Контрольная работа Вариант 37 (схема 3, вариант данных 7) Задания Д1, Д4 Задание Д1 Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящиеся под действием постоянных сил
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Контрольная работа Вариант 37 (схема 3, вариант данных 7) Задания Д1, Д4 Задание Д1 Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящиеся под действием постоянных сил Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ с. Его начальная скорость  . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. В точке В тело покидает плоскость со скоростью  , описывает траекторию  и попадает в точку С плоскости BC или BD со скоростью  , находясь в полете Т с.Исходные данные и параметры, которые требуется определить, взять из табл.3.2 и рис. 3.8. Считать  и  . При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.Исходные данные:  Рис.3.8 Дано: ;  м;  м;  ;  с.Найти: ,  ,  ,.Решение 1. В связи с тем, что при движении материальной точки от А к С силы различны на участках АВ и ВС, разделим траекторию движения точки на части и рассмотрим ее движение на участке АВ (рис.1). На тело действуют силы: сила тяжести  , сила трения  и сила нормальной реакции плоскости  . Составим дифференциальное уравнение движения тела на участке АВ:  .Сила трения  ,где  .Таким образом,  или  .Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получим  ; .Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи:  ;  ;  .Составим уравнения, полученные при интегрировании, для  ; ; . Находим постоянные: ;  .Таким образом, уравнения движения тела на участке АВ имеют вид  ; .Для момента времени  , когда тело покидает участок АВ,  ,  . Таким образом, получаем ; .Из первого уравнения выражаем скорость и подставляем во второе уравнение ; ; ,откуда находим скорость тела в точке В  м/с. Рис.1. Расчетная схема к заданию Д1 2. Рассмотрим ее движение на участке ВС (рис.1). На тело действует сила тяжести  . Дифференциальные уравнения движения тела по осям координат будут: ;  .Интегрируем первое уравнение. Тогда получим  ; .Постоянные интегрирования  определим, используя начальные условия задачи: при ,   . Тогда будем иметь ;  .Таким образом, уравнения движения тела в горизонтальном направлении  ; (1) . (2)Интегрируя уравнение  , получим ; .Начальные условия ,  ;  , следовательно,  ,  и уравнения движения тела в вертикальном направлении ; (3) . (4)Время  найдем из уравнения (2), приняв  , а   с.Высоту определим из уравнения (4), также приняв , а  .Тогда получим  ,откуда   м.Скорость тела при падении в точке С найдем через проекции скорости на оси координат – уравнения (1) и (3): ; .Для момента времени  с получим м/с: м/с.Абсолютное значение скорости тела в точке С будет равно  м/с.Ответ:  м/с;  м;  с.Задание Д4 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы Механическая система (рис 3.16) состоит из грузов 1 и 2, катка 3, шкивов 4 и 5 радиусами R4=0,4м, r4=0,2 м, R5=0,5 м, r5=0,1 м соответственно. Каток считать сплошными однородным цилиндром, а массу шкивов считать распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Под действием силы F=f(t), зависящей от перемещения S точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. При движении на шкивы 4 и 5 действуют постоянный момент М1, М2 сил сопротивления соответственно. Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение S станет равным S1. Искомые величины указана в столбце «Найти» таблицы 3.5. Исходные данные:  Рис. 3.16 Таблица 6
Решение 1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 2, 3, 4, 5, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные  ,  ,  ,  ,  ,  , реакции  ,  ,  ,  ,  , силы трения  ,  ,  и моменты  и  (рис.2).Для решения задачи можно определить скорость любого тела механической системы и далее, используя кинематические связи тел механизма, найти требуемы скорости. Определим вначале скорость груза 2  .Для определения скорости воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: . (1)2. Определяем и  . Так как в начальный момент времени система находилась в покое, то  . Величина равна сумме кинетических энергий всех тел системы: . (2)Учитывая, что тела 1 и 2 движутся поступательно, тела 4 и 5 вращается вокруг неподвижной оси, а тело 3 совершает плоскопараллельное движение, получим  ; ;  ; . (3)Все входящие сюда скорости необходимо выразить через искомую . Для этого предварительно заметим, что точка  – мгновенный центр скоростей катка 3, радиус которого обозначим  . Из рис.2 имеем: ; ; ; ; . (4)Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения:  ;  ;  . (5)Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим окончательно     . (6) Рис.2. Расчетная схема к заданию Д4 3. Далее найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда тело 1 (к нему приложена сила F=f(t))пройдет путь  м. Введем обозначения:  – перемещение центра тяжести катка 3;  – угол поворота шкива 4,  – угол поворота шкива 5. Тогда получим  ; ; ; ; ; ; ; .Работы остальных сил равны нулю, так как точки, где приложены силы и , и – неподвижны, силы ,  перпендикулярны направлению перемещения соответственно тел 1, 2, а силы и приложены в центре скоростей тела 3 – точке .Величины  , , и необходимо выразить через заданное перемещение  . При этом учитываем, что зависимости между перемещениями такие же как и между соответствующими скоростями. Таким образом, ; ; ; .При найденных значениях линейных у угловых перемещений для суммы вычисленных работ получим      Дж. (7)Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что , получаем ,откуда скорость тела 2 будет равна  м/с.Зная  и используя кинематические связи (4), находим остальные скорости: рад/с; м/с.Ответ:  м/с;  рад/с;  м/с.Список использованной литературы 1. Черкасов В.Г., Петухова И.И. Теоретическая механика. Учебное пособие. Чита: ЗабГУ, 2015. 2. Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. М.: Наука, 2007. |
, кг
, кг
, кг
, кг
, кг
, Н
