1. кинематика поступательного и вращательного движения

• Название: 1. кинематика поступательного и вращательного движения
• Дата: 06.03.2023
• Размер: 0.53 Mb.
• Имя файла: MekhanikaKratkiiKonspekt.pdf
• Тип: Документы; #972678
• страница: 5 из 5

5.3. Следствия из преобразований Лоренца
5.3.1. Одновременность событий в разных системах отсчета Пусть в системе К (см. рис) с координатами x
1
и x
2
происходят одновременно два события в момент времени t
1
=t
2
=b. Согласно преобразованиям Лоренца (5.15), в системе К этим событиям будут соответствовать координаты
2 2
1 1
c
1
b x
x






;
2 2
2 2
c
1
b x
x






(5.17) и моменты времени
2 2
1 2
1
c
1
x c
b t






;
2 2
2 2
2
c
1
x c
b t






. (5.18) Если рассматривать два события, происходящие в системе Кв разных точках, например (x
2
x
1
), то из преобразований Лоренца (5.18) следует, что в системе К
2 1
t Таким образом, события одновременные водной системе отсчета, будут неодновременными в другой системе, движущейся относительно первой, те. имеет место относительность одновременности двух событий, происходящих в разных точках пространства. Если одновременные события в системе К происходят водном и том же месте пространства x
1
=x
2
, то ив системе К, согласно (5.17),
2 1
x x



и, согласно (5.18),
2 1
t Следует отметить, что сказанное относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинно-следственная связь. Например, выстрели попадание пули в мишень нив одной из систем отсчета не будут одновременными. И во всех системах события, являющиеся причиной будут предшествовать следствию.

65
5.3.2. Длина тел в разных системах отсчета Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси x и покоящийся относительно подвижной системы отсчета К (рис. y K y K


1
x 
0

2
x
O O x
1
x
2
x x z z Рис Длина стержня в системе К равна
1 2
0
x x





, где
1
x
и
2
x
- не изменяющиеся со временем координаты концов стержня. Эта величина называется собственной длиной или собственными размерами тела. Относительно системы К стержень движется со скоростью . Для определения длины стержня в неподвижной системе К нужно отметить координаты концов стержня x
1
ив один и тот же момент времени t
1
=t
2
=b. Их разность



)
t
(
x
)
t
(
x
1 и дает длину стержня, измеренную в системе К. Выразим

через
0

. Для этого запишем соотношения (5.15) из преобразований Лоренца:
2 2
1 1
c
1
b x
x






;
2 2
2 2
c
1
b x
x






; откуда
2 2
1 2
1 2
c
1
x x
x x







, те
2 или
2 2
0
c
1


 


66 Из полученного соотношения следует, что длина стержня, измеренная в системе относительно которой движется, оказывается меньше длины
0

, измеренной в системе относительно которой стержень покоится. Это явление называется лоренцевым сокращением. Из второго и третьего соотношений (5.15), не содержащих времени, следует, что
1 2
1 2
y y
y y





;
1 2
1 2
z z
z z





, те. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Обобщая все сказанное можно утверждать, что линейные размеры тела максимальны в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело находится в покое.
5.3.3. Длительность событий в разных системах отсчета Пусть в точке, неподвижной относительно системы К происходит событие, длящееся время
1 Началу события в этой системе соответствует координата
a


1
x и момент времени
1
t
, концу события
– координата
a


2
x и момент времени
2
t
(рис. Относительно системы К точка, в которой происходит событие y K y K


O O
a


1
x x x
a


2
x z z Рис перемещается со скоростью . Согласно преобразованиям Лоренца (5.16), началу и концу события соответствует в системе К
2 2
2 1
1
c
-
1
c t
t





a
;
2 2
2 2
2
c
1
c t
t






a
, откуда

67 2
2 1
2 1
2
c
1
t t
t Обозначим t
2
-t
1
=, полученная формула примет вид
2 с. (5.19) Рассматривая протекание события в системе К можно определить
 как длительность события, измеренную по неподвижным часам. Тогда 
0
– это длительность события, измеренная по часам, движущимся вместе с телом. Оно называется собственным временем тела. Из соотношения (5.19) следует, что длительность события, происходящее в некоторой точке
a , минимальна в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка
a неподвижна. Этот результат можно также сформулировать следующим образом часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета идут медленнее покоящихся часов, как видно из (5.19). Замедление хода часов становится существенным при скоростях , близких к скорости света в вакууме. Релятивистский эффект замедления хода времени был подтвержден в опытах с мьюнами
– нестабильными, самопроизвольно распадающимися элементарными частицами. Среднее время жизни покоящегося мьюна 
0
, те. время, измеренное по часам, движущимся вместе с ним, как показали измерения, равно с. Если бы релятивистского эффекта не было, то мьюны, рождающиеся в верхних слоях атмосферы под действием первичных космических лучей и движущихся к Земле со скоростью , близкой к с, должны были бы проходить в атмосфере сравнительно небольшие расстояния порядка см, поэтому они не могли бы достигать поверхности Земли, где они в действительности наблюдаются. Формула (5.19) легко объясняет этот парадокс для земного наблюдателя срок жизни мьюна:

68 2
2 с, а путь мьюна в атмосфере равен
2 2
0
с
1
с





, тес Время, отсчитанное по часам экспериментатора, связанного с Землей оказывается гораздо большими экспериментатор наблюдает пробег мьюна гораздо большем. Наблюдения показывают, что мьюны образуются в космических лучах на высоте 20-30 км и успевают в значительном количестве достигнуть земной поверхности.
5.4. Пространственно-временной интервал Какое либо событие можно охарактеризовать местом, где оно произошло координатами x,y,z) и временем t, когда оно произошло. Таким образом, событию можно сопоставить четыре числа x,y,z,t. Введем воображаемое четырехмерное пространство, на координатных осях которого будем откладывать пространственные координаты и время. В этом пространстве событие изобразится точкой, которую принято называть мировой точкой. Всякой частице (даже неподвижной) соответствует в четырехмерном пространстве некоторая линия, называемая мировой линией (для покоящейся частицы она имеет вид прямой линии, параллельной оси t). Пусть одно событие имеет координаты x
1
,y
1
,z
1
,t
1
, другое событие – координаты x
2
,y
2
,z
2
,t
2
. Величину
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 12
)
z z
(
)
y y
(
)
x x
(
)
t t
(
c s








(5.20) называют интервалом между соответствующими событиями. Введя расстояние
2 1
2 2
1 2
2 1
2 12
)
z z
(
)
y y
(
)
x между точками обычного трехмерного пространства, в которых произошли оба события, и обозначив разность (t
2
-t
1
) через t
12
, выражение для интервала можно записать в следующем виде
2 12 2
12 2
12
t c
s



. (5.21)

69 Легко убедиться в том, что величина интервала между двумя данными событиями оказывается во всех инерциальных системах одной и той же. Чтобы упростить выкладки, запишем квадрат интервала в системе Кв виде
2 2
2 2
2 2
z y
x t
c s









, где t=t
2
-t
1
, x=x
2
-x
1
, y=y
2
-y
1
, Интервал между теми же событиями в системе К равен
2 2
2 2
2 2
z y
x t
c s














. (5.22) Согласно формулам (5.15),
2 2
2 2
2
c
1
x c
t t
;
z z
;
y y
;
c
1
t x
x


























, подставив эти значения в формулу (5.22) получим, что
2 2
2 2
2 2
z y
x t
c s










, те.
2 2
s Таким образом, интервал (5.20) является инвариантом по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Из рассуждений 5.3.2 и 5.3.3 видно, что t
12
и
12

не являются инвариантом, те. каждое слагаемое (5.21) и (5.22) изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, сама же величина
2 12
s остается постоянной. Согласно (5.19), собственное время события, те. время, измеренное по часам, движущимся относительно инерциальной системы отсчета
2 Преобразуем выражение, учитывая, что =t
2
-t
1
=t, t




:
2 2
2 2
2 2
0
t c
c
1
)
t
(
t c
c
1











, тогда s
c
1 0



. (5.23) Промежуток собственного времени пропорционален интервалу между событиями. Поскольку s - интервал между событиями является инвариантом, те. одинаков во всех инерциальных системах отсчета, то согласно (5.23) и собственное время также является инвариантом.

70 Таким образом, собственное время не зависит оттого, в какой системе отсчета наблюдается движение данного тела.
5.5. Релятивистская кинематика. Релятивистский закон сложения скоростей Механику, основанную на принципе относительности, одинаковости скорости света во всех инерциальных системах и преобразованиях Лоренца принято называть релятивистской (от латинского слова relativ - отношение. Законы релятивистской механики в общем случае отличаются от законов классической механики Галилея-Ньютона.
1. В классической механике считалось, что тела могут двигаться с любыми, сколь угодно большими скоростями. Однако уже из преобразований Лоренца (5.15) и (5.16) видно, что относительные скорости тел имеют верхнюю границу
 с. При с знаменатели, равные
2 с становятся мнимыми и координаты x и t теряют физический смысл.
2. Движущиеся тела изменяют размеры. Длина стержня, движущегося со скоростью  относительно системы отсчета К, связана с длиной неподвижного стержня
0

соотношением
2 с При малых скоростях движения (с) с 2
2



, релятивистскими сокращениями длин движущихся тел можно пренебречь. При  близком к с это сокращение становится существенным. Так при относительной скорости двух инерциальных систем с 3



км/с,
2 1
4 си метр покоящийся водной системе будет иметь в другой длину 1/2 м. Скорости такого порядка, при которых сокращение размеров движущихся материальных частиц становится заметным, носят название релятивистских скоростей. В настоящее время они достигнуты в крупных лабораториях ив новых промышленных установках. Так, в ядерных

71 реакторах атомных электростанций быстрые нейтроны движутся со скоростями, для которых с 2
2



, те. сокращение длин порядка
3%. Сильно релятивистские частицы приходящих на Землю космических лучей имеют
7 2
2 си их продольные размеры сокращаются в 10 миллионов раз.
3. В движущейся системе изменится ход течения времени
2 2
0
с
1





В неподвижной системе К два события будут разделены промежутком времени в
2 с 1


большим. Представим себе, что удалось реализовать фантастический проект и отправить к звезде ракету со скоростью, столь близкой к скорости света, что с 2
2



. Поземным часам ракета будет лететь к звезде 1000 лет. Но для материальной системы – ракеты и путешественника в ней – путешествие займет всего 1 год. Расчет показывает, что при полетах в пределах солнечной системы релятивистские эффекты скажутся лишь в виде малых поправок.
4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в инерциальной системе К и КВ системе К положение точки определяется в каждый момент времени t координатами x,y,z. Выражения dt dz u
,
dt dy u
,
dt dx u
z представляют собой проекции на оси x,y,z вектора скорости точки относительно системы КВ системе К положение точки характеризуется в каждый момент времени t координатами x,y,z. Проекции на оси x,y,z. вектора скорости точки относительно системы К определяются следующими выражениями

72 t
d z
d u
,
t d
y d
u
,
t d
x d
u z
y Из формулы (5.16) преобразований Лоренца вытекает, что c
1
x d
c t
d dt
;
z d
dz
;
y d
dy
;
c
1
t d
x d
dx
2 2
2 Разделив первые три равенства на четвертое, получим формулы преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой x
2
x x
u c
1
u u







; x
2 2
2
y y
u c
1
c
1
u u







; x
2 2
2
z z
u c
1
c
1
u u







. (5.24) Формулы (5.24) выражают закон сложения скоростей в релятивистской кинематике. В случае, когда  с (5.24) переходят в формулы сложения скоростей
(5.3) в классической механике. Все изложенное выше показывает, что законы релятивистской механики в случае малых скоростей (с) переходят в законы классической механики. Таким образом, классическая механика не отвергается, а лишь ограничивается определенными пределами применимости случаями, когда относительные скорости тел много меньше скорости света. Она верна как частный случай общей механики Эйнштейна – случай малых скоростей.
5.6. Релятивистская динамика В классической механике Ньютона предполагается, что масса тела постоянна, независимо от состояния его движения и одинакова во всех инерциальных системах отсчета (m=m). Эйнштейн показал, что при c масса тела зависит от скорости её движения по отношению к рассматриваемой инерциальной системе отсчета последующему закону
2 2
0
c
1
m m



, (5.25)

73 где m
0
- масса того же тела, измеренная в инерциальной системе отсчета по отношению к которой тело покоится. Эта величина называется массой покоя тела. Масса m движущегося тела называется релятивистской массой тела или просто массой. В связи с уравнением (5.25) – основной закон релятивистской динамики – будет иметь вид
F
c
1
m dt d
2 2
0






















. (5.26) Это выражение является инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца. При  си релятивистское уравнение (5.26) совпадает с основным законом динамики в классической механике
,
F
dt d
m




или
F
p dt d



, где p

- импульс. Из (5.26) следует, что импульс релятивистской частицы равен
2 2
0
c
1
m Найдем выражение для кинетической энергии свободной материальной частицы в релятивистской механике. Пусть вначале эта частица покоилась. А затем под действием силы F приобрела некоторую скорость  и соответствующую энергию к, после чего действие силы прекратилось и частица вновь стала свободной. Приращение к кинетической энергии материальной частицы на элементарном перемещении dr равно работе, cовершаемой силой F на этом перемещении. к Работа может быть записана через скалярное произведение векторов
F

и r
d

:
 
r Учитывая, что dt r
d




, получим


dt
F
dA





74 и, соответственно, к. (5.27) Из основного уравнения релятивистской динамики (5.26) имеем





















dt d
c
1
c m
dt d
c
1
m
F
2
/
3 2
2 2
0 2
2 0
. (5.28) Подставляя (5.28) в уравнение (5.27) получим следующее выражение для приращения кинетической энергии материальной частицы


 















 













2
/
3 2
2 0
2 к c
1
c d
m d
c
1
m dЕ
Учитывая, что







d d


, а
 
2






перепишем предыдущее выражение в таком виде
2
/
3 2
0 2
2 к c
1
d m
c
1
c
1
c
1
d Е 























 






 






, (5.29) с другой стороны из формулы (5.25) видно, что
2
/
3 2
2 2
0
c
1
c d
m dm













. (5.30) Сравнивая (5.29) и (5.30), делаем вывод, что dm c
dЕ
2
к

, (5.31) те. при изменении скорости материальной точки изменение её кинетической энергии и массы пропорциональны друг другу. Проинтегрируем уравнение (5.31), учитывая, что кинетическая энергия покоящейся точки равна нулю, а её масса равна m
0
: к к dm c
dE
;
2 к mc Е. (5.32)

75 Подставим в уравнение (5.32) выражение для массы (5.25), получим формулу для вычисления кинетической энергии в релятивистской динамике
2 0
2 2
2 к c
m c
1
c m
E




;


















1
c
1 1
c Е 2
2 к. (5.33) При с легко получить обычное выражение для кинетической энергии материальной точки в классической механике. Для этого разложим в бином Ньютона
2 с 1


: с си подставим в уравнение (5.33)
2 0
2 2
2 к m
2 1
1
c
2 1
1
c m
Е














Из уравнения (5.31) следует, что при сообщении телу кинетической энергии к его масса возрастает на величину к c
dE
dm Естественно ожидать, что масса тела должна возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но также при любом увеличении его полной энергии, независимо оттого, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение произошло, те.
2
c dE
dm Интегрируя это уравнение, находим универсальное соотношение между m и Е k
mc
E
2


. (5.34)

76 Постоянную интегрирования (k) нужно положить равной нулю, так как уравнение (5.34) при любом значении k0 неинвариантно относительно преобразований Лоренца. Таким образом, полная энергия системы равна её полной релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме
E=mc
2
. (5.35) Уравнение (5.35) выражает один из важнейших законов природы – закон взаимосвязи массы и энергии. Связь между импульсом и энергией можно найти следующим образом. Подставим в (5.35) уравнение для массы (5.25):
2 2
2 0
c Возведем в квадрат обе части уравнения и освободимся от знаменателя
2 2
4 2
0 2
c
1
c m
E



;
4 2
0 2
2 2
2
c Преобразуем полученное соотношение
2 2
4 2
4 2
0 2
c c
m c
m
E



;
2 2
2 4
2 0
2
c m
c Учитывая, что m есть импульс p, получим
4 2
0 2
2
c m
c Эта формула выражает связь между полной энергией свободной частицы тела) и её импульсом. Величина m
0
c
2
=E
0
носит название энергии покоя частицы или собственной энергией. Собственная энергия сохраняется (как и масса покоя) за каждой частицей, пока она не превращается в другие частицы.