4554 - математика. Контрольная работа Вариант 4 Задание Вычислите периоды функция Решение. 1
 Скачать 242 Kb.
|
|
Контрольная работа Вариант 4 Задание № 8. Вычислите периоды функция:  .Решение. 1.  . Косинус имеет период равный 2π. Приравнивая аргумент косинуса его периоду, получим:  . Эта функция будет иметь одинаковые значения в точках  , где  , а  - любое число. 2.  . Постоянное слагаемое 2 не влияет на период функции. Период котангенса равен π. Приравнивая аргумент котангенса его периоду, получим:  . Эта функция будет иметь одинаковые значения в точках  , где , а - любое число.  3.  . Здесь два слагаемых, каждый из которых имеет свой период. В таком случае период всей функции будет равен наибольшему из этих периодов, если периоды являются кратными. Определим период второго слагаемого. Синус имеет период равный 2π. Приравнивая аргумент синуса его периоду, получим:  . Таким образом, период всей функции равен 6π. Ниже представлен график функции, полученный в программной среде Mathcad. Эта функция будет иметь одинаковые значения в точках  , где , а - любое число.Ответ: 1. - период 8π. 2. - период  . 3. - период 6π.Задание № 9. Укажите область определения функций:  .Решение. 1.  . Функция определена, если знаменатель не равен нулю. Найдем корни знаменателя:   . Следовательно,  . Область определения функции:  .2.  . Выражение под знаком корня не может быть отрицательным, то есть должно быть  . Это выполняется, если  или  . Область определения функции:  .3,  . Здесь все подкоренное выражение не должно быть отрицательным, а знаменатель подкоренного выражения не может быть нулем. Преобразуем функцию:   . Для существования функции достаточно выполнения условия  . Область определения функции:  .Ответ. 1. . 2.  . 3 . .Задание № 10. Является ли функция четной? нечетной?  .Решение. 1.  . Проверим функцию на нечетность. Пусть  . Тогда   . Так как  , то функция является нечетной.2.  . Функция не может быть четной, так как первое слагаемое нечетно. Проверим функцию на нечетность. Пусть  . Тогда  . Функция не относится к нечетным функциям. То есть функция не является ни четной, ни нечетной.3.  . Функция четная, так как оба слагаемых являются четными. Действительно, пусть  . Тогда   . Так как  , то функция является четной.Ответ. - нечетная функция, - функция не относится к четным или нечетным функциям, - четная функция.Задание № 11. Пустьi – номер Вашего варианта. Придумайте функции  и  так, чтобы в точке  одна из них была непрерывна, другая имела устранимый разрыв, третья имела скачок и четвертая имела разрыв второго рода.Решение. В данном варианте i=4, следовательно, рассматриваем точку  .1.  - функция непрерывна в точке .2.  - функция имеет устранимый разрыв в точке (можно убедиться, применяя первый замечательный предел).3.  . Скачок функции в точке равен 2.4.  . Функция терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв) в точке .Ответ. Ответы в тексте решения. Задание № 12. Найти наклонные (возможно, горизонтальные) асимптоты функции:  .Решение. Наклонные (в том числе горизонтальные) асимптоты ищем в виде  . Коэффициент k определяется формулой  . В данном случае  , так как  по свойству самой функции, а  так как знаменатель стремится к бесконечности, а в числителе стоит ограниченная функция ( всегда). Итак,  . Коэффициент b определяется формулой  . В данном случае  , так как под знаком предела стоит бесконечно убывающая величина умноженная на ограниченную функцию.Таким образом, получили горизонтальную асимптоту, совпадающую с осью ОХ. Заметим, что это правая асимптота, левой асимптоты (при  ) нет. Действительно,  . По правилу Лопиталя  . Но множитель  периодически меняет знак всей функции. Поэтому нужно признать, что предел этой функции не существует.Ответ. Функция имеет горизонтальную асимптоту с уравнением  .Задание № 13. Даны комплексные числа z и w, и натуральное число n Вычислите аргумент и модуль числа z, найдите zw, z-1, zn.  .Решение. 1. Найдем модуль ρ и аргумент φ числа z. Модуль определяется формулой  , где x – действительная часть числа, y - мнимая часть числа. В данном случае  . Аргумент определяется формулой  (главное значение аргумента). В данном случае  . Таким образом,  , или,  .2. Найдем произведение  :   .3. Вычислим z-1:    .4. Вычислим zn. При возведении комплексного числа в степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на этот показатель степени. В данном случае   .Ответ. 1. Модуль  , аргумент  . 2. Произведение zw равно  . 3.  . 4. Степень числа  .Задание № 14. Найдите действительные и комплексные корни уравнения:  .Решение. Алгебраическое уравнение n–ой степени обязательно имеет n корней, часть из которых действительные корни, остальные – комплексные корни. В данном случае задано кубическое уравнение, которое имеет три корня. Найдем эти корни:  . Один корень найден,  . Найдем остальные два корня, решая квадратное уравнение:   . Таким образом,  ,  .Ответ. Корни уравнения: , , . |