотами √ 3x ± y = 0, касаю- щейся прямой 2x − y − 3 = 0. 3. Дана квадратичная форма 4x 2 1 + x 2 2 − 4x 2 3 − 4x 2 4 + 6x 1 x 2 + 4x 1 x 3 − 6x 1 x 4 − 10x 2 x 3 + 2x 2 x 4 + 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Пространство U порождается векторами a 1 = (2, 1, 1, −1), a 2 = (1, 1, 3, 0), a 3 = (1, 2, 8, 1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составля- ющую вектора b = (5, 2, −2, 2) на U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 25 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 4x 2 + 4y 2 − 4xy − 12x − 12y − 5z + 1 = 0. 2. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Oy и касающейся прямых 2x + y = 0, 8x − 2y − 3 = 0. 3. Дана квадратичная форма 2x 2 1 − 5x 2 2 + 2x 2 4 − 8x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 2x 1 x 4 − 2x 2 x 3 − 2x 2 x 4 + 4x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дополнить векторы e 1 = (1, 1, −1, −1, 2) и e 2 = (2, 1, 3, 4, 2) до ортого- нального базиса пространства R 5 Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 26 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x 2 + y 2 + z 2 + 2xy − 12x + 4y + 6z − 3 = 0. 2. Составить уравнения общей касательной к кривым x 2 20 + y 2 5 = 1, x 2 80 + 4y 2 5 = 1. 3. Дана квадратичная форма 2x 2 1 − x 2 2 − 3x 2 3 + 2x 2 4 − 4x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 6x 1 x 4 − 8x 2 x 3 − 2x 2 x 4 + 6x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дополнить векторы e 1 = (1, −1, −1, 1, 2) и e 2 = (2, 7, 3, 4, 2) до ортого- нального базиса пространства R 5 Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 27 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x 2 + y 2 + z 2 − 4xy + 6yz + 4x + 16y + 16z + 10 = 0. 2. Составить уравнения общей касательной к кривым x 2 5 − y 2 4 = 1, x 2 4 − y 2 3 = 1. 3. Дана квадратичная форма 2x 2 1 − 2x 2 2 + 3x 2 3 + x 2 4 − 6x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 4x 1 x 4 − 2x 2 x 3 − 10x 2 x 4 − 10x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дано линейное подпространство U , порожденное векторами a 1 = (−1, 0, 0, −1), a 2 = (−1, 0, 0, −4), a 3 = (−1, 0, 0, −3) . Найти ортогональный базис U и базис ор- тогонального дополнения U ⊥ Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 28 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: −x 2 + y 2 + z 2 − 2yz + 2x + 3y − 5z + 1 = 0. 2. Определить тип линии, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат по общему уравнению линии 4x 2 + 16xy + 16y 2 − 8x − 22y − 5 = 0. 3. Дана квадратичная форма 3x 2 1 − 3x 2 2 − 2x 2 3 − 3x 2 4 + 2x 1 x 2 − 2x 1 x 3 − 4x 1 x 4 + 2x 2 x 3 + 4x 2 x 4 + 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дано линейное подпространство U , порожденное векторами a 1 = (−2, 2, −1, 0), a 2 = (−3, 0, −4, 0), a 3 = (−1, 0, −1, 0). Найти ортогональный базис U , базис ортогонального дополнения U ⊥ , а также ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x = (−1, 1, −5, 1) на U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 29 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 16x 2 + 9y 2 − z 2 − 24xy − 9x − 12y + 4z + 71 = 0. 2. Определить тип линии 4x 2 + 24xy + 11y 2 + 64x + 42y + 51 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма 4x 2 1 + x 2 2 + 2x 2 3 − 5x 2 4 + 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 − 2x 1 x 4 − 2x 2 x 3 + 2x 2 x 4 − 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором орто- нормированном базисе системой линейных уравнений x 1 + 3x 2 − x 3 − 3x 4 + 4x 5 = 0; x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0; x 1 + 2x 2 + x 3 − 5x 5 = 0. Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 30 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x 2 − 4y 2 − 4z 2 + 10yz + 2x + 2y + 2z + 3 = 0. 2. Вычислить длину отрезка асимптоты гиперболы x 2 16 − y 2 9 = 1, заклю- ченного между ее центром и директрисой. 3. Дана квадратичная форма 5x 2 1 − 5x 2 2 − 5x 2 3 + 2x 2 4 − 8x 1 x 2 − 4x 1 x 3 − 10x 1 x 4 +2x 2 x 3 −6x 2 x 4 +2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Подпространство U порождается векторами a 1 = (2, 0, 1, 3), a 2 = (−1, 2, 1, 4), a 3 = (5, 1, 2, 0). Найти базис ортогонального дополнения U ⊥ Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 31 1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 2x 2 + 2y 2 + z 2 − 10xy + 20x − 8y + 4z + 29 = 0. 2. Дана парабола y = 3 4 x 2 . Написать уравнение другой параболы, имею- щей с данной параболой общую фокальную хорду (хорду, проходящую через фокус параболы и перпендикулярную к ее оси). 3. Дана квадратичная форма 2x 2 1 − 5x 2 2 + 3x 2 3 − x 2 4 + 2x 1 x 2 − 4x 1 x 3 + 6x 1 x 4 − 6x 2 x 3 − 4x 2 x 4 − 10x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Пространство U порождается векторами a 1 = (2, 1, 1, −1), a 2 = (1, 1, 3, 0), a 3 = (1, 2, 8, 1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составля- ющую вектора b = (5, 2, −2, 2) на U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 32 1. Написать уравнение конуса, проходящего через прямые y = x, z = 0; y = −x, z = 0 и точку (1, 2, 3), для которого ось Oz является осью симметрии. 2. Определить тип линии 3x 2 + 10xy + 3y 2 − 2x − 14y − 13 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма 4x 2 1 − 2x 2 2 − 4x 2 3 − 2x 2 4 − 4x 1 x 2 − 2x 1 x 3 + 2x 1 x 4 + 2x 2 x 3 − 6x 2 x 4 − 4x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дополнить векторы e 1 = (1, 1, −1, −1, 2) и e 2 = (2, 1, 3, 4, 2) до ортого- нального базиса пространства R 5 Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 33 1. Найти острый угол между образующими конуса x 2 + y 2 − z 2 = 0, по которым его пересекает плоскость 5x + 10y − 11z = 0. 2. Определить тип линии 4xy + 3y 2 + 16x + 12y − 36 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма x 2 1 + 3x 2 2 − x 2 3 + x 2 4 + 2x 1 x 2 − 10x 1 x 3 + 2x 1 x 4 − 10x 2 x 3 − 4x 2 x 4 − 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дополнить векторы e 1 = (1, −1, −1, 1, 2) и e 2 = (2, 7, 3, 4, 2) до ортого- нального базиса пространства R 5 Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 34 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и пересека- ющей однополостный гиперболоид x 2 25 + y 2 16 − z 2 9 = 1 по паре прямых. Найти эти прямые. 2. Определить тип линии 5x 2 − 2xy + 5y 2 − 4x + 20y + 20 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма 2x 2 1 − 4x 2 2 − x 2 3 − 3x 2 4 + 6x 1 x 2 − 6x 1 x 3 + 2x 1 x 4 − 4x 2 x 3 − 2x 2 x 4 − 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дано линейное подпространство U , порожденное векторами a 1 = (−1, 0, 0, −1), a 2 = (−1, 0, 0, −4), a 3 = (−1, 0, 0, −3) . Найти ортогональный базис U и базис ор- тогонального дополнения U ⊥ Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 35 1. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении гипер- болы x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1, z = 0 вокруг ее действительной оси. 2. Определить тип линии 8x 2 + 4xy + 5y 2 + 16x + 4y − 28 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма 3x 2 1 + 3x 2 2 + 3x 2 3 + x 2 4 − 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 6x 1 x 4 − 10x 2 x 3 + 2x 2 x 4 + 2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному ви- ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Дано линейное подпространство U , порожденное векторами a 1 = (−2, 2, −1, 0), a 2 = (−3, 0, −4, 0), a 3 = (−1, 0, −1, 0). Найти ортогональный базис U , базис ортогонального дополнения U ⊥ , а также ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x = (−1, 1, −5, 1) на U . Контрольная работа № 3 по линейной алгебре Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет, Вариант № 36 1. По какой линии пересекаются гиперболический параболоид x 2 25 − y 2 16 = 2z и плоскость 4x + 5y − 20 = 0? 2. Определить тип линии 7x 2 + 6xy − y 2 + 28x + 12y + 28 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. 3. Дана квадратичная форма 8x 2 1 + 8x 2 2 + 4x 2 3 + 2x 2 4 − 10x 1 x 2 + x 1 x 3 − 20x 1 x 4 −x 2 x 3 −10x 2 x 4 +2x 3 x 4 . Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной. 4. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором орто- нормированном базисе системой линейных уравнений x 1 + 3x 2 − x 3 − 3x 4 + 4x 5 = 0; x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0; x 1 + 2x 2 + x 3 − 5x 5 = 0. Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U . |