Кривые второго порядка
 Скачать 1.11 Mb.
|
Кривые второго порядкаОбщее уравнение кривой второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Они задаются уравнением второй степени относительно x и y: Общее уравнение кривой второго порядка В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место. ОкружностьОкружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки А(a; b) на расстояние R. y 0 х А R М(x; y) Для любой точки М справедливо: Каноническое уравнение окружности ЭллипсЭллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F1 F2 -c c M(x; y) r1 r2 Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [F1 F2] Эллипсb2 b2 b2 Каноническое уравнение эллипса Эллипсy 0 х F1 F2 -c c M(x; y) r1 r2 а -а большая полуось малая полуось b -b фокальное расстояние фокальные радиусы точки М эксцентриситет эллипса Для эллипса справедливы следующие неравенства: Эксцентриситет характеризует форму эллипса (ε = 0 – окружность) ПримерСоставить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках F1(-4; 0) F2(4; 0), а эксцентриситет равен 0,8. Каноническое уравнение эллипса: y 0 х -5 5 -3 3 ГиперболаГиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F1 F2 -c c M(x; y) r1 r2 Гиперболаb2 b2 b2 Каноническое уравнение гиперболы После тождественных преобразований уравнение примет вид: Гиперболаy 0 х F1 F2 -c c M(x; y) а -а -b b Для гиперболы справедливо: r1 r2 фокальные радиусы точки М действительная полуось мнимая полуось эксцентриситет гиперболы асимптоты гиперболы ПримерСоставить уравнение гиперболы, проходящей через точку А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями: Решим систему: Точка А лежит на гиперболе ПримерКаноническое уравнение гиперболы: 0 y х Параболаy 0 х F M(x; y) d r Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки той же плоскости , называемой фокусом, равно расстоянию до прямой: Параболаy 0 х F M(x; y) d r каноническое уравнение параболы директриса параболы фокус параболы фокальный радиус Эксцентриситет параболы: Составим из коэффициентов уравнения два определителя: Дискриминант старших членов уравнения Дискриминант уравнения
Общее уравнение кривой называется пяти-членным, если 2Bxy=0: Приведение пяти-членного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере: y 0 х -1 1 5 5 4 4 y’ x’ Перенесем начало координат в точку (1; -1), получим новую систему координат: Если слагаемое 2Bxy в общем уравнении не равно нулю, то для приведения уравнения к каноническому виду необходимо повернуть оси координат на угол α. При этом зависимость между старыми координатами и новыми определяются формулами: Угол α удовлетворяет условию: В случае, если A = C, то |