Высшая математика Вариант 2 Б М Ц. Контрольная работа1, 2, тест1,2) Выполнил(а) Шеин Игорь Геннадьевич Группа упн118(2) Адрес г. Норильск

• Название: Контрольная работа1, 2, тест1,2) Выполнил(а) Шеин Игорь Геннадьевич Группа упн118(2) Адрес г. Норильск
• Дата: 22.08.2022
• Размер: 0.77 Mb.
• Имя файла: Высшая математика Вариант 2 Б М Ц.doc
• Тип: Контрольная работа; #650519
• страница: 3 из 4

Заключение

 При изучении линейной алгебры  у студентов не должно формироваться  ощущение оторванности этой темы от экономики. Использование элементов алгебры  матриц является одним из основных методов решения многих экономических  задач. Особенно актуальным этот вопрос стал при разработке и использовании  баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и  обрабатывается в матричной форме.

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
   
2. 
   Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.-М.:Наука 1969, 528с.
   
3. 
   Кострикин А. И., Манин  Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.-СПб.: Лань 2005, 304с.
   
4. 
   Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с.
   
5. 
   Ланкастер П. Теория матриц.-М.:Наука 1973, 280с.
   
6. 
   Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.-М.:Наука 1966, 384с.
   
7. 
   Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения.-М.:Мир 1980, 454с.
   
8. 
   Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- 356с.
   

9.Халмош П. Конечномерные векторные пространства.-М.:Физматгиз 1963, 264с.

ИНТЕРАКТИВНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА№1

 Задание 1

Найти матрицу

, , .

Решение



Задание 2

Дана невырожденная матрица . Найти обратную матрицу и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что , где – единичная матрица.



Решение

Главный определитель ∆=0•(-8•(-4)-(-2•2))-5•(5•(-4)-(-2•2))+(-3•(5•2-(-8•2)))=2

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Транспонированная матрица

Найдем алгебраические дополнения.

∆_1,1=(-8•(-4)-2•(-2))=36

∆_1,2=-(5•(-4)-2•(-2))=16

∆_1,3=(5•2-2•(-8))=26

∆_2,1=-(5•(-4)-2•(-3))=14

∆_2,2=(0•(-4)-2•(-3))=6

∆_2,3=-(0•2-2•5)=10

∆_3,1=(5•(-2)-(-8•(-3)))=-34

∆_3,2=-(0•(-2)-5•(-3))=-15

∆_3,3=(0•(-8)-5•5)=-25

Обратная матрица

Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.



Задание 3

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными



Решение

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: Вектор B: B^T=(5,6,3)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: АХ = B. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: Х = А^-1*B . Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Главный определитель

∆=2•(2•2-1•(-1))-1•(3•2-1•1)+3•(3•(-1)-2•1)=-10

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Транспонированная матрица

Найдем алгебраические дополнения

∆_1,1=(2•2-(-1•1))=5

∆_1,2=-(3•2-1•1)=-5

∆_1,3=(3•(-1)-1•2)=-5

∆_2,1=-(1•2-(-1•3))=-5

∆_2,2=(2•2-1•3)=1

∆_2,3=-(2•(-1)-1•1)=3

∆_3,1=(1•1-2•3)=-5

∆_3,2=-(2•1-3•3)=7

∆_3,3=(2•2-3•1)=1

Обратная матрица

Тогда,



Задание 4

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках , , . Найти:

1) уравнения сторон треугольника ;

2) координаты точки М пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины ;

4) площадь треугольника.

, , .

Решение

1)Составим уравнения сторон треугольника



2)Точка пересечения медиан – это среднее арифметическое координат вершин треугольника, то есть имеем и

3) Так как высота, проведенная из вершины А перпендикулярна ВС, то ее уравнение запишется в виде , а так как точка А лежит на этой высоте, то получаем

, значит, уравнение высоты . Длина высоты равна

4)Площадь треугольника равна

Задание 5

Даны координаты точек , , , . Найти:

1) найти длину ребра ;

2) уравнение плоскости, проходящей через точки , и ;

3) уравнение высоты опущенной из точки на плоскость ;

4) площадь грани ;

5) объем пирамиды .

, , ,

Решение

1) Найдем длину ребра АВ



2) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки , и



Значит, нормальный вектор плоскости АВС равен

3) Направляющий вектор высоты, проведенной из точки D совпадает с направляющий вектором плоскости АВС, то есть и так как точка лежит на этой прямой, то ее уравнение записывается в виде

4)Площадь грани, содержащей вершины , численно равна половине длины векторного произведения векторов, на которых построен данных треугольник, поэтому



5) Найдем объем пирамиды

Объем тетраэдра ABCD численно равен модуля смешанного произведения векторов, образующих тетраэдр



ИНТЕРАКТИВНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА№2


Задание 1

Найти пределы

а)  ; б) ; в) .

Решение

а)



б)



в)



Задание 2

Для функций найти точки разрыва и исследовать их характер.



Решение

Возможная точка разрыва

Найдем односторонние пределы



Значит, в точке функция терпит разрыв второго рода

Сделаем чертеж



Задание 3

Найти производные заданных функций

а) ; б) .

Решение

А)



б)



Задание 4

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить их графики



Решение

1) Область определения функции

2) Найдем точки пересечения с осью OX



Значит, - точка пересечения с осью OX

, поэтому точка пересечения с осью OY -

3) Так как , данная функция не является ни нечетной, ни нечетной

Функция не является периодической

4) является точкой разрыва

5) - вертикальная асимптоты

Найдем наклонные

,

, значит - наклонная асимптота.

6) Найдем экстремумы функции и интервалы монотонности







Корней нет, при этом при любом из области определения, значит, функция возрастает на всей области определения

7) Найти точки перегиба и характеры выпуклости





Решения нет

Изобразим на координатной прямой



Значит выпукла вверх при и выпукла вниз при . Точек перегиба нет

8)



Задание 5

Найти неопределенные интегралы.

а)  ; б) .

Решение

А)



б)

.