КР_Теоряи вероятностей и матстатистика. 01_03_21_ТВиМС_КР. Контрольная работа Часть 1 теория вероятностей Задача 1

• Название: Контрольная работа Часть 1 теория вероятностей Задача 1
• Анкор: КР_Теоряи вероятностей и матстатистика
• Дата: 17.03.2021
• Размер: 145.25 Kb.
• Имя файла: 01_03_21_ТВиМС_КР.docx
• Тип: Контрольная работа; #185775

Контрольная работа
Часть 1: теория вероятностей


Задача №1
Партия из 110изделий содержит 22бракованных изделия. Какова
вероятность того, что среди выбранных наудачу 10изделий ровно 5окажутся
бракованными?


Решение
Применим классическую схему. Пусть А – событие, состоящее из
выборок, содержащих 5бракованных изделия и 5качественных. Число
элементарных событий, благоприятствующих событию А, равно





Таким образом,


Задача №2
В первой урне 11белых и 12чёрных шаров, а во второй урне 6белых и
7чёрных шаров. Из первой урны случайным образом взяли 10шаров, а из
второй – 5шаров. Найти вероятность, что среди извлечённых шаров;
а) все шары одного цвета;
б) хотя бы один белый шар.


Решение
Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются
извлечение 10шаров из первой урны и 5шаров из второй. Элементарными
событиями будут сочетания по 10шаров из 23 и по 5шаров из 13.
Вычислим количество всех выборок из первой и второй урн, которые
обозначим n1 и n2 соответственно:



а) Пусть событие А – все вынутые шары одного цвета. Рассмотрим
события:
В1 – из первой урны извлекли 10белых шаров;
В2 –из первой урны извлекли 10чёрных шаров;
С1 – из второй урны извлекли 5белых шаров;
С2 – из второй урны извлекли 5чёрных шаров.
При этом событие А выражается через остальные следующим образом:

А=В₁·С₁+В₂·С₂.

Учитывая независимость и несовместность событий, а также следствие
из второго свойства вероятности, получим:

P(А)=P(В₁) ·P(С₁) +P(В₂) ·P(С₂).

Вычислим количество элементарных событий, благоприятствующих
наступлению каждого события, вошедшего в полученную формулу:




Следовательно,


Задача №3
Устройство состоит из трёх независимо функционирующих элементов,
работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями
0,87, 0,65, 0,92. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя ровно два элемента.


Решение
Пусть событие А – за время Т вышло из строя ровно два элемента. Рассмотрим события Аi (i=1,2,3), состоящие в том, что за это время i–й элемент
вышел из строя. Тогда противоположные им события Аi заключаются в том,
что i–й элемент не вышел из строя. Имеем:



Учитывая независимость элементов устройства и несовместность
событий и , а также свойства вероятности, получаем следующую формулу:



Нам даны вероятности безотказной работы элементов, то есть событий . Воспользуемся первым свойством вероятности:

,

Итак получим:






Задача №4
В одной урне 11белых и 12чёрных шаров, а в другой – 6белых и 7
чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают два шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно
вынимают три шара. Найти вероятность, что все шары, вынутые из второй
урны, окажутся белые.


Решение
В этой задаче испытания происходят в два этапа: в начале случайным
образом вынимают шары из первой урны и опускают во вторую, а затем
случайно вынимают шары из второй урны.
Рассмотрим события:
А – из второй урны вынули три белых шара;
Н1 – из первой урны взяли два белых шара;
Н2 – из первой урны взяли 1 белый и 1 чёрный шар;
Н3 – из первой урны взяли два чёрных шара.

Совокупность событий {Н1, Н2, Н3} является полной группой гипотез. Используя формулу полной вероятности, получим:



Общее число выборок из первой урны равно , а из второй -
Вычислим количество элементарных событий, благоприятствующих
наступлению гипотез:



Если осуществилась гипотеза Н1, то во второй урне оказалось 8 белых шаров.

Поэтому



Таким образом, имеем:


Задача №5
В пирамиде стоят 110винтовок, из них 10с оптическим прицелом.
Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень
с вероятностью p₁=0,87 а стреляя из винтовки без оптического прицела, – с
вероятностью p₂=0,65. Стрелок поразил мишень. Найти вероятность того, что при этом он стрелял из винтовки с оптическим прицелом.

Решение
В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки,
вторым – стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:
А – стрелок поразил мишень;
Н1 – стрелок взял винтовку с оптическим прицелом;
Н2 – стрелок взял винтовку без оптического прицела.
Как следует из условия задачи, событие А уже осуществилось, то есть
стрелок попал в мишень. Найти же нужно вероятность того, что при этом он
стрелял из винтовки с оптическим прицелом, то есть условную вероятность . Используем формулу Байеса. Имеем:



Используя классическое определение вероятности и учитывая, что
выбирается одна винтовка, найдём вероятности гипотез Н1 и Н2. Получим:



Условные вероятности, входящие в формулу, заданы в условии задачи.
Следовательно:


Задача №6
Игральная кость бросается 10раз. Найти вероятность, что при этом
шестёрка выпала ровно 5раз.


Решение
При каждом бросании будем считать успехом выпадение шестёрки, а
неудачей – выпадение любого другого числа. Тогда мы попадаем в рамки
схемы Бернулли с



Получаем:


Задача №7
На телефонной станции неправильное соединение происходит с
вероятностью Найти вероятность, что среди 550 соединений произойдёт:

а) точно одно неправильное соединение;
б) больше, чем два неправильных соединения.


Решение
Так как вероятность события мала, а количество испытаний велико,
можно использовать формулу Пуассона.
Здесь

а) Применяя формулу Пуассона, получим:



б) Искомая вероятность равна:



Задача №8
Случайная величина Х задана законом распределения:

X	1	2	7
P	0,2	0,4	p

Найти р, функцию распределения F(x) с.в. Х, построить её график. Вычислить для с.в. Х математическое ожидание МХ и дисперсию DX.


Решение
Из определения закона распределения известно, что сумма чисел в нижнем ряду таблицы должна равняться единице. Исходя из этого, найдём неизвестный параметр р: p=1-0,2-0,4=0,4.
Для того,чтобы найти функцию распределения, воспользуемся формулой из определения функции распределения.
Получим:



График функции имеет вид:



Найдём математическое ожидание:



Найдём дисперсию:


Задача №9
Случайная величина Х задана следующей плотностью распределения:



Найти функцию распределения с.в. Х, построить графики функций Вычислить для с.в. Х её математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
Решение
Функцию распределения непрерывной случайной величины найдём по
формуле (44), воспользовавшись также свойствами функции распределения.
Отдельно вычислим функцию распределения на интервале


Таким образом, на всей области определения имеем:



Построим графики заданной плотности распределения с.в. Х и
найденной функции распределения. (Требуется выполнить точные построения
согласно данным варианта!)
График плотности имеет вид:



График функции распределения :


Математическое ожидание вычислим по формуле:



Дисперсию вычислим по формуле:


Задача №10
Случайная величина Х задана функцией распределения:



Найти плотность распределения с.в. Х, построить графики функций Вычислить для с.в. Х её математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
Решение.

Плотность распределения с.в. Х:



График плотности имеет вид:



График функции распределения :


Математическое ожидание вычислим по формуле:



Дисперсию вычислим по формуле:



Часть 2: математическая статистика

Задача 1

В результате проведения исследований получены следующие статистические данные

1	2-4	5
2	4-6	8
3	6-8	16
4	8-10	12
5	10-12	9

где – частота попадания вариант в промежуток . Для выборки построить гистограмму относительных частот.
Решение.

Объём выборки n=50. Найдём относительные частоты:





Найдём плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала h=2:




Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от неё на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты.

Например, над интервалом (2,4) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от неё на расстоянии, равном 0,05; аналогично строят остальные отрезки. Искомая гистограмма относительных частот изображена на рисунке ниже.


Задача 2

В ходе эксперимента получены данные наблюдений:

	4	8	16	24
	31	14	28	27

Для данной выборки выполнить следующее:

 Вычислить числовые характеристики выборки (мода, медиана, выборочное среднее, выборочная дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты);

 Найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии.
Решение.

Найдем числовые характеристики данной выборки:

1. 
   Минимальное и максимальное значение выборки:
   
2. 
   Размах выборки:
   
3. 
   Мода:
   
4. 
   Так как вариационный ряд содержит четное число вариант (n=100), то медиана
   

5. 
   Выборочное среднее:
   

6. 
   Выборочная дисперсия:
   

7. 
   Среднее квадратическое отклонение:
   

8. 
   Начальные моменты:
   

9. 
   Центральные моменты:
   

Несмещенной оценкой генерального среднего является выборочное среднее:



Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия:


Задача 3

Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а случайной величины Х, распределенной нормально, если известны объем выборки n=25, выборочное среднее , надежность и среднее квадратическое отклонение
Решение.

Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном параметре







Тогда получим интервал, покрывающий а с надежностью




Задача 4

Генеральная совокупность имеет нормальное распределение, для которого

известно значение параметра . Найти наименьший объем выборки, при

котором доверительный интервал длиной покрывает параметр а с

надежностью  =0,9.
Решение.

Доверительный интервал для математического ожидания при известном

Параметре



По условию , следовательно,





Следовательно, наименьшим объемом выборки будет
Задача 5

Найти доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического

отклонения  нормально распределенной случайной величины Х, если

известны объем выборки n=50, надежность   0,95 и выборочная дисперсия
Решение.

Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического

отклонения  определяется формулой:





Следовательно, интервал

является доверительным для параметра  с надежностью   0,95.