1. кинематика поступательного и вращательного движения
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
1 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ 1. КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 1.1. Система отсчета. Путь. Вектор перемещения Для описания движения необходимо условиться, относительно какого другого тела будет отсчитываться перемещение данного тела или материальной точки. Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение, и отсчитывающих время часов, называется системой отсчета. Для количественного описания движения стелами, образующими систему отсчета, связывают систему координат. Выберем декартову систему координат. Тогда положение материальной точки в этой системе можно определить заданием трех координат x, y, z или через вектор рис) z e z y e y x e x r , где z y x e , e , e - орты или единичные векторы координатных осей рис. z z M(x,y,z) r z e x e x y e x y y Рис Рис Линия, которую описывает материальная точка при своем движении, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, криволинейное движение и т.д. Пусть материальная точка, двигаясь водном направлении, переместилась из положения 1 в положение 2 (рис. Расстояние между точками 1 и 2, отсчитываемое вдоль траектории, называется длиной пройденного материальной точкой пути (s). Отрезок 2 прямой, проведенной изначального положения материальной точки в конечное, называется перемещением 1 2 r r r , где 1 r и 2 r - радиус вектора в момент времени t 1 и t 2 1 1 r r s 0 2 r 2 Рис При прямолинейном движении s r . При произвольном криволинейном движении s r в пределе для бесконечно малого промежутка времени, те. когда 0 r . Иначе это можно записать так 1 r s im 0 r 1.2. Скорость. Ускорение при криволинейном движении Траектория и перемещение являются чисто геометрическими характеристиками движения. Два различных движения, для которых одно и тоже перемещение r совершилось заразные промежутки времени геометрически одинаковы, но кинематически различны. Это различие характеризуется скоростью. Быстрота изменения положения материальной точки называется средней скоростью движения за время t и определяется отношением ср Численное значение вектора средней скорости t r ср - есть скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором точка М перешла бы из положения М в положение М за тот же промежуток времени t, за который произошло её истинное криволинейное движение по дуге ММ (рис. М Вектор скорости ср направлен также r как и вектор r , те. по секущей ММ М 2 cр Предел отношения t r при 0 t называется мгновенной скоростью Рис 3 t r im im 0 t рте. вектор мгновенной скорости равен dt r d . (1.2) Поскольку секущая в пределе совпадает с касательной, то мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Тогда, согласно равенству (1.1) t s im t r Модуль мгновенной скорости () равен производной пройденного пути повремени Отсюда путь, пройденный за время 1 2 t t t , будет равен 2 1 t t dt Геометрически пройденный путь s равен площади фигуры под кривой (t) (рис. Учитывая, что 2 1 0 t 1 t 2 t Рис z y x e z e y e x r , где z y x e , e , e - постоянные векторы, получим уравнения для вектора скорости z y x e z e y e x r , (1.3) и z z y y x x e e Компоненты скорости по осям x,y,z соответственно равны x dt dx x ; y dt dy y ; z dt dz Вектор скорости может быть выражен также через орт скорости Быстрота изменения величины скорости в единицу времени в прямолинейном движении характеризуется ускорением 4 dt d t Принимая во внимание соотношение (1.2), ускорение можно записать в виде r r dt d dt r d dt Следовательно, ускорение можно определить как первую производную скорости повремени, либо как вторую производную радиус-вектора – повремени. Продифференцировав повремени соотношение (1.3), получим для ускорения выражение z y x e z e y e Вместе стем, ускорение, как любой другой вектор можно выразить через компоненты по координатным осям z z y y x x e e e a a a a , где 2 2 x dt x d x a ; 2 2 y dt y d y a ; 2 2 z dt z d z a - компоненты ускорения, равные вторым производным соответствующих координат повремени. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения При произвольном криволинейном движении вектор скорости может изменяться как по величине, таки по направлению. В этом случае существует ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по величине, и ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по направлению. Рассмотрим три частных случая. При движении по прямолинейной траектории e - орт скорости остается постоянным, тес, поэтому e a . Если 0, то ускорение направлено также, как и скорость. Если 0, направление ускорения противоположно направлению скорости. Модуль ускорения равен При равномерном движении по окружности с, изменяется e (риса, поэтому e a . (1.4) 5 Найдем производную орта скорости e 1 е 1 s е R 2 е О 2 n а) б) Рис.1.6 Из рис видно, что за время t орт скорости поворачивается на угол и получает приращение е. По определению t e im При 0 и e . Тогда n e , n - единичный вектор, имеющий такое же направление, как и При произвольном переходе единичный вектор n превращается в орт нормали к траектории в той точке, в которой частица была в момент t. Таким образом, n R n R im t n im e 0 t 0 t . (1.5) Подставив (1.5) в (1.4), получим n R 2 n a - нормальное ускорение. При равномерном движении по окружности ускорение направлено по нормали к скорости. Поэтому называют его нормальным ускорением ив обозначении ставят индекс n. При неравномерном движении частицы по криволинейной траектории оба множителя в формуле е изменяются со временем. Применив правило дифференцирования произведения функций, найдем выражение для ускорения 6 e Видно, что в общем случае ускорение распадается на два слагаемых. Одно из них е коллинеарно скорости и, следовательно, направлено по касательной к траектории. Поэтому его называют тангенциальным (те. касательным) ускорением и обозначают Второе слагаемое совпадает с e a , те. определяется формулой n R 2 n a и является нормальным ускорением. Первое слагаемое характеризует быстроту изменения модуля скорости, второе быстроту изменения направления скорости. Составляющие a и n a перпендикулярны друг другу (рис. Поэтому квадрат модуля ускорения равен сумме квадратов модулей составляющих 2 n 2 Рис Отсюда следует, что полное ускорение a будет равно 2 2 2 2 n 2 R ) ( a a a 1.4. Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение При вращении твердого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на единой прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Радиус-вектор каждой точки – есть вектор, проведенный из центра окружности в данную точку. Он поворачивается за время t на один и тот же угол . Векторная величина t im 0 t называется угловой скоростью, где t– время, за которое совершается поворот на угол . Из 7 определения видно, что вращение точки по окружности описывается угловой скоростью dt Вектор направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемую правилом правого винта рис. Если вращать винт так, чтобы его рукоятка указывала направление вращения твердого тела, то направление движения винта укажет направление векто- r ММ Рис ра угловой скорости. При равномерном вращении угловая скорость t , а угол поворота Единицей угловой скорости в системе СИ является радиан в секунду с рад Угловая скорость - есть величина постоянная, она указывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. В этом случае она называется круговой или циклической частотой. Равномерное движение можно охарактеризовать также периодом обращения. Периодом называется время, за которое тело делает один оборот, те. поворачивается на угол 2. Поскольку за время, равное Т совершается угол поворота 2, то Т 2 Т Число оборотов за единицу времени (частоту) обозначим и выразим период и циклическую частоту через эту величину Т 2 ; Угол поворота за время t можно записать через частоту и полное число оборотов t 2 ; N 2 8 При неравномерном вращении величина изменяется со временем и за промежуток времени t получает приращение . Величина, характеризующая изменение вектора угловой скорости со временем, называется угловым ускорением dt d t Таким образом, изменение угловой скорости повремени характеризуется угловым ускорением , которое определяется как производная угловой скорости повремени Единица измерения углового ускорения с рад При неподвижной оси вращения векторы и коллинеарны и направлены вдоль оси вращения. Если угловая скорость увеличивается 0 dt d , то векторы и одинаково направлены, если угловая скорость уменьшается 0 dt d , то векторы и противоположно направлены. При неравномерном вращении для угла поворота, угловой скорости и ускорения справедливо соотношение 2 t t 2 0 , где 0 – начальная угловая скорость. Найдем соотношение между , R , (рис. М R s М 2 Рис.1.9 Пусть за малый промежуток времени t тело повернется на угол . Точка М, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный Величина t s im 0 t - называется линейной скоростью точки. 9 Подставляя значение s из предыдущего равенства, получим R dt d R t im R t R im 0 t 0 t , те. линейная скорость точки прямо пропорциональна радиусу и угловой скорости R . (1.6) Выясним соотношение между R , , n a и R , , a . Нормальное ускорение точек прямо пропорционально квадрату линейной скорости и обратно пропорционально радиусу R 2 n a . (1.7) Подставляя в уравнение (1.7) уравнение (1.6), получим следующее выражение для нормального ускорения Модуль тангенциального ускорения равен модулю первой производной от линейной скорости dt d a . (1.8) Подставляя (1.6) в уравнение (1.8) найдем, что dt d R ) R ( dt Но так как dt d , то R a . Для нахождения соотношения между векторами и сделаем чертеж (рис. Пусть тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью . Выберем точку Она оси и проведем радиус-вектор r из этой точки к точке С. Из треугольника ОАС видно, что sin r R . Умножим обе части равенства на и получим cледующее выражение sin Так как R - модуль скорости, sin r - модуль векторного произведения r , то Откуда следует, что вектор скорости равен векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор r : r . (1.9) Формуле (1.9) можно придать иной вид. Для этого представим 10 z A R C z r r O Рис радиус-вектор в виде суммы двух составляющих R r и умножим это равенство векторно на : R r ) R r ( r Векторы и z r - коллинеарны, те. 0 sin , поэтому их векторное произведение равно 0. Следовательно, можно записать, что R . (1.10) Выведем соотношение для тангенциального и углового ускорения. По определению тангенциальное ускорение есть первая производная от вектора скорости повремени. Подставляя (1.10) в (1.8), получим R dt d dt d , те. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 2.1. Законы Ньютона Раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с физическими причинами, вызывающими это движение, называется динамикой. Основные представления и количественные закономерности динамики возникли и развиваются на базе многовекового человеческого опыта наблюдений за движением земных и небесных тел, производственной практики и специально поставленных экспериментов. Великий итальянский физик Галилео Галилей экспериментально установил, что материальная точка (тело) достаточно удаленная от всех других тел (те. невзаимодействующая сними) будет сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Это положение Галилея было подтверждено всеми последующими опытами и составляет содержание первого основного закона динамики, так называемого закона инерции. При этом покой следует рассматривать как частный случай равномерного и прямолинейного движения, когда с Этот закон одинаково справедлив как для движения гигантских небесных тел, таки для движения мельчайших частиц. Свойство материальных тел сохранять состояние равномерного и прямолинейного движения называется инерцией. Равномерное и прямолинейное движение тела при отсутствии внешних воздействий называется движением по инерции. Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, носит название инерциальной системой отсчета. Инерциальной системой отсчета практически точно является гелиоцентрическая система. Ввиду громадного расстояния до звезд, их движением можно пренебречь и тогда оси координат, направленные от Солнца натри звезды, не лежащие водной плоскости, будут неподвижными. Очевидно, любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, также будет инерциальной. Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса. Ньютон определил массу как количество вещества, содержащегося в теле. Это определение 12 нельзя считать исчерпывающим. Масса характеризует не только инерцию материального тела, но и его гравитационные свойства сила притяжения, испытываемая данным телом со стороны другого тела, пропорциональна их массам. Масса определяет полный запас энергии материального тела. Понятие массы позволяет уточнить определение материальной точки. Материальной точкой называется тело, при изучении движения которого можно отвлечься от всех его свойств, кроме массы. Каждая материальная точка, следовательно, характеризуется величиной своей массы. В ньютоновской механике, в основе которой лежат законы Ньютона, масса тела не зависит от положения тела в пространстве, его скорости, действия на тело других тел и т.д. Масса является величиной аддитивной, те. масса тела равна сумме масс всех его частей. Однако свойство аддитивности утрачивается при скоростях, близких к скорости света в вакууме, те. в релятивистской механике. Эйнштейн показал, что масса движущегося тела зависит от скорости 2 2 0 c 1 m m , (2.1) где m 0 - масса покоящегося тела, - скорость движения тела, с – скорость света в вакууме. Из (2.1) следует, что при движении тел с малыми скоростями c масса тела равна массе покоя, те. m=m 0 ; при c масса m. Обобщая результаты опытов Галилея по падению тяжелых тел, астрономические законы Кеплера о движении планет, данные собственных исследований Ньютон сформулировал второй основной закон динамики, количественно связавший изменение движения материального тела с силами, вызывающими это изменение движения. Остановимся на анализе этого важнейшего понятия. В общем случае сила F - есть физическая величина, характеризующая действие, оказываемое одним телом на другое. Эта векторная величина определяется численной величиной или модулем F F , направлением в пространстве и точкой приложения. 13 Если на материальную точку действуют две силы 1 F и 2 F , то их действие эквивалентно действию одной силы 2 1 F F F , получаемой из известного треугольника сил (рис. Если на тело действуют сил, суммарное действие эквивалентно действию одной равнодействующей, являющейся геометрической суммой сил n 1 i i n 2 1 F F F F F . (2.2) Динамическое проявление силы состоит в том, что под действием силы материальное тело испытывает ускорение. Статическое действие силы приводит к тому, что упругие тела пружины) под действием сил деформируются, газы – сжимаются. Под действием сил движение перестает быть равномерными прямолинейными появляется ускорение, направление его совпадает с направлением действия силы. Опыт показывает, что ускорение, получаемое телом под действием силы, обратно пропорционально величине Рис его массы или a m F . (2.3) Уравнение (2.3) представляет математическую запись второго основного закона динамики вектор силы, действующий на материальную точку численно равен произведению массы точки на вектор ускорения, возникающего при действии этой силы. Поскольку ускорение z y x e z e y e x a , где z y x e , e , e - единичные векторы, z y x z , y , x a a a - проекции ускорения на координатные оси, то z y x e z m e y m e x m F . (2.4) 14 Если обозначить z y x F z m , F y m , F x m , то выражение (2.4) можно переписать через проекции сил на координатные оси z z y y x x m F , m F , m F a a a : z z y y x x В системе СИ за единицу силы принимается ньютон. Согласно (2.3) ньютон есть такая сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 мс. Легко видеть, что с кгм Н F Второй закон Ньютона можно записать иначе, если ввести понятие импульса тела (m) и импульса силы (Fdt). Подставим в (2.3) выражение для ускорения dt d a , получим dt или ) m ( d dt F . (2.5) Таким образом, элементарный импульс силы, действующий на материальную точку в течение промежутка времени dt, равен изменению импульса тела за тот же промежуток времени. Обозначив импульс тела m p , получим следующее выражение для второго закона Ньютона dt В релятивистской механике при c основной закон динамики и импульс тела с учетом зависимости массы от скорости (2.1.) запишутся в следующем виде 2 2 0 c 1 m dt d F , 15 2 2 c 1 m До сих пор мы рассматривали лишь одну сторону взаимодействия между телами влияние других тел на характер движения данного выделенного тела (материальной точки. Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть обоюдным. Этот факт отражается третьим законом динамики, сформулированным для случая взаимодействия двух материальных точек если материальная точка испытывает со стороны материальной точки силу, равную 12 F , то испытывает со стороныm 2 силу 21 F , равную по величине и противоположную по направлению 12 F : 12 Эти силы действуют всегда вдоль прямой, проходящей через точки и как показано на рисунке 2.2. Рисунок а относится к случаю, когда силы взаимодействия между точками являются силами отталкивания. На рисунке б изображен случай притяжения а) 21 F 12 F m 1 б) Рис |