Высшая математика Вариант 2 Б М Ц. Контрольная работа1, 2, тест1,2) Выполнил(а) Шеин Игорь Геннадьевич Группа упн118(2) Адрес г. Норильск
Скачать 0.77 Mb.
|
Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия. По приведенным данным составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image002.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image002.gif" \* MERGEFORMATINET = (20, 50, 30, 40) - вектор ассортимента; INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image004.gif" \* MERGEFORMATINET = (5, 2, 7, 4) - вектор расхода сырья; INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image006.gif" \* MERGEFORMATINET = (10, 5, 15, 8) - вектор затрат рабочего времени; INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image008.gif" \* MERGEFORMATINET = (30, 15, 45, 20) - ценовой вектор. Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента на три других вектора: S= = 100 + 100 + 210 + 160 = 570 кг, Т = = 1220 ч, P= = 3500 ден. ед. Расход сырья Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А: Вид сырья INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image014.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image016.gif" \* MERGEFORMATINET Вид изделия. Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно, 60, 50, 35 и 40 ед. Составим вектор-план выпуска продукции: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image002.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image002.gif" \* MERGEFORMATINET =(60, 50, 35, 40). Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду: этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image010.gif" \* MERGEFORMATINET на матрицу А: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image018.gif" \* MERGEFORMATINET . Конечный продукт отрасли Отрасль состоит из п предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое: обозначим объем продукции i-го предприятия через хi. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Пусть аij - доля продукции i-го предприятия, потребляемая j-м предприятием для обеспечения выпуска своей продукции объема хj. Найдем величину уi - количество продукции i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image020.gif" \* MERGEFORMATINET Введем в рассмотрение квадратную матрицу порядка п, описывающую внутреннее потребление отрасли INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image022.gif" \* MERGEFORMATINET Тогда вектор конечного продукта является решением матричного уравнения с использованием единичной матрицы Е получаем INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image026.gif" \* MERGEFORMATINET Пример. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют, соответственно, вид INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image028.gif" \* MERGEFORMATINET . Получим вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из трех предприятий: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image030.gif" \* MERGEFORMATINET . Прогноз выпуска продукции Пусть INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image032.gif" \* MERGEFORMATINET - матрица затрат сырья т видов при выпуске продукции п видов. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор вектор-план выпуска продукции определяется из решения системы т уравнений с п неизвестными: где индекс "т" означает транспонирование вектора-строки в вектор-столбец. Пример. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства представлены следующими данными:
Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий. Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через х1, х2 и х3. Тогда при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image040.gif" \* MERGEFORMATINET Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах): INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image042.gif" \* MERGEFORMATINET . Линейная модель многоотраслевой экономики Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год. Введем следующие обозначения: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image044.gif" \* MERGEFORMATINET - общий объем продукции i-й отрасли; INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image046.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image046.gif" \* MERGEFORMATINET - объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема продукции INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image048.gif" \* MERGEFORMATINET ; INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image050.gif" \* MERGEFORMATINET - объем продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image052.gif" \* MERGEFORMATINET Эти уравнения называются соотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image054.gif" \* MERGEFORMATINET меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image048.gif" \* MERGEFORMATINET есть технологическая константа. В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции j-й отрасли объема INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image048.gif" \* MERGEFORMATINET нужно использовать продукцию i-й отрасли объема INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image057.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image044.gif" \* MERGEFORMATINET , где INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image057.gif" \* MERGEFORMATINET - постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image061.gif" \* MERGEFORMATINET называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image063.gif" \* MERGEFORMATINET . Соотношения баланса можно переписать в виде системы уравнений INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image065.gif" \* MERGEFORMATINET Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image067.gif" \* MERGEFORMATINET . Тогда система уравнений в матричной форме имеет вид INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image069.gif" \* MERGEFORMATINET Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение носит название модели Леонтьева. Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом (наиболее простом) случае, когда известен вектор валового выпуска INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image071.gif" \* MERGEFORMATINET , требуется рассчитать вектор конечного потребления INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image073.gif" \* MERGEFORMATINET . Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода Т (например, год) известен вектор конечного потребления INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image073.gif" \* MERGEFORMATINET ,требуется определить вектор INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image071.gif" \* MERGEFORMATINET валового выпуска. Линейная модель торговли Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим, соответственно, х1, х2, …, хn, расходуются на покупку товаров. Рассмотрим линейную модель обмена, или модель международной торговли. Пусть аij- доля бюджета хj, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов аij: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image075.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image075.gif" \* MERGEFORMATINET . Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image077.gif" \* MERGEFORMATINET Матрица А с данным свойством, в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image079.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image079.gif" \* MERGEFORMATINET . Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image081.gif" \* MERGEFORMATINET , или INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image083.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image083.gif" \* MERGEFORMATINET . Докажем, что в условиях не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до п. Группируя слагаемые с величинами бюджетов INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image048.gif" \* MERGEFORMATINET , получаем INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image085.gif" \* MERGEFORMATINET . Нетрудно заметить, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам, которые равны единице по условию. Стало быть, мы получили неравенство INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image087.gif" \* MERGEFORMATINET , откуда следует, что возможен только знак равенства. Таким образом, условия принимают вид равенств: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image089.gif" \* MERGEFORMATINET Введем вектор бюджетов INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image091.gif" \* MERGEFORMATINET , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image093.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image093.gif" \* MERGEFORMATINET Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли. Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image071.gif" \* MERGEFORMATINET : INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image096.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image096.gif" \* MERGEFORMATINET Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image098.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image098.gif" \* MERGEFORMATINET . Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image100.gif" \* MERGEFORMATINET . Решение. Необходимо найти собственный вектор , отвечающий собственному значению заданной структурной матрицы А, т.е. решить уравнение, которое в нашем случае имеет вид INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image102.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image102.gif" \* MERGEFORMATINET . Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной, остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора : INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image104.gif" \* MERGEFORMATINET . Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, определим величину с: с=1210. Откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле: INCLUDEPICTURE "http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.files/image106.gif" \* MERGEFORMATINET . |