теория игр контрольная. теория_игр_решение_9вар. Контрольная работа по предмету теория игр

• Название: Контрольная работа по предмету теория игр
• Анкор: теория игр контрольная
• Дата: 20.07.2022
• Размер: 146.09 Kb.
• Имя файла: теория_игр_решение_9вар.docx
• Тип: Контрольная работа; #633937
• страница: 1 из 4

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ИГР»

ВАРИАНТ 9

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАЧА I Дана платежная матрица 5х5 для двух банков. Определить нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие им минимаксные максиминные стратегии.

	В1	В2	В3	В4	В5
А1	2	5	8	3	1
А2	3	1	7	2	-4
А3	-6	4	2	7	3
А4	4	8	5	1	9
А5	5	-6	10	5	2

Решение:

Нижняя цена игры α – это максимальный выигрыш, который мы можем гарантировать себе, в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры будем использовать одну и только одну стратегию (такая стратегия называется «чистой»).

Найдем в каждой строке платежной матрицы минимальный элемент и запишем его в дополнительный столбец справа.

Затем найдем максимальный элемент дополнительного столбца, это и будет нижняя цена игры.

	В1	В2	В3	В4	В5	minaj
А1	2	5	8	3	1	1
А2	3	1	7	2	-4	-4
А3	-6	4	2	7	3	-6
А4	4	8	5	1	9	1
А5	5	-6	10	5	2	-6
					max	1

Нижняя цена соответствует стратегии 1-го банка.

Верхняя цена игры β – это минимальный проигрыш, который может гарантировать себе игрок II, в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры он будет использовать одну и только одну стратегию.

Найдем в каждом столбце платежной матрицы максимальный элемент и запишем его в дополнительную строку снизу.

Затем найдем минимальный элемент дополнительной строки, это и будет верхняя цена игры.

	В1	В2	В3	В4	В5
А1	2	5	8	3	1
А2	3	1	7	2	-4
А3	-6	4	2	7	3
А4	4	8	5	1	9
А5	5	-6	10	5	2	min
maxbi	5	8	10	7	9	5

Верхняя цена игры соответствует стратегии 5-го банка.
Ответ: нижняя цена =1, стратегия 5-го банка; верхняя цена =5, стратегия 5-го банка.
ЗАДАЧА II Дана платежная матрица 5х5 для двух банков. Определить чистую цену игры и соответствующие стратегии банков А и В.

	В1	В2	В3	В4	В5
А1	3	4	6	-2	5
А2	-5	2	3	7	4
А3	12	11	13	9	10
А4	10	8	-1	5	2
А5	1	6	8	3	-3

Решение:

Найдем максимальные значения в столбцах и минимальные значения в строках платежной матрицы:

	В1	В2	В3	В4	В5	minaj
А1	3	4	6	-2	5	-2
А2	-5	2	3	7	4	-5
А3	12	11	13	9	10	9
А4	10	8	-1	5	2	-1
А5	1	6	8	3	-3	-3
maxbi	12	11	13	9	10

Найдем чистые нижнюю и верхнюю цены игры.





– чистая цена игры равна 9

Соответствующие стратегии банков и .
Ответ: Чистая цена игры равна 9, стратегии и .
ЗАДАЧА III Дана платежная матрица 2×2 для двух банков. Определить оптимальные смешанные стратегии банков  и  , определив цену игры  и соответствующие вероятности оптимальных стратегий. Проиллюстрировать решение для каждого из игроков.

	В1	В2
А1	1	5
А2	7	-3

Решение:

Проверим наличие седловой точки. Если она имеется, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Найдем чистые нижнюю и верхнюю цены игры.

– максимальная чистая стратегия A₁.

– минимальная чистая стратегия В₂.

, поэтому задача неразрешима в чистых стратегиях.

Цена игры находится в пределах 1≤y≤5.

Находим решение игры в смешанных стратегиях.

В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы число 3. Согласно теореме фон Неймана, эта замена не изменит решения игры, изменится только ее цена.

	В1	В2
А1	4	8
А2	10	0

Запишем систему уравнений.

Для игрока I:

Для игрока II:

Решая эти системы, находим

- для игрока I:

   



(вероятность применения 1-ой стратегии)

(вероятность применения 2-ой стратегии)

Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P =

- для игрока II:

   

(вероятность применения 1-ой стратегии)

(вероятность применения 2-ой стратегии)

Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q =

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (3), то вычтем это число из цены игры.

Цена игры:
Ответ: v= , P = , Q =